কোন 2P1R গেমগুলি সম্ভাব্য তীক্ষ্ণ?

Question

দ্বি-প্রবাদী ওয়ান-রাউন্ড (2P1R) গেমগুলি আনুমানিকতার কঠোরতার জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম। বিশেষত, দ্বি-প্রবাদী ওয়ান-রাউন্ড গেমগুলির সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি একটি আনুমানিক সমস্যার সিদ্ধান্ত সংস্করণে ফাঁকের আকার বাড়াতে একটি উপায় দেয়। বিষয়টির ওভারভিউয়ের জন্য সিসিসি 2010 তে রন রাজের সমীক্ষা আলোচনা দেখুন ।

একটি গেমের সমান্তরাল পুনরাবৃত্তির অবাক করা সম্পত্তি রয়েছে যে এলোমেলোভাবে যাচাইকারী স্বাধীনভাবে কাজ করার সময়, দুটি খেলোয়াড় প্রতিটি খেলা স্বাধীনভাবে খেলতে চেয়ে আরও ভাল সাফল্য অর্জনের জন্য অ-স্বতন্ত্র উপায়ে গেম খেলতে পারে। সাফল্যের পরিমাণ উপরের সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি উপপাদ্য দ্বারা আবদ্ধ:

উপপাদ্য আছে: বিদ্যমান একটি সার্বজনীন ধ্রুবক $c$ যাতে প্রত্যেক 2P1R খেলার জন্য $G$ সাথে মান $1-\epsilon$ ও উত্তর আকার $s$ সমান্তরাল পুনরাবৃত্তি খেলার মান $G^n$ সর্বাধিক হয় $(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$ ।

এই ধ্রুবক সনাক্তকরণের কাজের একটি রূপরেখা এখানে দেওয়া হল $c$:

• রাজের মূল কাগজটি প্রমাণ করে $c \leq 32$।
• হোলেনস্টেইন এটিকে উন্নত করে উন্নীত করেছে $c \leq 3$।
• রাও যে দেখিয়েছেন $c' \leq 2$ যথেষ্ট (এবং উপর নির্ভরতা $s$ অভিক্ষেপ গেম বিশেষ মামলায় মুছে ফেলা হবে)।
• রাজ বিজোড়-চক্র গেমের জন্য একটি কৌশল দিয়েছে যা দেখায় যে রাউ'র ফলাফল প্রক্ষেপণ গেমগুলির জন্য তীক্ষ্ণ।

এই কাজের বডি দ্বারা, আমরা জানি $2 \leq c\leq 3$ । আমার দুটি প্রশ্ন নিম্নরূপ:

প্রশ্ন 1: এই অঞ্চলের বিশেষজ্ঞদের সঠিক মান সম্পর্কে একমত আছে $c$?

যদি মনে করা হয় যে $c > 2$ , এমন কোনও নির্দিষ্ট গেম রয়েছে যা প্রক্ষেপণমূলক নয়, তবে রাওয়ের প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় প্রজেকশন গেমগুলির অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকেও লঙ্ঘন করে।

$c > 2$

আমার নিজের পাঠ থেকে, প্রজেকশন গেমগুলির মধ্যে এটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি যা রাও ব্যবহার করেন তা হ'ল সমান্তরাল পুনরাবৃত্তির জন্য একটি ভাল কৌশল নির্দিষ্ট প্রশ্নের জন্য সম্ভাব্য উত্তরগুলির অনেকগুলি ব্যবহার করবে না। এটি কোনওভাবে প্রজেকশন গেমের স্থানীয়তার সাথে সম্পর্কিত।

Answer 1

আমি বিশ্বাস করি যে সি = 3 হ'ল সাধারণ ক্ষেত্রে সঠিক উত্তর এবং এটি উদাহরণ দেওয়া সম্ভব should নিশ্চিতভাবে জানতে আমাকে এ সম্পর্কে আরও চিন্তা করতে হবে। এটি একটি ভাল প্রশ্ন, এবং আমি এটি সম্পর্কে বিদ্যমান কাজ সম্পর্কে জানি না।

কোন ধরণের গেমগুলি (সর্বোত্তম সম্ভব) সি = 1 এর উপর সম্প্রতি গবেষণা কেন্দ্রীভূত হয়েছে, বেশিরভাগ অনন্য গেমগুলির প্রশস্তকরণের সম্ভাব্য অ্যাপ্লিকেশনগুলির কারণে।

• বরাক এট এসডিপি ফাঁক দিয়ে সমস্ত অনন্য গেমগুলিতে রাজের পাল্টা নমুনাটিকে সাধারণীকরণ করেছে।
• প্রজেকশন গেমসকে প্রসারিত করার জন্য রাজ এবং রোজন দেখিয়েছেন সি = 1। ফ্রি গেমসের জন্য সেই লেখকদের একটি সুপার সেট দ্বারা পূর্ববর্তী ফলাফলগুলিও রয়েছে।

Answer 2

জিনিসগুলি ঘূর্ণায়মান পেতে, আমার একটি সম্ভাব্য খেলা আছে এবং প্রতিক্রিয়া চাই।

$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ এবং এই ক্রম অনুসারে color the সংখ্যার রঙ করা , যেহেতু ক্রমান্বয়ে পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি সেট a একটি চক্র গঠন। যেহেতু একাধিক নয় , তাই এখানে কিছু রঙ থাকবে যেখানে এই রঙটি ব্যর্থ হয়।$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

যাচাইকারীটি হয় উভয় খেলোয়াড়ের কাছ থেকে একটি একক ভার্টেক্স জিজ্ঞাসা করে, রঙগুলি মেলে কিনা তা যাচাই করতে, বা রঙগুলি আলাদা কিনা তা যাচাই করতে একটি প্রান্ত জিজ্ঞাসা করে।

আমি বিশ্বাস করি এটি দুটি কারণে একটি ভাল উদাহরণ:

1. এটি বিজোড়-চক্র গেমের মতো যথেষ্ট যে কৌশলটি রাজের নীচের অংশের মতো তৈরি করা যেতে পারে। এই কৌশলটির একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশটি এলোমেলোভাবে ভাগ করে নেওয়া এলোমেলো ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তির জুড়ে রং নির্বাচন করা।

2. এলোমেলোভাবে উত্পাদিত রঙিনগুলিতে ব্যবহৃত ক্রমগুলি এলোমেলো করে, প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে দেওয়া উত্তরগুলির সংখ্যা পুরো উত্তর সেটকে অভিন্ন উপায়ে বিস্তৃত করে রাওয়ের কৌশলকে আক্রমণ করে।

এই গেমটি ইতিমধ্যে বিবেচনা করা / সমাধান করা হয়েছে?