বিনের সাথে বাইনারি সম্পর্ক বিতরণ করা যাতে প্রতিটি উপাদান সংখ্যক বিন্দুতে থাকে

আমাদের জোড়া জোড়া বস্তু দেওয়া হয়েছে (বলুন, সংখ্যা)। প্রতিটি বস্তু সর্বাধিক উপস্থিত হয় । আমাদের লক্ষ্যটি জোড়গুলি সমান আকারের বিনগুলিতে বিতরণ করা, যেমন প্রতিটি বস্তু যতটা সম্ভব কম কয়েকটি পৃথক বিন্দুতে ঘটে। $q$

আরো সঠিকভাবে, আমরা একটি ফাংশন আগ্রহী প্রতিটি বাইনারি সম্পর্ক যে সম্পত্তি সঙ্গে সর্বাধিক সঙ্গে জোড়া বস্তুর প্রতি জোড়া সেখানে যুগলের একটি বিতরণ করা হয় বিন, এই ধরনের প্রতিটি বিন পায় যে $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ জোড়া ( $p$ বিভক্ত করা উচিত $m$ ), এবং কোন বস্তুর বেশি ঘটে $f(m,q,p)$ বিন।

এই প্রশ্নটি সমান্তরাল ক্যোয়ারী মূল্যায়নের উপর আমাদের গবেষণায় উঠে এসেছিল। মনে হতে পারে $m$ তুলনায় বড় $p$ । এর "ডান" আকারটি $q$ কম পরিষ্কার। জন্য একটি আকর্ষণীয় আকার $q$ হতে পারে, যেমন, $\sqrt{\frac{m}{p}}$ । একটি ফাংশন যাউপর নির্ভর করে না $q$ , তবে কেবলমাত্রএকটি নির্দিষ্ট পরিসরের জন্য কাজকরে তা $q$ হবে (তবে $q=O(1)$ )।

আসলে, আমরা ফর্ম সীমার পর হয় $p^{1-\epsilon}$ সঙ্গে $\epsilon>0$ বৃহত সম্ভব ...

combinatorics

— টমাস এস
সূত্র

গ্রাফ পরিভাষায়: একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া

এবং একটি গ্রাফ

সঙ্গে

প্রান্ত, সর্বাধিক প্রতিটি প্রান্তবিন্দু থাকার ডিগ্রী অর্জন

, খুঁজুন

subgraphs

যেখানে

, যেমন

, এবং

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$ . Your goal is to minimize

k

$k$ . What's the best upper bound on

k

$k$ you can show given

m

$m$ ,

p

$p$ , and

q

$q$ ?

— Neal Young

That's right. In terms of graphs. The answer to the question is:

p

$p$ . Indeed, as written above, we are interested in bounds of the form

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$ and do not have any such bound for

ϵ > 0

$\epsilon>0$ .

— Thomas S

A special case to get started: Let

n \geq 1

$n \ge 1$ be an odd integer. Can one partition the

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$ edges of the complete graph

K_{n}

$K_n$ into

n

$n$ subsets of size

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$ such that, for each vertex, the number of subsets containing edges incident to that vertex is

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$ , for some

ϵ > 0

$\epsilon>0$ ? I bet yes for any

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$ --- take

n

$n$ random vertex subsets of size

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$ each. Then with high probability each vertex is in about

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$ of the vertex subsets, and each pair

(i, j)

$(i,j)$ is in about

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ of the subsets. Now assign the pairs to subsets...

— Neal Young

In this case, the nodes can be first distributed into

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ sets of size

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ (think of intervals). Then each bin gets the product

I \times J

$I\times J$ of two such sets (I am considering the complete directed graph, whic is easier to state and asymptotically not much different). Hence, each vertex occurs in

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ bins, that is,

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$ in this case.

— Thomas S

For the star graph (

n - 1

$n-1$ edges incident to one vertex

r

$r$ ) the vertex

r

$r$ has to be in each of the

p

$p$ subgraphs, so for that case a bound less than

p

$p$ is not possible. I guess that's why you restrict the max degree

q

$q$ ? Maybe you could say something more definitive about that, since it seems to be a crucial assumption. Meanwhile, I left an observation (not an answer, but too big to fit as a comment!) as an answer below.

— Neal Young

This is not an answer. It is just the somewhat trivial observation that WLOG you can relax the requirement that there be exactly $p$ edge subsets $\{E_i\}_i$ of exactly the same size, and instead just look for any number of edge subsets of of size $O(\textsf{the desired size})$ . Maybe this helps think about the problem.

Fix any graph $G=(V,E)$ and integer $p\ge 1$ . Let $s=\lceil |E|/p\rceil$

Lemma. Suppose there are subgraphs $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ such that $\{E'_j\}_j$ partitions $E$ into (any number of) parts of size $O(s)$ . Let

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$ be the maximum number of parts that any vertex is in.

Then there are $p$ subgraphs $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ such that $\{E_i\}_i$ partitions $E$ into exactly $p$ parts each of size at most $s=\lceil |E|/p\rceil$ , and

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Proof. Starting with the sequence $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ , replace each part $E'_j$ in the sequence by any ordered sequence of the edges contained in that part. Let $e_1, e_2, \ldots, e_m$ be the resulting sequence (a permutation of $E$ such that each part $E'_j$ is some "interval" $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ of edges in the sequence). Now partition this sequence into $p$ contiguous subsequences such that each except the last has size $s$ , and let $E_i$ contain the edges in the $i$ th contiguous subsequence. (So $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ for $i<p$ .)

By assumption each part $E'_j$ has size $O(s)$ , and by design each part $E_j$ except the last part $E_p$ has size $s$ , so (because of the way $\{E_i\}_i$ is defined) the edges in any given part $E'_j$ are split across $O(1)$ parts in $\{E_i\}_i$ . This, and the assumption that each vertex occurs in at most $M$ of the parts in $\{E'_j\}_j$ , imply that each vertex occurs in at most $O(M)$ of the parts in $\{E_i\}_i$ . QED

— Neal Young
সূত্র