আজুমার অসমতার এই অমান্য সংস্করণের প্রমাণ কী?


12

ডি ওয়ার্ক এট ইত্যাদি দ্বারা বস্টিং এবং ডিফারেনশিয়াল প্রাইভেসির পরিশিষ্ট খ-এ , লেখকরা প্রমাণ ছাড়াই নীচের ফলাফলটি বর্ণনা করেছেন এবং এটিকে আজুমার বৈষম্য হিসাবে উল্লেখ করেছেন:

যাক C1,,Ck রিয়েল-মূল্যবান হতে র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেমন যে প্রত্যেক জন্য i[k] ,

  1. Pr[|Ci|α]=1
  2. প্রতি , আমাদের কাছে ।(c1,,ci1)Supp(C1,,Ci1)E[CiC1=c1,,Ci1=ci1]β

তারপরে প্রতিটি জন্য আমাদের কাছে ।z>0Pr[i=1kCi>kβ+zkα]ez2/2

এটি প্রমাণ করতে আমার সমস্যা হচ্ছে। Azuma এর বৈষম্য মানক সংস্করণ বলে:

ধরুন একটি মার্টিনেল এবং প্রায় অবশ্যই। তারপরে সমস্ত , আমাদের কাছে ।{X0,X1,,Xk}|XiXi1|γit>0Pr[Xkt]exp(t2/(2i=1kγi2))

ডক্কর এট আল দ্বারা বর্ণিত আজুমার অসমতার সংস্করণ প্রমাণ করার জন্য, আমি অনুভব করেছি যে আমাদের এবং । এইভাবে, আমি মনে করি a একটি বিবাহের। তবে আমরা কেবল এটিই বলতে পারি যে প্রায় অবশ্যই, তাই না? এই দুটি কারণের কারণই সমস্যা সৃষ্টি করে, কারণ এর অর্থ হ'ল প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা কেবলমাত্র এটি দেখতে পাই যে 2/2 , যা Dwork এট আল দ্বারা বর্ণিত উপসংহারের চেয়ে দুর্বল।X0=0Xi=Xi1+CiE[CiC1,C2,,Ci1]{X0,,Xk}|XiXi1|2αPr[i=1kCi>kβ+zk2α]ez2/2

আমি অনুপস্থিত একটি সহজ কৌশল আছে? Dwork এট দ্বারা বিবৃতি। দুটির একটি গুণক অনুপস্থিত?


কাগজে বিবৃতিটি সত্য, তবে আজুমার অসমতার "স্বাভাবিক" সংস্করণটি অনুসরণ করে না। বিষয়টি হ'ল সাধারণ বিবৃতিটি অনুমান করে তবে একই দৈর্ঘ্যের কোনও ব্যবধান করবে; প্রতিসাম্য বিরতি মনে করার কোনও কারণ নেই। XiXi1[a,a]
থমাস

উত্তর:


13

আমি কোনও রেফারেন্স খুঁজে পাই না, সুতরাং আমি এখানে প্রমাণটি স্কেচ করব।

উপপাদ্য। যাক বাস্তব র্যান্ডম ভেরিয়েবল হও। যাক ধ্রুবক হও। ধরা যাক এবং সমস্ত এর এর সমর্থনে , আমাদের আছেX1,,Xna1,,an,b1,,bni{1,,n}(x1,,xi1)(X1,,Xi1)

  1. E[Xi|X1=x1,,Xi1=xi1]0 এবং
  2. P[Xi[ai,bi]]=1

তারপরে, সমস্ত ,t0

P[i=1nXit]exp(2t2i=1n(biai)2).

প্রুফ। নির্ধারণ । আমরা দাবি করি যে সমস্ত এবং , আমাদের কাছে অনুমান করে, এবং সকলের জন্য সমর্থনেYi=j=1iXj

(*)i{1,,n} λ0     E[eλYi]e18λ2j=1i(bjaj)2.
iλ
E[eλYi]=E[eλYi1eλXi]=E[eλYi1E[eλXi|Yi1]].
μ(yi1):=E[Xi|Yi1=yi1]0P[Xi[ai,bi]]=1yi1Yi1। (দ্রষ্টব্য যে ।) সুতরাং, হয়েফডিংয়ের লেমা দ্বারা , সমস্ত সমর্থনে এবং সমস্ত । যেহেতু , আমাদের কাছে সমস্ত , এখন অন্তর্ভুক্তি উপরে দাবি (*) দেয়।Yi1=X1++Xi1
E[eλXi|Yi1=yi1]eλμ(yi1)+18λ2(biai)2
yi1Yi1λRμ(yi1)0λ0
E[eλYi]E[eλYi1e0+18λ2(biai)2].

এখন আমরা মার্কভের বৈষম্যটিকে to প্রয়োগ করি এবং আমাদের দাবি (*) ব্যবহার করি। সর্বকালের জন্য, , অবশেষে, ডান হাতের এক্সপ্রেশনটি হ্রাস করতে এবং ফলাফল পেতে । eλYnt,λ>0

P[i=1nXit]=P[Ynt]=P[eλYneλt]E[eλYn]eλte18λ2i=1n(biai)2eλt.
λ=4ti=1n(biai)2

আমি আমার মন্তব্যে যেমন উল্লেখ করেছি, আজুমার বৈষম্যের এই এবং "স্বাভাবিক" বক্তব্যের মধ্যে মূল পার্থক্য than এর পরিবর্তে । প্রাক্তন আরও নমনীয়তার অনুমতি দেয় এবং এটি কিছু ক্ষেত্রে 2 এর একটি ফ্যাক্টর সংরক্ষণ করে।Xi[ai,bi]Xi[a,a]

নোট করুন যে মধ্যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি একটি সুপারমার্কেটিং। আপনি , এবং (যেখানে সেট করে আজুমার অসমতার স্বাভাবিক সংস্করণটি পেতে পারেন ), এবং তারপরে উপরের ফলাফলটি প্রয়োগ করুন।YiY1,,YnXi=YiYi1[ai,bi]=[ci,ci]P[|YiYi1|ci]=1


প্রমাণ প্রথম লাইন, এটা সম্ভবতঃ হওয়া উচিত (উপরের হিসাবে সমষ্টি আবদ্ধ বদলে ) ....Yi=j=1iXjin
Dougal

1
এর প্রমাণটি ডুভাশি এবং প্যানকোনেসি মনোগ্রাফিতেও দিয়েছেন।
ক্রিস্টোফার আরনসফেল্ট হ্যানসেন

@ ক্রিস্টোফারআরেন্সফেল্টহানসেন: দুর্দান্ত। আপনার কি লিংক আছে?
থমাস
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.