বহুতল আকারের একটি মূল গাছের "সংক্ষিপ্ত" পথের সংখ্যার উপর নীচে আবদ্ধ

Question

যাক একটি মূলী বাইনারি ট্রি হও। টি এর মূল থেকে কোনও পাতার প্রতিটি পথের দৈর্ঘ্য n হয় । টি এর প্রতিটি নোডের সর্বদা একটি বাম এবং ডান চাইল্ড নোড থাকে তবে এটি সম্ভবত যে তারা একই (তাই সর্বদা 2 এন পথ সম্ভব)। টি এর আকার ও ( পি ও এল ই ( এন ) ) দ্বারা আবদ্ধ । বিভিন্ন শিশু নোডযুক্ত একটি নোডকে ব্রাঞ্চিং নোড বলে ।$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

আমরা বলি যে দুটি ভাগ পৃথক হয় যদি একটি ভাগ করা শাখা প্রশস্ত নোড থাকে এবং একটি পথ বাম চাইল্ড নোডে যায় এবং অন্য পথটি ডান চাইল্ড নোডে যায়। এটি পরিষ্কার যে ও ( লগ এন ) ব্রাঞ্চিং নোডের সাথে কমপক্ষে একটি পাথ রয়েছে । অন্যথায় টি তে খুব বেশি নোড থাকবে ।$T$$O(\log n)$$T$

শাখা প্রশস্তকরণ নোডের সাথে পাথের সংখ্যার চেয়ে আরও ভাল নিম্নতর আবদ্ধ কি আছে যদি আমি জানতে পারি যে গাছে ω ( লগ এন ) শাখা প্রশস্ত নোড রয়েছে?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

Comments

@ মার্ক: (5 তম লাইন) অক্ষরটি স্পষ্টতই "(7 তম লাইন)" `much খুব বেশি নোডের থেকে?$T$

— ওলেকসান্ডার বোন্ডারেঙ্কো

@ মার্ক: আপনি, দয়া করে, আপনার বক্তব্যটি আরও সঠিক করে তুলতে পারেন "যদি তারা ব্রাঞ্চিং নোডে বিভিন্ন শিশু নোড ব্যবহার করেন তবে দুটি পথ আলাদা"। আপনি বোঝাতে চেয়েছেন যে তারা যদি পৃথক পৃথক নোড ব্যবহার করে এমন ব্রাঞ্চিং নোড থাকে তবে?

— ওলেকসান্ডার বান্দারেঙ্কো

আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করি এবং এটি আরও সুনির্দিষ্ট করার চেষ্টা করি।

— মার্ক বুড়ি

যে গাছটির কেবল একটি পাথ (এবং নোড) রয়েছে সে সম্পর্কে কী বলা যায় ? এটা কি অনুমোদিত? $n$

— পিটার শর

এটা একটা ভালো প্রশ্ন। এটি অনুমোদিত তবে এটি আকর্ষণীয় বিষয় নয় :) তারপরে আমাদের গাছের শাখা নোডের সংখ্যার উপর ভিত্তি করে একটি নিম্ন গণ্ডি তৈরি করা উচিত, যেমন ব্রাঞ্চিং নোড। $\omega(\log n)$

— মার্ক বুড়ি

Answer 1

লোয়ার বাউন্ড হয় সঙ্গে পাথ হে ( লগ ঢ ) নোড শাখাবিন্যাস, আপনি আছে যদি অন্তত Ω ( লগ ঢ ) গাছে নোড শাখাবিন্যাস।$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

এটি অর্জন করা যেতে পারে: একটি গাছ ব্যবহার করুন যার একটি দীর্ঘ পথ (দৈর্ঘ্য ) রয়েছে যার সমস্ত নোড শাখাগুলি নোড, গাছটিতে অন্য কোনও শাখা নোড নেই।$n$

নীচের সীমানার স্কেচ এখানে।

প্রথমে কোনও শাখা-প্রশাখা নোড নয় এমন কোনও অভ্যন্তর নোডকে চুক্তি করে গাছটিকে সংহত করুন। যদি গাছের মূল আকারটি হত তবে নতুন গাছটি এখনও অবশ্যই < এন সি হতে হবে , যেহেতু আপনি কেবল নোডের সংখ্যা হ্রাস করেছেন। এখন, একটি পাতার গভীরতা হল সেই পাতার মূল পথে ব্রাঞ্চিং নোডগুলির সংখ্যা এবং আমাদের একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছ রয়েছে (প্রতিটি নোডের ডিগ্রি 2 বা 0 থাকে)।$< n^c$$< n^c$

গভীরতা কোন পাতার থাকে তাহলে , তারপর পাথ সংখ্যা শাখাবিন্যাস নোড সংখ্যা, যা একাধিক বেশি Ω ( লগ ঢ ) , তাই আমরা অনুমান করতে পারেন অন্তত একটি গাছের পাতা গভীরতা রয়েছে Ω ( লগ n ) ।$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

এরপরে, ক্রাফ্টের অসমতা স্মরণ করুন। যদি একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছে একটি পাতার গভীরতা তবে Σ v l e a f 2 - d ( v ) = 1 ।$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

এখন, আমাদের চেয়ে কম পাতা আছে। আমরা দেখাতে চাই যে তাদের গভীরতা ও ( লগ এন ) এ আমাদের অনেক রয়েছে । ধরুন আমরা কমপক্ষে লগ 2 ( এন সি + 1 ) = ( সি + 1 ) লগ 2 এনগুলি বিবেচনা থেকে এড়িয়ে চলেছি । সবচেয়ে ওজন এ এই অপসারণ 1 / এন ক্রাফট 'বৈষম্য সমষ্টি থেকে, তাই ঐ পাতার জন্য v সর্বাধিক গভীরতা এ ঘ ( বনাম ) ≤ ( গ $n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$ , আমাদের কাছে ∑ v l o w d e p t h l e a f 2 - d ( v ) > 1 - $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ । আমাদের কাছে∑vlowdepthleaf2-d(v)<1(যেহেতু কমপক্ষে একটি পাতার গভীরতা এই পরিমাণে অন্তর্ভুক্ত করা যায় না) has$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

1 এবং 1 - 1 এর মধ্যে কঠোরভাবে সংখ্যা যোগ করতে এটি দেখাতে মোটামুটি সহজ$2^{-k}$$1$ , আমরা অন্তত প্রয়োজনলগ ইন করুন2এনতাদের। এটি দেখায় যেও(লগএন)ব্রাঞ্চিং নোডেরসাথেΩ(লগএন)পাথ রয়েছে।$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$

Comments

যদি কেউ ভাবছেন যে আমি কেন একটি সমীকরণকে একটি অসমতা বলছি, ক্র্যাফটের অসমতার সম্পূর্ণ বাইনারি গাছের জন্য সমান চিহ্ন রয়েছে ।

— পিটার শর

এই সুন্দর উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এখন অবধি ক্র্যাফটের অসাম্য জানতাম না। খুব দরকারী অসমতা।

— মার্ক বুড়ি