অরথোগোনাল প্যাকিং সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এনপি-কঠোরতা

Question

দিন $V$ একটি সেট হতে $D$আয়তক্ষেত্রাকার আকার। জন্য$d \in \{1,...,D\}$ এবং $v \in V$, $w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$ দৈর্ঘ্য বর্ণনা করে $v$ মাত্রা মধ্যে $d$। একই স্বরলিপিটি ধারকটির জন্য ব্যবহৃত হয়$C$। দ্য$D$-মাত্রিক অরথোগোনাল প্যাকিং সমস্যা (ওপিপি-$D$) যদি সিদ্ধান্ত নিতে হয় $V$ ধারক মধ্যে ফিট $C$ওভারল্যাপিং ছাড়াই। সাধারণভাবে বলতে গেলে সমস্যাটি কিনা তা খুঁজে বের করতে হবে$\forall d \in \{1,...,D\}$ একটি ফাংশন আছে $f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$, যেমন যে $\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ এবং $\forall v_1,v_2 \in V$, $(v_1 \neq v_2)$, $[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$।

সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ (ফেকেট এসপি দেখুন, স্কিপারস জে। "উচ্চ-মাত্রিক প্যাকিংয়ের জন্য আমি: মডেলিং"। প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন 97-288, ইউনিভার্সিটি অফ জু কলান, ১৯৯ 1997)। সমস্যাটি এমনকি এনপি-সম্পূর্ণ$D=2$। আমি ভাবছি, আইটেমের সীমিত সংখ্যক ধরণের (অর্থাত প্রতিটি মাত্রার আকার) এর জন্য অर्थোগোনাল প্যাকিংয়ের সমস্যাটি এখনও এনপি-সম্পূর্ণ কিনা। স্কোর স্কোয়ারে প্যাকিংয়ের এনপি-সম্পূর্ণতার বিষয়ে কিছু কাগজের ফলাফল আমি এখনও খুঁজে পেয়েছি (দেখুন জোসেফ ওয়াইটি। লেঙ্গ, টম্মি ডাব্লু ট্যাম, এবং সিএস ওং, "স্কোয়ারে স্কোয়ার প্যাকিং", সমান্তরাল এবং বিতরণকৃত কম্পিউটিংয়ের জার্নাল, খণ্ড 10 ইস্যু 3, নভেম্বর। 1990) যা ইতিমধ্যে একটি বিধিনিষেধযুক্ত তবে এখনও আইটেমের ধরণের সংখ্যা সীমাবদ্ধ থাকলে কী হয় তা আমি জানি না।

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ,

Comments

আপনি কি মূল সমস্যাটি বলতে পারবেন?

— সুরেশ ভেঙ্কট

অर्थোগোনাল প্যাকিং সমস্যা কী?

— Tsuyoshi Ito

(1) আমি এই বিষয়টিতে বিশেষজ্ঞ নই, তবে সমস্যাটি বৈষম্য কি তার জটিলতা বিশ্লেষণের পক্ষে খুব বেশি স্কেচ নয়? (২) দয়া করে আপনার মন্তব্য এডিট করে আরও মন্তব্য যুক্ত করার পরিবর্তে অন্যদের মন্তব্য ব্যবহার করার চেষ্টা করুন। বেশিরভাগ লোকেরা কেবল প্রশ্নটি বোঝার জন্য মন্তব্যে আলোচনাগুলি অনুসরণ করতে চান না।

— Tsuyoshi Ito

আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করে সমস্যাটি কি কি তা দৃ rig়তার সাথে সংজ্ঞায়নের চেষ্টা করুন (উপরের সম্পাদনা বোতামটি ক্লিক করুন) এবং আপনি খুঁজে পেয়েছেন এমন কিছু উল্লেখ যুক্ত করুন। এটি সম্প্রদায়কে আপনি কী জানেন এবং আপনি কী জানতে চান তা বুঝতে সহায়তা করবে। আপনাকে সাহায্য করতে আমাদের সহায়তা করুন!

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之

(আমার মন্তব্য এবং সিসিয়েন-চিহর মন্তব্যটি প্রশ্নকর্তার পূর্ববর্তী মন্তব্যকে উল্লেখ করেছে যা অर्थোগোনাল প্যাকিংয়ের সমস্যাটি কী, যা পরে মুছে ফেলা হয়েছে।)

— সোসোশি ইতো

Answer 1

আমি মনে করি যে ক্লাউস জেনসেন এবং রবার্তো সলিস-ওবা " অবজেক্টের দৈর্ঘ্যের ধনাত্মক সংখ্যার সাথে কাটা স্টক সমস্যার জন্য একটি ওপিটি + 1 অ্যালগরিদম " আপনার কাগজের একটি আংশিক উত্তর রয়েছে। তারা আপনার সমস্যার একটি বিশেষ কেস কেটেটিং স্টক সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করে যখন ডায়ারেন্ট অবজেক্টের ধরণের সংখ্যা স্থির থাকে এবং নীচে হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়:

ইন কাটা স্টক সমস্যা আমরা একটি সেট দেওয়া হয়$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$ বস্তুর ধরণের, যেখানে বস্তুর প্রকারের $T_i$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার দৈর্ঘ্য রয়েছে $p_i$। বিন্যাসের একটি capacity nite সেট দেওয়া, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার ক্ষমতা$\beta$, সমস্যাটি একটি সেট প্যাক করার জন্য $\mathcal{O}$ এর $n$বিনের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যায় এমনভাবে বস্তুগুলি প্রবেশ করে যাতে বিনের সক্ষমতা অতিক্রম না হয়; সেট এ$\mathcal{O}$ সেখানে $n_i$ ধরণের বস্তু $T_i$, সবার জন্য $i =1,\dots,d$।

লেখকরা এমনটাই দাবি করেছেন

কাটিং স্টক সমস্যাটি প্রতি xed মানের জন্য বহুবর্ষে সমাধান করা যায় কিনা তা জানা যায়নি $d$।

এবং তারা প্রস্তাব দেয় $OPT+1$ আনুমানিক বহুবর্ষ-সময় অ্যালগরিদম যখন $d$ সংশোধন করা হয়েছে.

যেহেতু এটি প্রমাণিত হয়নি যে এই বিশেষ মামলাটি রয়েছে $P$, এটি আপনার সমস্যা যে প্রমাণ $NP$-hard।

সংযোজন: এটি জানা যায় যে দুটি বস্তুর প্রকারের ক্ষেত্রে ($d=2$) বহুপক্ষীয়ভাবে সমাধানযোগ্য, তবে জন্য $d=3$ শুধুমাত্র জানা আছে $OPT+1$-approximation।

Comments

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এটি প্রমাণিত হয়নি$P$, তবে এনপি-হার্ড ঠিক নেই? যাইহোক, যেমন আপনি বলেছিলেন এটি আমাকে একটি আংশিক উত্তর দেয় এবং আমাকে মনে করে যে ওপিপি -২ এর জন্য সম্ভবত এটি অধ্যয়ন করা হয়নি।

— পেট্রু

আমি মনে করি আপনি সম্ভবত ঠিক বলেছেন যে আপনার সমস্যা অধ্যয়ন করা হয়নি। যেমন আপনি বলেছেন "এটি পি তে প্রমাণিত হয়নি, তবে এনপি-হার্ডও নয়" এবং আমি এটিও এটি বুঝতে পারি।

— ওলেকসান্ডার বান্দারেঙ্কো

হতে পারে এই সমস্যাটিকে "পি হিসাবে পরিচিত নয় বা এনপিসি হচ্ছে না" সমস্যাগুলির তালিকায় যুক্ত করা যেতে পারে ।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之