এই গ্রাফ সমস্যার জটিলতা কী?

একটি সহজ undirected গ্রাফ দেওয়া , খুঁজুন একটি উপসেট ছেদচিহ্ন এর, এই ধরনের যে $G$ $A\neq \emptyset$

কোন প্রান্তবিন্দু এ প্রতিবেশীদের অন্তত অর্ধেক রয়েছে , এবং $x\in A$ $x$ $A$
আকার সর্বনিম্ন। $A$

এটি হ'ল আমরা একটি ক্লাস্টারের সন্ধান করছি, যাতে প্রতিটি অভ্যন্তরীণ ভার্টেক্সের কমপক্ষে অর্ধেক আশেপাশের অভ্যন্তরীণ থাকে। এই জাতীয় গোষ্ঠীর নিছক অস্তিত্ব সুস্পষ্ট, যেহেতু পুরো ভার্টেক্স সেট সর্বদা সম্পত্তি থাকে But তবে এই জাতীয় গুচ্ছটি খুঁজে পাওয়া কতটা কঠিন? $V(G)$

এই সমস্যার কোনও মানক নাম আছে কি? এর জটিলতা সম্পর্কে কী জানা যায়?

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— আন্দ্রেস ফারাগো
সূত্র

এটি সন্তুষ্টিজনক পার্টিশন সমস্যার একটি বৈকল্পিক বলে মনে হচ্ছে । আপনার রূপটি পরিচিত কিনা এবং এনপিসি হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে কিনা তা আমি জানি না; কিন্তু সম্ভবত K-উপদল থেকে কমানো কাজ করা উচিত: লিঙ্ক প্রতিটি নোডের

মূল গ্রাফ এর

একটি নোড

আকারের "বহিরাগত চক্র"

(প্রতিটি নোডের তার বাহ্যিক উপদল আছে)। তারপরে আপনি সাইজের

একটি অনানুষ্ঠানিক সেট

খুঁজে পেতে পারেন এবং কেবল যদি

v_{i}

$v_i$

k + 1

$k+1$

C_{i}

$C_i$

2 (k + 1)

$2(k+1)$

A

$A$

k

$k$

k

$k$ -প্লিকটি মূল গ্রাফটিতে বিদ্যমান রয়েছে (আপনাকে অবশ্যই কমপক্ষে একটি নোড বাছাই করতে হবে তবে আপনাকে অবশ্যই কোনও বাহ্যিক চক্র এড়ানো উচিত)। তবে এটি কেবল একটি ধারণা; যদি আমার পর্যাপ্ত সময় থাকে তবে আমি হ্রাসটি সঠিক কিনা তা দেখার চেষ্টা করব।

— মারজিও ডি বায়াসি

@ মারজিওডিবিয়াসি আপনাকে ধন্যবাদ, কিছু অনুসন্ধানের পরে আমি জানতে পেরেছিলাম যে সন্তোষজনক পার্টিশনের সমস্যাটি সত্যই সম্পর্কিত। যাইহোক, আমি যে যে বৈকল্পিকের সন্ধান করতে পারি সেগুলিতে তারা একটি একক সেট না করে একটি বিভাজনের সন্ধান করে । এগুলি কীভাবে সম্পর্কিত তা পরিষ্কার নয়। আপনার হ্রাসে, যতক্ষণ না আমি কিছু বুঝি, মূল গ্রাফের একটি

সংজ্ঞাটি পূরণ করে না, যেহেতু এর প্রতিটি নোডে

অভ্যন্তরীণ প্রতিবেশী থাকবে, তবে কমপক্ষে

বহিরাগত প্রতিবেশী, যুক্ত বাহ্যিক কারণে চক্রের।

k

$k$

k - 1

$k-1$

k + 1

$k+1$

— আন্দ্রেস ফারাগো

আমি মনে করি এই সমস্যাটি "প্রতিরক্ষামূলক জোট" হিসাবে পরিচিত

— ড্যানিয়েলো

@ডানিয়েলো: দুর্দান্ত, আমি জরিপটি আইজি ইয়েরো, জেএ রড্রিগেজ-ভেলাজকেজ, "গ্রাফগুলিতে প্রতিরক্ষামূলক জোট: একটি সমীক্ষা", ২০১৩ তে অনুসন্ধান করেছি তবে "অর্ধ" শব্দটি খুঁজে পেল না; আমার যখন যথেষ্ট সময় থাকবে আমি তা মনোযোগ দিয়ে পড়ব; এটি সম্ভবত ওপি সমস্যা এলরেডি জানা আছে!

— মারজিও ডি বায়াসি

এটি "প্রতিটি ভার্টেক্সের বাইরের মতো কমপক্ষে অনেক প্রতিবেশী রয়েছে" হিসাবে সূত্রবদ্ধ বলে মনে হয় যা গোল করার প্রশ্নে একইরকম, এবং সম্ভবত

— গণনাটির

এটি চক্র থেকে আপনার সমস্যার হ্রাস।

আমরা ক্লাইকের একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করি: একটি গ্রাফ এবং একটি পূর্ণসংখ্যা $G$ $k$ যাক । $V = \{ v_1, v_2,...,v_n\}$

উপদল এমনকি বাধ্যতা যে অধীনে এনপিসি রয়ে যদি: (প্রমাণ স্কেচ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ তারপর একটি যোগ যেখানে $max(deg(v_i) > 2(k-1)$ $K_t$ এবং এটিকে সমস্ত নোডের সাথে সংযুক্ত করুনএবং নতুন গ্রাফে আকারের একটি চক্র জিজ্ঞাসা করুন)। $t = 2(k-1) - max(deg(v_i))$ $G$ $k' = k + t$

সুতরাং আমরা ধরে নিই যে, , । প্রতিটি নোডের জন্য , যার জন্য আমরা একটি "বহিরাগত" চক্র তৈরি আকারের (প্রতি এর নোড $G$ $max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$ $v_i$ $deg(v_i) < 2(k-1)$ $C_i$ $2(k+1)+1$ চক্রের কমপক্ষে প্রতিবেশী রয়েছে। $C_i$ $2(k+1)$

তাহলে ডিগ্রী , আমরা কানেক্ট করতে $deg(v_i)$ $v_i$ $v_i$ এর নোড । $2(k-1) - deg(v_i)$ $C_i$

ফলে সালে , প্রতিটি ডিগ্রী আছে ; তাই কারণ কমপক্ষে একটি ভার্টেক্স নির্বাচন করা উচিত। $G'$ $v_i$ $2(k-1)$ $|A| \geq k$

এটা পরিষ্কার যে এর একটি শীর্ষবিন্দু অন্তর্ভুক্ত থাকলে কমপক্ষে নোডগুলি অবশ্যই এতে প্রবেশ করানো উচিত। মনে রাখবেন যদি একটি মূল নোড হয়েছে তারপর লিঙ্ক অন্তত একটি নোড অন্তর্ভুক্ত করা আবশ্যক, নেতৃস্থানীয় । $C_i$ $A$ $2(k+1)/2 = k+1$ $deg(v_i) < k-1$ $C_i$ $|A| > k$

সুতরাং আমরা সর্বনিম্ন আকারের একটি সেট তৈরি করতে পারি যদি এবং কেবল যদি আকারের একটি উপদল রয়েছে । $A$ $|A| = k$ $G$ $k$

হ্রাস যা আমরা যদি গ্রাফ জিজ্ঞাসা একটি উদাহরণ হলুদ নোড এবং গাঢ় প্রান্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব আকারের একটি উপদল রয়েছে (ক ত্রিভুজ)। $G$ $k = 3$

নীল নোডগুলি (আরও ভাল পঠনযোগ্যতার জন্য দলবদ্ধ) , লাল প্রান্তগুলি হ'ল সাথে নোডের লিঙ্ক । $K_9$ $G$ $deg(v_i) < 2(k-1)$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

@WillardZhan কারণ প্রতিটি প্রান্তবিন্দু

ডিগ্রী আছে

নির্মাণ দ্বারা, তাই যদি

এক চূড়া রয়েছে, এটা অন্তত থাকা আবশ্যক

প্রতিবেশীদের (এবং একই

) এর সমস্ত শীর্ষে প্রযোজ্য ), তাই

। "ন্যূনতম আকার"

কেবল তখনই অর্জন করা যেতে পারে যদি

আকারের

এর একটি চক্র হয় ।

G^{'}

$G'$

\geq 2 (k - 1)

$\geq 2(k-1)$

A

$A$

2 (k - 1) / 2 = k - 1

$2(k-1)/2 = k-1$

A

$A$

| A | \geq k

$|A| \geq k$

k

$k$

A

$A$

k

$k$

— মারজিও ডি বিয়াসি

@ উইলার্ডজান: আমি প্রারম্ভিক চক্রের সমস্যার সাথে আরও একটি শর্ত যুক্ত করেছি (তবে এটি এনপিসি হিসাবে থাকা উচিত) ... আমি এখনও এটি পরীক্ষা করে নিচ্ছি (সম্পূর্ণরূপে এটির সঠিক বোঝা যায় না)।

— মার্জিও ডি বায়াসি

হ্যাঁ, এখন এটি ঠিকভাবে কাজ (যদিও এটা করা উচিত

এর এক্সপ্রেশনে

)। আমি আমার মন্তব্য মুছতে হবে?

k^{'}

$k'$

t

$t$

— উইলার্ড ঝান

@ উইলার্ডজান: আমি মনে করি এটি সঠিক, কারণ সেই অনুচ্ছেদে আমি ক্লিক [উদাহরণস্বরূপ

] থেকে ক্লাইক + সীমাবদ্ধতা

[উদাহরণস্বরূপ

]।

ক্লিকে নতুন সীমাবদ্ধতা সীমাবদ্ধ করার জন্য জি-তে যোগ করার জন্য নোডের সংখ্যা (চক্র)।

(G, k)

$(G,k)$

m a x (d e g (v_{i})) \leq 2 (k - 1)

$max(deg(v_i)) \leq 2(k-1)$

(G^{'}, k^{'})

$(G',k')$

t

$t$

— মারজিও দে বিয়াসি