ডিএফএগুলির জন্য ট্রানজিশনের একচেটিয়া সদস্যপদ

Question

একটি সম্পূর্ণ ডিএফএ দেওয়া হয়েছে $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$, আমরা ফাংশনগুলির একটি সংজ্ঞা নির্ধারণ করতে পারি $f_a$ প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $a\in \Gamma$এবং সাথে $f_a:Q\rightarrow Q$, $f_a(q)=\delta(q, a)$। আমরা এই ধারণাটিকে একটি কথায় সাধারণীকরণ করতে পারি$w=a_1, \cdots, a_m$ এবং $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ কোথায় $\circ$ফাংশন রচনা নির্দেশ করে। তদুপরি আমরা বোঝাচ্ছি$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ এবং $G$ একঘেয়ে।

[$G$সাধারণত স্ট্যান্ডার্ড পাঠ্যপুস্তকে ট্রানজিশন মনয়েড বলা হয় তবে এখানে আমি স্পষ্টতার জন্য সংজ্ঞাটি পুনরুত্পাদন করি]]

প্রশ্ন একটি ফাংশন দেওয়া হয় $f:Q\rightarrow Q$, আমরা কি সিদ্ধান্ত নিতে পারি? $f\in G$ (আদর্শভাবে বহুপদী সময়), এবং যদি এটি হয় (যেমন, একটি বিদ্যমান আছে $w$ যেমন যে $f=f_w$), কিনা $w$ কেবল বহুপক্ষীয়ভাবেই দীর্ঘ, বা দ্রুততর দীর্ঘ হতে পারে?

[আমি অনুমান করি যে প্রকৃতপক্ষে এই জাতীয় শব্দটি দীর্ঘায়িত হতে পারে তবে আমি একটি সাধারণ উদাহরণ খুঁজছি]]

Answer 1

Decidability

এটা নির্ধারণযোগ্য। এখানে চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি সম্ভব কার্য রয়েছে$f:Q \to Q$, যাতে আপনি প্রতি ফাংশন এবং একটি প্রান্তে একটি প্রান্ত সহ একটি গ্রাফ পুনঃচঞ্চলতা সমস্যা হিসাবে এটি মডেল করতে পারেন $g \to h$ যদি উপস্থিত থাকে $a \in \Gamma$ যেমন যে $h = f_a \circ g$। তারপরে, কোনও ফাংশন কিনা তা পরীক্ষা করা হচ্ছে$g$ ভিতরে আছে $G$ কিনা তা পরীক্ষা করতে হ্রাস করে $g$ গ্রাফ থেকে পৌঁছনীয় $f_\epsilon$। প্রথমবারের মতো আপনি এই ধরনের সংক্ষিপ্ত শব্দটি খুঁজে পেতে পারেন। চলমান সময়টি ব্যাক্তিগত হতে পারে$Q$যদিও।

শব্দের দৈর্ঘ্য

সংক্ষিপ্ততম এই শব্দটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে দীর্ঘ হতে পারে। এই জাতীয় ডিএফএর উদাহরণ এখানে is দিন$p_1,\dots,p_k$ প্রথম হতে $k$মৌলিক। তারপরে একটি রাষ্ট্র ফর্মের হবে$(i,x)$ কোথায় $i \in \{1,\dots,k\}$ এবং $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$। অ্যানারি বর্ণমালা সহ একটি ডিএফএ সংজ্ঞায়িত করুন$\Gamma=\{0\}$ এবং রূপান্তর ফাংশন $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$। কাজ$f_0 :Q \to Q$ দেওয়া হয়

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

এখন ফাংশন বিবেচনা করুন $g:Q \to Q$ দ্বারা প্রদত্ত

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

এটি দেখানোর জন্য চীনা বাকী উপপাদ্য ব্যবহার করা সম্ভব use $g = f_{0^n}$ কোথায় $n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$, এবং সেটা $0^n$এটি সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত শব্দ। অধিকন্তু,$|Q|= p_1 + \dots + p_k$তাই $n$ তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড় $Q$।

ফলস্বরূপ, বহু-কালীন অ্যালগরিদমের কোনও আশা নেই যা এই জাতীয় শব্দটির ফলাফল দেয়। এটি এখনও সিদ্ধান্ত নেওয়ার ক্ষেত্রে বহুপদী সময় অ্যালগরিদমের সম্ভাবনাটি খোলে$g$ ভিতরে আছে $G$যদিও।