আমি কোনও রেফারেন্স খুঁজে পাই না, সুতরাং আমি এখানে প্রমাণটি স্কেচ করব।
উপপাদ্য। যাক বাস্তব র্যান্ডম ভেরিয়েবল হও। যাক ধ্রুবক হও। ধরা যাক এবং সমস্ত এর এর সমর্থনে , আমাদের আছেX1,⋯,Xna1,⋯,an,b1,⋯,bni∈{1,⋯,n}(x1,⋯,xi−1)(X1,⋯,Xi−1)
- E[Xi|X1=x1,⋯,Xi−1=xi−1]≤0 এবং
- P[Xi∈[ai,bi]]=1 ।
তারপরে, সমস্ত ,t≥0
P[∑i=1nXi≥t]≤exp(−2t2∑ni=1(bi−ai)2).
প্রুফ। নির্ধারণ । আমরা দাবি করি যে সমস্ত এবং , আমাদের কাছে
অনুমান করে, এবং সকলের জন্য সমর্থনেYi=∑ij=1Xj
∀i∈{1,⋯,n} ∀λ≥0 E[eλYi]≤e18λ2∑ij=1(bj−aj)2.(*)
iλE[eλYi]=E[eλYi−1⋅eλXi]=E[eλYi−1⋅E[eλXi∣∣Yi−1]].
μ(yi−1):=E[Xi|Yi−1=yi−1]≤0P[Xi∈[ai,bi]]=1yi−1Yi−1। (দ্রষ্টব্য যে ।) সুতরাং,
হয়েফডিংয়ের লেমা দ্বারা , সমস্ত সমর্থনে এবং সমস্ত । যেহেতু , আমাদের কাছে সমস্ত ,
এখন অন্তর্ভুক্তি উপরে দাবি (*) দেয়।
Yi−1=X1+⋯+Xi−1E[eλXi∣∣Yi−1=yi−1]≤eλμ(yi−1)+18λ2(bi−ai)2
yi−1Yi−1λ∈Rμ(yi−1)≤0λ≥0E[eλYi]≤E[eλYi−1⋅e0+18λ2(bi−ai)2].
এখন আমরা মার্কভের বৈষম্যটিকে to প্রয়োগ করি এবং আমাদের দাবি (*) ব্যবহার করি। সর্বকালের জন্য, ,
অবশেষে, ডান হাতের এক্সপ্রেশনটি হ্রাস করতে এবং ফলাফল পেতে । eλYnt,λ>0
P[∑i=1nXi≥t]=P[Yn≥t]=P[eλYn≥eλt]≤E[eλYn]eλt≤e18λ2∑ni=1(bi−ai)2eλt.
λ=4t∑ni=1(bi−ai)2■
আমি আমার মন্তব্যে যেমন উল্লেখ করেছি, আজুমার বৈষম্যের এই এবং "স্বাভাবিক" বক্তব্যের মধ্যে মূল পার্থক্য than এর পরিবর্তে । প্রাক্তন আরও নমনীয়তার অনুমতি দেয় এবং এটি কিছু ক্ষেত্রে 2 এর একটি ফ্যাক্টর সংরক্ষণ করে।Xi∈[ai,bi]Xi∈[−a,a]
নোট করুন যে মধ্যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি একটি সুপারমার্কেটিং। আপনি , এবং (যেখানে সেট করে আজুমার অসমতার স্বাভাবিক সংস্করণটি পেতে পারেন ), এবং তারপরে উপরের ফলাফলটি প্রয়োগ করুন।YiY1,⋯,YnXi=Yi−Yi−1[ai,bi]=[−ci,ci]P[|Yi−Yi−1|≤ci]=1