প্রদত্ত যুগলটির মধ্যে সর্বোচ্চ দূরত্ব হ্রাস করতে হ্যামিল্টোনীয় পথে একটি মিল যুক্ত করুন

Question

নিম্নলিখিত সমস্যার জটিলতা কী?

ইনপুট :

• $H$ একটিহ্যামিল্টনিয়ান পথমধ্যে$K_n$
• $R \subseteq [n]^2$ টি শীর্ষ কোণের একটি উপসেট
• ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$

ক্যোয়ারী : মেলানো $M$ মতো কি প্রতিটি $(v,u) \in R$ , $d_G(v,u) \leq k$ ?
(যেখানে $G = ([n], M\cup H)$ )

এই সমস্যাটি নিয়ে আমি একটি বন্ধুর সাথে আলোচনা করেছি। আমার বন্ধুটি মনে করে সমস্যাটি বহু-কালীন সময়ে। আমি মনে করি এটি এনপি-সম্পূর্ণ।

Comments

অন্তত উপস্থাপনার ক্ষেত্রে আপনি এটিকে আরও সহজ করতে পারেন। আপনি দেওয়া হয় সঙ্গে একটি পাথ এন ছেদচিহ্ন, এবং একটি সংগ্রহে আর এই ছেদচিহ্ন এর যুগলের। আপনি কোনও ম্যাচের সাথে পথটি বাড়িয়ে তুলতে চান যাতে আর কোনও জোড়ের মধ্যে দূরত্ব সর্বাধিক কে থাকে । $k$$n$$R$$R$$k$

— সাশো নিকোলভ

আমি মনে করি কিছু সূক্ষ্মতা সরিয়ে দিতে আমার সর্বশেষ সম্পাদনার পরে এই সূত্রটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে।

— pfim

আমার ব্যাখ্যা সঠিক, তাই না?

— সাশো নিকোলভ

সমস্যার বিবৃতিটি আরও কঠোর করার জন্য আমি একটি সম্পাদনা করেছি। আমি মনে করি এটি আরও সরল করা যেতে পারে কারণ আপনি কেবল অনুমান করতে পারেন যে এইচ হ্যামিলটোনীয় পথটি 1-2-2-3-5-5 ...- n সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই। সুতরাং আপনি শুধু প্রয়োজন । $n$

— কাভেহ

Answer 1

এই উত্তরটি ভুল ।

আপনার বন্ধু ঠিক বলেছেন। আপনার সমস্যা (সাশো দ্বারা ব্যাখ্যা করা হিসাবে) মিলে যাওয়া এর কার্ডিনালিটিতে কোনও বাধা দেয় না । অতএব, চয়ন সি মধ্যে জোড়া মধ্যে একটি মানানসই হতে আর । তারপর কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা জন্য ট , প্রতিটি যুগল মধ্যে দূরত্ব আর কম ট ।$C$$C$$R$$k$$R$$k$

যদি আপনি উভয় মিলে যাওয়া থেকে প্রান্ত ধারণ পাথ বাধ্য আপনার সমস্যা আকর্ষণীয় হয়ে এবং পথ পি ।$C$$P$

Comments

আপনি "মধ্যে জোড়া মধ্যে ম্যাচিং দ্বারা কি বোঝাতে চেয়েছেন "? $R$

— এমিল জেবেক মনিকা 16

@ এমিলজেবেক এর অর্থ এর প্রতিটি জোড়ের নোডকে একটি প্রান্ত দিয়ে সংযুক্ত করা। সুতরাং সি প্রতিটি জোড় সংযোগকারী একটি প্রান্ত সহ কেবল আর । এটি আর- এর জোড়ায় এক নিখুঁত মার্চিং করে পি পথটিকে বাড়ানোর সমতুল্য । $R$$C$$R$$P$$R$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান

এটি আমার কাছে খুব বেশি বোঝায় না বলে মনে হয়। কি হবে যদি একটি মানানসই নয়? বলুন, আরে যদি জোড়া থাকে ( 1 , 2 ) এবং ( 1 , 3 ) , আপনি সি কে কীভাবে বেছে নেবেন ? $R$$R$$(1,2)$$(1,3)$$C$

— এমিল জ্যাবেক

@ এমিলজেবেক হ্যাঁ আপনার পয়েন্ট বৈধ। আমি আমার উত্তর সম্পাদনা করব।

— মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তান

@ পিফিম কি কেবলমাত্র থেকে প্রান্ত ব্যবহার করে সবচেয়ে দীর্ঘতম পথ তৈরি করা যেতে পারে ? $C$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

Answer 2

আপডেট: নীচের উত্তরটি সঠিক নয়, কারণ আমি ভুলভাবে ধরে নিয়েছি যে হ্যামিলটোনীয় পথটি নয়, একটি স্বেচ্ছাসেবী গ্রাফে রয়েছে । আমি এটিকে মুছে ফেলা হচ্ছে না, সম্ভবত আমি এটি ঠিক করতে সক্ষম হব বা এটি অন্য উত্তরের জন্য কিছু ইঙ্গিত দেবে।$K_n$

আমি মনে করি এটি এনপি-সম্পূর্ণ। এটি 3 এসএটি থেকে একটি খুব অনানুষ্ঠানিক / দ্রুত হ্রাস ধারণা

প্রতিটি চলক একটি "ভেরিয়েবল গ্যাজেট" যুক্ত করব:$x_i$

• তিনটি নোড $X_i, +X_i, -X_i$
• দুটি পরিবর্তনশীল প্রান্ত $(X_i,+X_i)$ এবং $(X_i,-X_i)$

একটি উৎস নোড যোগ এবং সংযোগ করতে সব ভেরিয়েবল x আমি ।$S$$X_i$

প্রতিটি ক্লজ জন্য একটি নোড সি জে যুক্ত করুন এবং এটি সম্পর্কিত ভেরিয়েবলের সাথে সংযুক্ত করুন$C_j$$C_j$ বা - এক্স আমি যে ফর্ম দফা।$+X_i$$-X_i$

নিম্নলিখিত চিত্রটি উপস্থাপন করে: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

সেট (নোডগুলি অবশ্যই সংযুক্ত থাকতে হবে) এ ( এস , সি 1 ) , ( এস , সি 2 ) , রয়েছে । । $R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

সহজ পথ পরিবর্তনশীল প্রান্ত ব্যতীত সমস্ত "নীল" প্রান্ত অন্তর্ভুক্ত করা উচিত ( এক্স আমি , + + এক্স আমি ) এবং ( এক্স $P$$(X_i, +X_i)$ (নীল প্রান্ত উপরের ছবিটিতে প্রান্ত যে আমরা অন্তর্ভুক্ত প্রতিনিধিত্ব পি )।$(X_i, -X_i)$$P$

এই মুহুর্তে, প্রাথমিক সূত্রটি সন্তুষ্টিজনক এবং যদি কেবল থেকে প্রতিটি ধারা নোড সি জে সংক্ষিপ্ততম পথটি তিনটির চেয়ে বেশি না হয়। প্রকৃতপক্ষে তিনটি ধাপে এস থেকে একটি ধারা পৌঁছাতে আমাদের অবশ্যই কমপক্ষে একটি পরিবর্তনশীল এক্স i : এস → এক্স আই → ± এক্স আই → সি জে যেতে হবে । সুতরাং আমাদের অবশ্যই দুটি প্রান্তের মধ্যে একটি পেরোন: এক্স আই → + এক্স আই বা এক্স আই → - এক্স আই ) এবং এটিকে সিতে অন্তর্ভুক্ত করব$S$$C_j$$S$$X_i$$S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$$X_i \to +X_i$$X_i \to -X_i)$$C$(কারণ নির্মাণ করে এটি এর অংশ নয় )। তবে উভয়কেই অন্তর্ভুক্ত করা যায় না, কারণ তারা একটি শীর্ষে ভাগ করে।$P$

তবে আমরা নিশ্চিত নই যে আমরা একটি সহজ পথ তৈরি করতে পারি যা সমস্ত নীল প্রান্তকে অন্তর্ভুক্ত করে কারণ কিছু নোডে একাধিক ঘটনা নীল প্রান্ত থাকে।$P$

এটি ঠিক করতে আমরা প্রতিটি নোডকে একাধিক ঘটনা নীল প্রান্তের সাথে প্রতিস্থাপন করি, এমন একটি গাছের সাথে কেবলমাত্র জোড়া নীল প্রান্ত যুক্ত থাকে যা এতে অন্তর্ভুক্ত থাকবে এবং প্রান্তগুলিতে অন্তর্ভুক্ত থাকে এবংক্লজ নোডগুলিতে পৌঁছানোর জন্য সিতে অন্তর্ভুক্ত করা উচিত:$P$$C$

মূল গ্রাফটি হয়ে যায়:

$K$$C_j$$S$

$C$

$P$

Comments

সমস্ত নীল প্রান্তযুক্ত এমন একটি রাস্তা তৈরির চেষ্টা করে যা আমাকে চিন্তিত করে: কিছু অংশের উপর 2 টিরও বেশি নীল প্রান্তের ঘটনা থাকে, তাই সমস্ত নীল প্রান্ত সহ কোনও একক সরল পথ থাকতে পারে না।

— মিখাইল রুডো

ঠিক আছে, আপনাকে ধন্যবাদ ... আমি সম্পূর্ণরূপে ভুলে গেছি একটি সহজ পথ :-( কি ... এখন এটি সংশোধন করা উচিত।

— Marzio ডি Biasi

গণিত.এসই-র এই পোস্টটি পরামর্শ দেয় যে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ নাও হতে পারে। এটা তোলে অবাধ্য কিন্তু quasipolynomial সময় সমাধেয় হতে পারে math.stackexchange.com/questions/2218929/...

— মোহাম্মদ আল-Turkistany

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: আপনি কি উত্তরটির বর্তমান সংস্করণে কোনও ত্রুটি দেখতে পাচ্ছেন?

— মারজিও ডি বায়াসি

না, আমি কোনও স্পষ্ট ত্রুটি দেখতে পাচ্ছি না।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান