প্রাকৃতিক সংখ্যা ছাড়া অন্য সেটগুলিতে গণনার কোনও ধারণা আছে কি?

Question

প্রাকৃতিক সংখ্যা ছাড়া অন্য সেটগুলিতে গণনার কোনও ধারণা আছে কি? তর্কের খাতিরে, এসকে সেট $S$করে বলি যা সাথে বাইজেক্ট করে $\mathbb{N}$।

এটি বলার জন্য লোভনীয় যে "হ্যাঁ, এগুলি হ'ল ফর্মের সেই ফাংশন $g \circ f \circ g^{-1}$যেখানে $g$ কোনও হ'ল $\mathbb{N} \to S$ এবং $f$ কোনও গণনীয় ফাংশন $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ "। আমি এই সংজ্ঞাটি দুটি কারণে সতর্ক করছি।

1. এটি অন্যান্য গণনামূলক সেটগুলির চেয়ে সুবিধা দেয় $\mathbb{N}$। কেন $\mathbb{N}$ বিশেষ যখন এটি computability সংজ্ঞা আসে? আমি কোনও সুবিধাপ্রাপ্ত সেটকে রেফারেন্স ছাড়াই গণ্যতার একটি "সমন্বিত ফ্রি" সংজ্ঞা চাই একইভাবে আমি কোনও সুবিধাযুক্ত ভিত্তিতে উল্লেখ না করে লিনিয়ার বীজগণিত ধারণার "সমন্বিত ফ্রি" সংজ্ঞা পছন্দ করতে পারি।

2. এটা তোলে পছন্দমত সম্পর্কে প্রশ্ন উত্থাপন $g$ । আমার সন্দেহ হয় বিশেষত $S$ এবং এর প্যাথলজিকাল পছন্দগুলি দ্বারা দ্বন্দ্বগুলি খুঁজে পাওয়া সম্ভব হতে পারে $g$। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমি পছন্দ করে $S = \mathbb{N}$ এবং $g$ কিছু অ গণনীয় bijection এটা সত্যিই ক্ষেত্রে দেখা যায় যে $g \circ f \circ g^{-1}$ সব গণনীয় জন্য গণনীয় হয় $f$ ?

   এটা তোলে সংজ্ঞা প্রয়োজন যে প্রলুব্ধ $g$ গণনীয় হতে কিন্তু প্রশ্ন ভিক্ষা দুর্ভাগ্যবশত পারে।

ব্যতীত গণনাযোগ্য সেটগুলিতে গণ্যতা বর্ণনা করার কোনও সাধারণ উপায় আছে $\mathbb{N}$?

Comments

ওয়েল, থেকে সরাইয়া , computability প্রায়ই উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় Σ * , যেখানে Σ একটি নির্দিষ্ট বর্ণমালা ... কিন্তু আবার সেই সংজ্ঞা একটি দ্বারা পৃথক গণনীয় bijection এন → Σ * (যে, এক দিক এটি ব্যবহার গণনীয় এর এন সংজ্ঞা, এবং এটি বিপরীতমুখী ∗ using সংজ্ঞা ব্যবহার করে গণনাযোগ্য )। সুতরাং আপনি অবশ্যই এটি করতে পারবেন, যেখানে আপনার জি এবং জি - ১ উভয়ই গনযোগ্য, তবে আমি সম্মত হচ্ছি যে আরও সাধারণ প্রশ্নটি ভিক্ষা করা হচ্ছে ...$\mathbb{N}$$\Sigma^*$$\Sigma$$\mathbb{N} \to \Sigma^*$$\mathbb{N}$$\Sigma^*$$g$$g^{-1}$

— জোশুয়া গ্রাচো

টাইলিং সিস্টেম, সেলুলার অটোমেটা, ট্যাগ সিস্টেম, ইত্যাদির মতো কম্পিউটারের মডেল সম্পর্কে কী বলা যায়?

— মারজিও দে বিয়াসি

কেন আমাদের অন্যান্য গণনামূলক সেটগুলির চেয়ে সুবিধা দেওয়া উচিত নয় ? আমাদের এটি করার একটি অত্যন্ত দৃ reason় কারণ রয়েছে: সিপিইউগুলি, অর্থাৎ যে জিনিসটি গণনা করে তা এন (বা বি এর উপর সীমাবদ্ধ স্ট্রিং যা মূলত একই জিনিসটি হয়) তে কাজ করে। আপনি অন্যান্য সেট চয়ন করতে পারেন তা নিশ্চিত, তবে কেন কেউ আপনার সংজ্ঞা গ্রহণ করবেন? আপনি কোনও দাবিকে কীভাবে ন্যায়সঙ্গত করবেন যে আপনি যাকে গণনাযোগ্যতা বলছেন তা হ'ল এন , অর্থাৎ সিপিইউতে গণনার সাথে সম্পর্কিত না করে ? $\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\mathbb{B}$$\mathbb{N}$

— মার্টিন বার্গার

@Martin, আমি আমার উত্তর একটি আর্গুমেন্ট দিতে যে, আমরা বিশেষাধিকার ওভার এন সময় জটিলতা বিষয়ে অন্তত একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ। কিছু আত্মবিশ্বাস ছাড়াই এটির ভুল হওয়ার কারণটি হ'ল আমরা যখন ধরে নিই যে তারা যখন কেবলমাত্র মডেলের শিল্পী হয় তখন আমরা কিছু ফলাফল প্রাকৃতিক বলে ধরে নিতে পারি। $\{0,1\}^*$$\mathbb{N}$

— ড্যান ব্রুমলেভ

আপনি মনোযোগ সীমাবদ্ধ রেখে চলেছেন এমন কোনও কারণ কি কেবল গণনাযোগ্য সেটগুলিতে?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার 18

Answer 1

এই প্রশ্নটি গবেষণা-স্তরের নয়, তবে যেহেতু এটি উত্তরগুলি পেয়েছে, তাই আমি এমন একটি উত্তর দিতে চাই যা আসলে কিছুটা পরিষ্কার করতে পারে এবং রেফারেন্স সরবরাহ করে।

তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র রয়েছে যা বিশ্লেষণ, বীজগণিত এবং টপোলজিতে গণ্যতা অধ্যয়ন করে। কেন্দ্রীয় গুরুত্ব হ'ল আসল সংখ্যার জন্য গণ্যতার ধারণা। আসলে টুরিং মেশিনে টুরিংয়ের মূল কাগজটি নিম্নলিখিত বাক্য দিয়ে শুরু হয়:

"গণনাযোগ্য" সংখ্যার সংক্ষিপ্তভাবে আসল সংখ্যা হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে যার দশমিক হিসাবে প্রকাশগুলি সীমাবদ্ধ মাধ্যমে গণনাযোগ্য।

কখনও কখনও এটি উত্স ফিরে যেতে অর্থ প্রদান করে।

সাধারণ সেটগুলিতে গণ্যতা স্থাপনের বিভিন্ন উপায় রয়েছে, যার মধ্যে সর্বাধিক সাধারণগুলির মধ্যে একটি হল রিয়েলিজেবিলিটি তত্ত্ব । বাস্তবায়নযোগ্যতা তত্ত্বের ধারণাটি ১৯৪45 সাল থেকে ক্লিনির গবেষণাপত্রের অন্তর্নিজ্ঞান সংখ্যার তত্ত্বের দিকে ফিরে যায় , তবে এর পরে সাধারণীকরণ করা হয়েছে এবং বিভাগীয় তত্ত্বের ভাল মিশ্রণ সহ কম্পিউটারের একটি ক্ষুদ্র শাখায় পরিণত হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ জাপ ভ্যান ওস্টেনের বইটি দেখুন "বাস্তবতা: এর শ্রেণিবদ্ধ দিকের একটি ভূমিকা" (স্টাডিজ ইন লজিক অ্যান্ড ফাউন্ডেশন অফ ম্যাথমেটিক্স, খণ্ড। 152, এলসেভিয়ার, ২০০৮)।

আমাকে বাস্তবের ধারণার ধারণাটি খুব সংক্ষেপে বর্ণনা করতে পারি এবং পরে আপনার "সমন্বিত ফ্রি" প্রয়োজনীয়তাটি আলোচনা করব। ট্যুরিং মেশিন, $\lambda$ ক্যালকুলাস, একটি প্রোগ্রামিং ভাষা বা অন্য কোনও আংশিক সংশ্লেষ বীজগণিত (যেমন আপনি কিছু টপোলজিকাল স্পেসও "গণনার মডেল" হিসাবে নিতে পারেন , এই উপাদানটি সাধারণ ) হিসাবে গণনার মডেল দিয়ে শুরু করুন is সংক্ষিপ্ততার জন্য, আসুন আমরা টিউরিং মেশিনগুলি বিবেচনা করি। আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যায় ট্যুরিং মেশিনগুলি কোড করি তবে নোট করুন যে আমি গণনার অন্য কোনও মডেল গ্রহণ করতে পারতাম, সুতরাং আপনারা ধরে নিতে পারবেন না যে $\mathbb{N}$ এর ব্যবহার এখানে কোনওভাবেই প্রয়োজনীয়। (অন্যান্য সম্ভাবনার মধ্যে রয়েছে: প্রাকৃতিক সংখ্যার পাওয়ারসেট, প্রাকৃতিক সংখ্যার অসীম অনুক্রম, টাইপ না করা বাক্য গঠন)$\lambda$ -calculus, গেমস নির্দিষ্ট বিভাগ, ইত্যাদি)

একটি সেট উপর একটি computability গঠন $X$ সম্পর্ক দেওয়া হয় $\Vdash_X$ মধ্যে $\mathbb{N}$ এবং নামক realizability সম্পর্ক , এই ধরনের যে জন্য যে সেখানে যেমন যে । আমরা এই জাতীয় কাঠামোকে অ্যাসেমব্লি বলি । এই সংজ্ঞাটি এমন স্বজ্ঞাত ধারণার সাথে সামঞ্জস্য করে যে কিছু অংশে ডেটা একটি উপাদান re সম্মান করে, বা বুঝতে পারে । (উদাহরণস্বরূপ, বিটগুলির কয়েকটি নির্দিষ্ট ক্রমগুলি অক্ষরের স্ট্রিংগুলির জুড়ে সীমাবদ্ধ তালিকা উপস্থাপন করে))$X$$x \in X$$n \in \mathbb{N}$$n \Vdash_X x$$n$$x \in X$

প্রদত্ত দুটি সমাহারগুলি এবং ( ওয়াই , ⊩ ওয়াই ) , একটি মানচিত্র চ : এক্স → ওয়াই হয় উপলব্ধি (বা "গণনীয়") আছে যদি একটি টুরিং মেশিন টি , এই ধরনের যখনই যে এন ⊩ এক্স এক্স তারপরে টি ( এন ) অবসান হয় এবং টি ( এন ) ⊩ ওয়াই ফ ( এক্স ) । আবার, এই কি এটা অনুপচারিকভাবে "প্রোগ্রাম" একটি বিমূর্ত ফাংশন মানে সরাসরি লিপ্যন্তর হয় চ$(X, {\Vdash_X})$$(Y, {\Vdash_Y})$$f : X \to Y$$T$$n \Vdash_X x$$T(n)$$T(n) \Vdash_Y f(x)$$f$: সংশ্লিষ্ট টুরিং মেশিন ডেটা যাই হোক না কেন প্রতিনিধিত্বমূলক করা উচিত $f$ সংশ্লিষ্ট উপাদান আছে।

সমাবেশগুলি বাস্তবায়নের শীর্ষে প্রসারিত হতে পারে । শীর্ষস্থান হ'ল উচ্চ-অর্ডার স্বজ্ঞাত গণিতের একটি মডেল। এটি আমাদের জানায় যে প্রতিটি বাস্তবায়নযোগ্য টপোজে (প্রতিটি মডেলের গণনার জন্য একটি থাকে) প্রচুর আকর্ষণীয় অবজেক্ট থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এটিতে সত্যিকারের সংখ্যার একটি অবজেক্ট থাকে, যা আমাদেরকে রিয়েলগুলিতে সংযোগ দেয়। তবে এতে আরও অনেকগুলি বস্তু রয়েছে যেমন হিলবার্ট স্পেসস, বনচ স্পেসস, মসৃণ মানচিত্রের ফাঁকা জায়গা ইত্যাদি You আপনি কিছু অন্যান্য গণনীয় কাঠামো চেয়েছিলেন, তবে আপনি আরও ভাল কিছু পেয়েছিলেন: গণনার সম্পূর্ণ গাণিতিক জগত।

যেহেতু বিভাগের তত্ত্ব এবং টোপোজগুলি ভীতিজনক হতে পারে এবং সংযোগযোগ্যতা তত্ত্ব, বিভাগ তত্ত্ব এবং যুক্তিবিদ্যায় কিছুটা প্রযুক্তিগত দক্ষতার প্রয়োজন হয়, তাই আমরা কেবল একটি কংক্রিট টোপোসেও কাজ করতে পারি, তবে আমরা সবকিছু কংক্রিট নন-অ্যাবস্ট্রাক্ট উপায়ে প্রকাশ করি। ক্লিনের কার্যকারিতা উপলব্ধিযোগ্যতা থেকে গণনার একটি বিশেষ ভাল জগৎ উত্পন্ন হয় এবং এটি গণনাযোগ্য বিশ্লেষণের নামে চলে ।

আমাকে "স্থানাঙ্কীন মুক্ত" প্রয়োজনীয়তার বিষয়ে মন্তব্য করতে দিন:

• মডেলগুলির গণনার মধ্যে স্যুইচিং বিভিন্ন ধরণের গণনাযোগ্য দুনিয়া দেয়। এটি কিছুটা ভিন্ন ক্ষেত্রের মধ্যে বিভিন্ন ধরণের লিনিয়ার বীজগণিত প্রদানের মতো স্যুইচ করার মতো।

• একটি সেট $X$ অনেকগুলি কম্পিউটারের কাঠামোর সাথে সজ্জিত হতে পারে $\Vdash_X$ , ঠিক তেমন একটি সেট ভেক্টরগুলির অনেকগুলি বেস রয়েছে। যাইহোক, সমস্ত ঘাঁটি সমতুল্য হলেও, $X$ এর সমস্ত কম্পিউটিবিলিটি কাঠামোগুলি সমতুল্য নয়।

• আমরা computability কাঠামোর সঙ্গে মূর্তভাবে কাজ করেন তাহলে $(X, {\Vdash_X})$ , যে রৈখিক বীজগণিত ম্যাট্রিক্স সঙ্গে কাজ মত একটি বিট। এটি খুব কার্যকর হতে পারে তবে বিমূর্ত নয়।

• "স্থানাঙ্ক-মুক্ত" ফ্যাশনে কাজ করতে, আমরা একটি বাস্তবায়নযোগ্য টপোজে কাজ করি এবং বিভাগের তত্ত্বের শক্তিটি ব্যবহার করি (হ্যাঁ, এটি একটি ক্লিচ হলেও এটি কাজ করে)।

• এমনকি আমরা একটি "বিশ্ব-মুক্ত" ফ্যাশনেও কাজ করতে পারি: স্বজ্ঞাত যুক্তিবিদ্যায় গণিত বিকাশ করতে পারি এবং তারপরে ফলাফলকে উপলব্ধিযোগ্যতার শীর্ষস্থানগুলিতে ব্যাখ্যা করতে পারি।

Comments

আমি এখানে এর পছন্দটিকে আর এর ক্ষেত্র হিসাবে R এর নির্বাচনের অনুরূপ হিসাবে দেখতে পাচ্ছি না যার উপরে আমরা ভেক্টর স্পেস বিবেচনা করতে পারি। বরং "বাস্তবায়নের সম্পর্ক" এর এই ধারণাটি আমার কাছে আর এর উপর বোরেল পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে পরিমাপযোগ্য হওয়ার অর্থ কী তা নির্ধারণ করার মতো বলে মনে হয় এবং তারপরে "একটি পরিমাপযোগ্য স্থানটি এমন কিছু যা আর এবং একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন এমন কিছু যা কোনও পরিমাপযোগ্য মানচিত্রকে প্ররোচিত করে আর → আর ।$\mathbb{N}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

— টম এলিস

পরিমাপযোগ্য স্থানগুলি (কিছু) টপোলজিকাল স্পেসগুলির বাইরে প্রাকৃতিকভাবে উত্থিত হয় এবং এটি সাধারণত এমন একটি উপপাদ্য হিসাবে বিবেচিত হয় যে অ-বিচ্ছিন্ন ব্যক্তিগুলি পরিমাপযোগ্যভাবে কাছে আইসোমোরিক হয় । আমি আদর্শভাবে যা সন্ধান করতে চাই তা হ'ল পূর্ববর্তী নির্মাণের গণনা তত্ত্ব অ্যানালগ। অন্তর্নিহিত কাঠামোটি কী এমন কিছু উত্থান দেয় যা আপনি গুণতে পারেন? ফাইট দ্বারা আরোপিত এন এর সাথে একটি চিঠিপত্র বিশেষ সন্তোষজনক নয়। $\mathbb{R}$$\mathbb{N}$

— টম এলিস

কোনও " পছন্দ " নেই, কেবল গণনার মডেলের পছন্দ আছে। যদি " এন এর পছন্দ অনুসারে আপনার অর্থ হয়" আসুন আমরা ট্যুরিং মেশিনগুলি ব্যবহার করি (সংখ্যা দ্বারা কোডেড) ", তবে আমার বক্তব্যটি হ'ল কম্পিউটাবিলিটি স্ট্রাকচার এস এর প্রতিটি পছন্দের জন্য আপনি একটি বাস্তবায়নযোগ্য টপোস আর টি ( এস ) পেতে পারেন । একটি ক্ষেত্র প্রতিটি পছন্দ জন্য: এই অনুরূপ এফ আপনি বিভাগ পেতে ভী ই গ টি এফ উপর ভেক্টর স্পেস এফ । $\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\mathbb{S}$$\mathrm{RT}(\mathbb{S})$$F$$\mathrm{Vect}_F$$F$

— আন্দ্রেজ বাউর

সেটগুলিতে ব্যবস্থাগুলি চাপিয়ে দেওয়া আসলে সেটগুলিতে সামঞ্জস্য কাঠামো চাপিয়ে দেওয়ার মতো। এবং উভয় ক্ষেত্রে কিছু সেটের সাথে প্রাকৃতিক কাঠামো যুক্ত থাকে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

প্রিয় আন্দ্রেজ, আপনার বিবেচিত প্রতিক্রিয়ার জন্য আমি আপনাকে ধন্যবাদ জানাতে চাই। আমি আনন্দিত যে ২০ বছরের মাঠের একজন অভিজ্ঞ আমার প্রশ্নটিকে অর্থহীন হিসাবে বন্ধ করার জন্য ভোট দেওয়ার চেয়ে নিজের মতো একজন নিওফাইটকে আলোকিত করতে সময় লাগবে। আমি টপোস তত্ত্বটি অনুমান করেও সন্তুষ্ট হয়েছি এবং এনএল্যাবের পৃষ্ঠাগুলি এখন প্রাক-গবেষণা পর্যায়ে তাদের অ্যাক্সেসযোগ্য হিসাবে বিবেচিত হয়।

— টম এলিস

Answer 2

নীচের দুটি কাগজ স্বেচ্ছাসেবী সেটগুলির জন্য গণ্যতার ধারণা তৈরি করে। মজার বিষয় এমনকি জটিলতার তত্ত্বের একটি ধারণাও গণনার এই মডেলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

কোভহাম রিকার্সিভ সেট ফাংশনস এবং দুর্বল সেট তত্ত্বগুলি আর্নল্ড বেকম্যান, স্যাম বস, সি-ডেভিড ফ্রিডম্যান, মরিজ মোলার, নীল থাপেন।

সাবস-বাউন্ডেড রিকার্সন এবং কোবহাম রিকারসিভ সেট ফাংশনগুলির জন্য একটি সার্কিট মডেল আর্নল্ড বেকম্যান, স্যাম বস, সি-ডেভিড ফ্রিডম্যান, মরিজ মোলার, নীল থাপেন।

Answer 3

বাস্তবগুলির চেয়ে জটিলতা এবং গণনার ধারণা রয়েছে। আমি আপনাকে যে পাঠ্যপুস্তকটি নির্দেশ করব তা হ'ল: https://www.amazon.com/Complexity-Real-Comptation-Lenore-Blum/dp/0387982817

আমি এমন একটি ল্যাব সম্পর্কে জানি যা এটি বিশেষভাবে অধ্যয়ন করে: https://complexity.kaist.ac.kr/

Comments

এটি একটি বিশেষভাবে বাস্তববাদী নয় কারণ এটি সূচিত করে যে হ্যালটিং ওরাকলটি গণনাযোগ্য।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

Answer 4

এটি ট্যুরিং মেশিনের ক্ষেত্রে আমরা কম্পিউটারের সংজ্ঞাটি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করি এবং তারপরে তাত্ক্ষণিকভাবে টুরিং মেশিনগুলি ভুলে যায় তার সাথে এটি একই। যেহেতু এটি দেখা দেয় যে কোনও ট্যুরিং মেশিন অন্য যে কোনও সংজ্ঞা হিসাবে ভাল, তাই আমরা একে একে মডেলগুলির সম্পূর্ণ সমতুল্য শ্রেণীর অ্যাঙ্কর হিসাবে ব্যবহার করি এবং আমরা কোন উপাদান থেকে এটি তৈরি করি তা বিবেচনা না করেই আমরা একই শ্রেণীর সাথে শেষ করি। মূলত এটি চার্চ-টিউরিং থিসিস এবং এটি গণনাযোগ্য বিট স্ট্রিংগুলির সেটকে সংজ্ঞায়িত করে।

একইভাবে, আলাদা সেট তে কম্পিউটারের সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য , আমরা এটি বিট স্ট্রিং থেকে এস পর্যন্ত একটি নির্দিষ্ট আংশিক ফাংশন দিয়ে অ্যাঙ্কর করি । প্রকৃতপক্ষে এটি কোনও ব্যাপার নয় যে এই ফাংশনটি হ'ল বাইজেকশন বা ইনজেকশন বা অন্য কোনও ধরণের ফাংশন (এমন একটি ক্ষেত্রে যেখানে আমরা সত্যিই এটি ইঞ্জেকশন হিসাবে দেখতে চাই না, তার উপস্থাপনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি গ্রুপ বিবেচনা করুন যেখানে আমাদের নেই এর উপাদানগুলির জন্য একটি অনন্য প্রতিনিধিত্ব)। এমনকি যদি আমরা অনুমতি দিই যে সিঙ্গেলটন সেটগুলি আপত্তিজনক হতে পারে তবে এটি কোনও উদ্রেক হতে হবে না। এই ফাংশনটি বিট স্ট্রিং থেকে বিট স্ট্রিং (একটি ধারণা ইতিমধ্যে সংজ্ঞায়িত) থেকে কোনও কম্পিউটিংযোগ্য বাইজেকশন দিয়ে রচনা করার মাধ্যমে আমরা এস এর জন্য কম্পিউটেবিলির একটি সংজ্ঞা পাই$S$$S$$S$এটি মূলত আমরা যে ফাংশনটি বাছাই করেছি তার প্রতি শ্রদ্ধাশীল (যতক্ষণ আমরা যুক্তিসঙ্গত কোনও জিনিস বাছাই করি)। এটি, আমাদের সেট জন্য একটি সিটি থিসিস । তবে আমরা যদি কোন যুক্তিসঙ্গত কাজটি না বেছে নিই, আমরা গণ্যতার আলাদা সংজ্ঞা পাই।$S$

এই ফাংশনটি ডোমেন বা সমান পরিসীমা সহ অন্যান্য ফাংশনগুলির সংযোগযোগ্যতা সংজ্ঞায়িত করতেও পরিবেশন করে । সীমার পরিবর্তন করে এস , যেমন ডোমেইন পালন { 0 , 1 } * , আমরা একটি পেতে হে ( 1 ) জন্য Kolmogorov জটিলতা -invariant সংজ্ঞা এস । এবং আমরা শেষ পর্যন্ত বলতে পারি যে আমরা যে ফাংশনটি বেছে নিয়েছি তা নিজেই গণনাযোগ্য।$S$$S$$\{0,1\}^*$$O(1)$$S$

সুতরাং আমি মনে করি আপনার প্রশ্নের উত্তরটি নেই। আমরা যে প্রতিটি সেটের বিষয়ে কথা বলতে চাই তার জন্য আমাদের গণ্যতার সংজ্ঞা দিতে হবে, কারণ এখানে অ-সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছে। একটি খুব প্রযুক্তিগত বা শিক্ষাগত আলোচনা বাদে এটি প্রয়োজনীয় হওয়া উচিত নয়, কারণ একটি যুক্তিসঙ্গত ব্যক্তি স্বাধীনভাবে একটি যুক্তিসঙ্গত সংজ্ঞা কল্পনা করতে পারেন।

$S$$S$$S$$\{0,1\}^*$

$r \in \mathbb{N}$$r$$g \in \mathbb{N}$$g$$23$$23$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}^2$$\mathbb{N}$

সুতরাং পুরো আলোচনা এড়ানোর জন্য এটি কেবল বোঝা উচিত যে প্রশ্নে সেটগুলিতে গণ্যতার একটি যুক্তিসঙ্গত সংজ্ঞা রয়েছে, বরং এটিও যে যুক্তিসঙ্গত সংজ্ঞাগুলির সঠিক এক শ্রেণি রয়েছে।

$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$\mathbb{N}$$F:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$