গাউসিয়ান নির্মূলের আসল সময় জটিলতা কী?

Question

পূর্ববর্তী প্রশ্নের উত্তরে আমি সাধারণ কিন্তু ভ্রান্ত বিশ্বাসের কথা উল্লেখ করেছি যে সময়ে "গাউসিয়ান" নির্মূলকরণ চলে । যদিও এটি স্পষ্ট যে অ্যালগরিদম গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে, অসতর্কতা প্রয়োগের ফলে বহু বিট দিয়ে সংখ্যা তৈরি করতে পারে। একটি সাধারণ উদাহরণ হিসাবে ধরুন, আমরা নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সকে তির্যক করতে চাই:$O(n^3)$$O(n^3)$

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 \\ \end{bmatrix}$$

যদি আমরা বিভাজন ছাড়াই বিলোপকরণ অ্যালগরিদমের কোনও সংস্করণ ব্যবহার করি, যা কেবল এক সারিতে অন্য সারির পূর্ণসংখ্য গুণকে যুক্ত করে এবং আমরা সর্বদা ম্যাট্রিক্সের একটি তির্যক এন্ট্রিতে পাইভট করি, আউটপুট ম্যাট্রিক্সটিতে ভেক্টর রয়েছে ।$(2, 4, 16, 256, \dots, 2^{2^{n-1}})$

কিন্তু কি হল গসিয়ান বর্জন প্রকৃত সময় জটিলতা? বেশিরভাগ সম্মিলিত অপ্টিমাইজেশান লেখকরা "দৃ pol়ভাবে বহুপদী" দিয়ে খুশি বলে মনে হচ্ছে, তবে আমি উত্সাহিত করি যে বহুপদীটি আসলে কী।

জ্যাক এডমন্ডসের ১৯ 1967 সালের একটি গবেষণাপত্রে গৌসিয়ান নির্মূলের একটি সংস্করণ বর্ণনা করা হয়েছে ("সম্ভবত গাউসের কারণে") যা বহুলোকের সময়ে দৃ .়ভাবে চলে। এডমন্ডসের মূল অন্তর্দৃষ্টি হ'ল প্রতিটি মধ্যবর্তী ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি প্রবেশই মূল ইনপুট ম্যাট্রিক্সের একটি নাবালকের নির্ধারক। বিট পূর্ণসংখ্যার এন্ট্রি সহ একটি ম্যাট্রিক্সের জন্য, এডমন্ডস প্রমাণ করে যে তার অ্যালগোরিদমের জন্য বেশিরভাগ বিট সহ পূর্ণসংখ্যার প্রয়োজন হয় । "যুক্তিসঙ্গত" অনুমানের অধীনে যে , আমরা যদি পাঠ্যপুস্তক পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক ব্যবহার করি, বা আমরা যদি সময়ে ব্যবহার করি তবে এডমন্ডসের অ্যালগোরিদম সময়ে চলে if একটি স্ট্যান্ডার্ড পূর্ণসংখ্যার র‌্যামে এফএফটি-ভিত্তিক গুণক ব্যবহার করুন, যা সম্পাদন করতে পারে$n\times n$$m$$O(n(m+\log n))$$m=O(\log n)$$O(n^5)$$\tilde{O}(n^4)$$O(\log n)$ধ্রুবক সময়ে গাণিতিক বিট। (এডমন্ডস এবার বিশ্লেষণ করেন নি; তিনি কেবল দাবি করেছিলেন যে তাঁর অ্যালগোরিদম "ভাল"))

এটি কি এখনও সেরা বিশ্লেষণ জানা যায়? এমন কোনও স্ট্যান্ডার্ড রেফারেন্স রয়েছে যা আরও সুস্পষ্ট সময় বেঁধে দেয়, বা প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার জন্য কমপক্ষে আরও ভাল একটি বেঁধে দেয়?

আরও সাধারণভাবে: রৈখিক সমীকরণের স্বেচ্ছাসেবী সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য পরিচিত দ্রুততম অ্যালগরিদমের চলমান সময় (পূর্ণসংখ্যার র‌্যামে) কী?

Comments

(হিংসাত্মক হ্যান্ডওয়েভ serোকানো) আপনি এই বিশেষ ক্ষেত্রে বড় সংখ্যক সমস্যাটি পেতে পারছেন না হ্যাশিং মডুলো ছোট ছোট প্রাথমিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে? অ্যালগরিদম এলোমেলোভাবে করা হবে, তবে এখনও .. স্বীকার করেছেন যে আপনি জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের উত্তর দেয় না ...

— সুরেশ ভেঙ্কট

নিম্নলিখিত নীচের উল্লেখ সাহায্য করবে? lovasz এর বক্তৃতা নোট , নির্ধারকগুলির উপর yap এর অধ্যায় (ইয়াপ বেরিসের অ্যালগরিদমের মাধ্যমে নির্ধারক গণনার জন্য বিট জটিলতা দেয়)। ইয়াপের বই (অনুশীলন 10.1.1 (iii)) থেকে আমি অনুভূতির মধ্যে ছিলাম যে গাউসীয় হ্রাস মধ্যবর্তী মানগুলি বিট আকারে দ্রুত বৃদ্ধি পেয়েছিল কিনা তা এখনও জানা ছিল না, তবে এখন আমি নিশ্চিত নই। $O(n^3 M_B[n (\log n + L)])$

— ব্যবহারকারী 834

স্ট্যান্ডার্ড গাউসিয়ান এলিমিনেশন অ্যালগরিদম পরবর্তী সারিগুলি হ্রাস করার আগে পিভট উপাদান দ্বারা পিভট সারিকে বিভাজন করে। মুক্ত প্রশ্নটি এই মানক সংস্করণটিকে বোঝায়। আমার প্রশ্নের শুরুতে আমি যে উদাহরণ দিয়েছি তাতে ভিন্ন রূপ ব্যবহার করা হয়, যা পাইভট উপাদান দ্বারা বিভক্ত হয় না।

— জেফি

অদ্ভুত। এরিডসের গাউসিয়ান নির্মূলের বিশ্লেষণ দ্বারা আবৃত সময়ের সাথে মিলে বেরিসের অ্যালগরিদমের জন্য ইয়াপের সময়সীমা অভিন্ন ।

— জেফি

rjlipton সম্প্রতি অঞ্চলটি জরিপ করেছে এবং এই বিষয়ে কান্নান পিএইচডি থিসিস উদ্ধৃত করেছেন। বিশ্লেষণের মূল অংশটি হ'ল স্মিথের সাধারণ ফর্ম

— ভিজেএন

Answer 1

আমি মনে করি উত্তরটি হ'ল যেখানে আমরা (বহু) লোগারিথমিক কারণগুলি বাদ দিই। সীমাটি "ডাব্লু। এবারলি, এম। গিজব্র্যাচট, পি। জিওর্জি, এ। স্টোরজোহান, জি। ভিলার্ডে উপস্থাপন করা হয়েছে sp স্পার্স পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার সিস্টেম সলভ করে oc 2006 ", তবে এটি ডিক্সনের একটি গবেষণাপত্রের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছে:" পি-অ্যাডিক বিস্তৃতি ব্যবহার করে লিনিয়ার সমীকরণগুলির সঠিক সমাধান, জন ডি ডিকসন, NUMERISCHE ম্যাথেম্যাটিক, খণ্ড 40, সংখ্যা 1, 137-141 "।$\widetilde O(n^3 \log( \|A\| + \|b\|))$

Comments

রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ! এটি আমার দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর দেয়, তবে আমার প্রথম নয়।

— জেফি

আপনি যদি পাইভটিং ব্যবহার করেন তবে গসিয়ান নির্মূলকরণের (জিই) মধ্যবর্তী ফলাফলের বিটসাইজ বহুপদী, কোনও ক্ষতিকারক বিস্ফোরণ নেই। আমি মনে করি এটি বেরেইস ফলাফল। জিই এর জটিলতার কথা হিসাবে, গাথেন এবং গারহার্ড বইয়ের একটি অ্যালগরিদম আছে, একটি ম্যাট্রিক্স এর নির্ধারক গণনা করার জন্য "আধুনিক কম্পিউটার বীজগণিত" , এটি জিই, মডুলার পাটিগণিত এবং চীনা বাকী উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে (সেকশন 5.5, পিপি 101-105)। জটিলতা হ'ল । আমি মনে করি দ্রুত গাণিতিক ব্যবহার করে একটি উপাদান সংরক্ষণ করা যেতে পারে। যদি আমি ভুল না হয় তবে এটি ব্যবহারকারীর দ্বারা নির্দিষ্ট করা আবশ্যক 834। $A$$O(n^4 \log^2\|A\|)$$n$

— ইলিয়াস

@ ইলিয়াস, সেই অভিব্যক্তিতে আদর্শের সংজ্ঞা কী? এটি কি পরম আকারের বৃহত্তম সহগ হয়? এটি কি বিট আকার? এছাড়াও, এই ফলাফল নির্বিচারে যুক্তিযুক্ত ম্যাট্রিক্সের জন্য?

— জুয়ান বার্মেজো ভেগা

Answer 2

আমি মনে করি আপনার প্রথম প্রশ্নের নিম্নলিখিত যুক্তিগুলির কারণে : এডমন্ডসের কাগজটি গাউসিয়ান বিলোপের বিভিন্ন রূপ বর্ণনা করে না does তবে এটি প্রমাণ করে যে অ্যালগোরিদমের একটি পদক্ষেপে গণনা করা যে কোনও সংখ্যা হ'ল থিওরি অফ লিনিয়ার অ্যান্ড ইন্টিজার প্রোগ্রামিংয়ের উপর শ্রীজবারের বই দ্বারা আমরা জানি যে এ এর ​​এনকোডিংয়ের জন্য বি বিটগুলি দরকার হলে (বি মধ্যে থাকা উচিত$\widetilde O(n^3 \log( \|A\| + \|b\|))$$\widetilde O(\log( \|A\|)$) তারপরে যেকোনও সাবডিটারিন্যান্টের সর্বোচ্চ 2 বি বিট (থিওরেম 3.2) প্রয়োজন। গাউসীয় নির্মূলকরণকে বহুগুণীয় সময়ের অ্যালগরিদম তৈরি করার জন্য আমাদের গণনামূলক উদ্ধৃতিগুলির যত্ন নিতে হবে: যে কোনও মধ্যবর্তী পদক্ষেপে আমরা যে পরিমাণ ভগ্নাংশ গণনা করি তা থেকে আমাদের সাধারণ কারণগুলি বাতিল করতে হয় এবং তারপরে সমস্ত সংখ্যার এ এনকোডিংয়ের দৈর্ঘ্যে এনকোডিংয়ের দৈর্ঘ্য রৈখিক থাকে A.