, যে কোনও দুটি নন- আইসোমরফিক গ্রাফের জন্য কোনও পলিজাইজ, পলিগ কোয়ান্টিফায়ার গভীরতার প্রথম অর্ডার সূত্র রয়েছে যা এটি সাক্ষ্য দেয়?

আমি খুব নির্দিষ্ট হতে চাই। কেউ কি আপত্তি বা নীচের প্রস্তাবের প্রমাণ সম্পর্কে জানেন:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

স্বজ্ঞাতভাবে, এটি সত্য হওয়া উচিত যদি " local লোকাল" বিবৃতি ব্যবহার করে সমস্ত অ-isomorphic গ্রাফগুলি আলাদা করা যায় , এবং আমি কল্পনা করতে পারি যে এটি মিথ্যা is বহিরাগত কোয়ান্টিফায়ার গভীরতা ব্যবহার করে অবশ্যই কোনও গ্রাফকে আলাদা করা যায়, কারণ আপনি কেবল নিজের গ্রাফের মডুলো আইসোমর্ফিজম নির্দিষ্ট করতে পারেন: $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

সম্পাদনা: সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে যে আমার কাছে স্থানীয় অবস্থান অন্তর্নিহিত ছিল তা ভুল। কোয়ানটিফায়ার ডিপথ এর একটি সূত্রে গাইফম্যান লোকালটি দ্বারা আবদ্ধ রয়েছে , যার অর্থ লগ গভীরতার সূত্রটি মূলত বিশ্বব্যাপী। এই কারণে, আমার কাছে একটি হান্চ রয়েছে যে প্রস্তাবটি সত্য হয়ে উঠবে, যা আমার মতে প্রমাণ করা অনেক কঠিন। $k$ $O(3^k)$

— স্যামুয়েল স্ক্লেঞ্জার
সূত্র

প্রতিটি দৈর্ঘ্যের পাথ এবং দুটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন পাথ সম্পর্কে কী হবে

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel

পাথটিতে ডিগ্রি এর দুটি নোড রয়েছে , দুটি পাথের চারটি রয়েছে। অর্থ্যাৎ ধ্রুবক-আকারের সূত্র ধরে এগুলি আলাদা করা যায়। একটি বৃত্ত বনাম দুটি চেনাশোনাগুলির সাথে আপনার ভাগ্য ভাল হতে পারে তবে আমি মনে করি এগুলিকে কোয়ান্টিফায়ার র‌্যাঙ্ক সূত্র ধরে আলাদা করা যায় ।

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— এমিল জ্যাব্যাক

লম্বা গাছগুলি যদি খাতগুলির কাছাকাছি পৃথক হয় তবে খ্যাতি অর্জনের জন্য কাজ করতে পারে।

— আন্দ্রেস সালামন

@ এমিলজেবেক কি সমতা ছাড়াই সত্য?

— স্যামুয়েল স্ক্লেঞ্জার

@ স্টেলাবিদারম্যান সমতা ব্যতীত সূত্রের সত্যতা সমজাতীয় প্রতিবিম্ব (যেমন উভয়ভাবে সম্পর্ক রক্ষা করে) দ্বারা সংরক্ষণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফের ক্ষেত্রে, কোনও প্রান্তবিহীন দুটি গ্রাফ একই বাক্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও গ্রাফ নিতে পারে এবং যে কোনও ভার্টেক্সকে একটি স্বাধীন সেটে ফুটিয়ে তুলতে পারে।

— এমিল জ্যাব্যাক

এই উত্তরটি পরামর্শ দেওয়ার জন্য আমার সহকর্মী ম্যাক্সিম ঝুকভস্কিইকে ধন্যবাদ।

দেখা যাচ্ছে যে উত্তরটি নেতিবাচক, এবং পাল্টা নমুনা বরং সহজ। এবং জন্য কেবল এবং এবং জন্য । (এখানে হ'ল একটি ক্লিক এবং line কে_এস বিচ্ছিন্ন কোণগুলির একটি সেট )। এহরনফুচ্ট গেমটি বিবেচনা করে যে কেউ দেখাতে পারে যে প্রথম ক্ষেত্রে ন্যূনতম সম্ভাব্য গভীরতা এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে এটি । $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

ওলেগ পিখুরকো, হেলমুট ভীথ এবং ওলেগ ভার্বিটস্কির "গ্রাফগুলির প্রথম ক্রমের স্বীকৃতি: উচ্চতর চৌম্বকগুলির গভীরতার জন্য" কাগজে এটি দেখানো হয়েছিল যে এই গণ্ডিটি প্রায় টাইট এবং কোনও দুটি ভার্টেক্স গ্রাফ গভীরতার সূত্রে পৃথকযোগ্য । $n$ $\frac{n+3}{2}$

— ড্যানিল মুসাতভ
সূত্র