পরীক্ষার জটিলতা যদি

Question

কল্পনা করুন আমরা দুটি আকার পয়েন্ট সেট এক্স , ওয়াই ⊂ আর এন । পরীক্ষার জটিলতা কী (সময়) কেবলমাত্র ঘূর্ণন দ্বারা পৃথক হয়? : সেখানে আবর্তনের ম্যাট্রিক্স রয়েছে হে হে টি = হে টি ও = আমি যেমন এক্স = হে ওয়াই ?$m$$X,Y\subset \mathbb{R}^n$$OO^T=O^TO=I$$X=OY$

এখানে প্রকৃত মূল্যবোধের প্রতিনিধিত্ব করার একটি সমস্যা রয়েছে - সরলতার জন্য ধরে নেওয়া যে প্রতিটি সমন্বয়ের জন্য একটি (সংক্ষিপ্ত) বীজগণিত সূত্র রয়েছে, যেমন মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য ও (1) হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে।

মূল প্রশ্নটি এই সমস্যাটি যদি পি তে থাকে?

---

প্রথম দৃষ্টিতে এই সমস্যাটি সহজ বলে মনে হতে পারে - সাধারণত এটি পয়েন্টগুলির নিয়ম এবং স্থানীয় সম্পর্কের মতো কোণগুলির পরীক্ষা করার পক্ষে যথেষ্ট, সেখানে দুষ্টু উদাহরণ রয়েছে যেখানে এটি উদাহরণস্বরূপ গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যার সমতুল্য ।

বিশেষত, দৃ regular ়ভাবে নিয়মিত গ্রাফগুলির (এসআরজি) সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের ইগেনস্পেসগুলি দেখে আমরা এটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি । নীচে সবচেয়ে সহজ উদাহরণ - দুটি 16 ভার্টেক্স এসআরজি, যা স্থানীয়ভাবে অভিন্ন দেখায় তবে আইসোমোরফিক নয়:

$A-2I$$O(6)$$X\subset \mathbb{R}^6$$|X|=16$$Y$$X$$Y$

অসুবিধাটি হ'ল এই সমস্ত পয়েন্টগুলি একটি গোলকের মধ্যে এবং মূল সম্পর্কগুলি পুনরায় তৈরি করুন: সমস্ত প্রতিবেশী (এখানে 6 টি) স্থির কোণে রয়েছে <90 ডিগ্রি, সমস্ত অ-প্রতিবেশী (9 এখানে) অন্য একটি নির্দিষ্ট কোণে> 90 ডিগ্রি, যেমন স্কিমেটিক উপরের ছবি

সুতরাং আদর্শ এবং স্থানীয় কোণগুলির উপর ভিত্তি করে পরীক্ষা করা গ্রাফ আইসোমর্ফিজম সমস্যা হিসাবে ফিরে আসে ... তবে জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রোটেশন ইনগ্রেন্টের মতো বৈশ্বিক বৈশিষ্ট্যগুলিতে কাজ করতে দেয় ।

---

$n(n-1)/2$

আমরা সাধারণত বর্ণনা করতে পারেন ঘূর্ণন invariants - প্রশ্ন ঘূর্ণন invaraints একটি সম্পূর্ণ সেট নির্মাণের হয়: সম্পূর্ণরূপে একটি সেট মডিউল ঘূর্ণন নির্ণয়।

$x^T A x$$Tr(A^k)$$k=1,\ldots,n$$k$নীচের প্রতিটি গ্রাফ 1,2,3,4 বহুত্বের একক ঘূর্ণন আক্রমণের সাথে মিলে যায় :

$p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

$$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$$ $a,b,c$

সুতরাং আমরা যদি পরীক্ষা করতে পারি যে দুটি ডিগ্রি 6 বহুপদীগুলি কেবল বহুবর্ষের সময় ঘোরার মাধ্যমে পৃথক হয়? যদি তাই হয় তবে এসআরজির জন্য গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম পি তে রয়েছে।

এসআরজিগুলির চেয়ে আরও শক্ত উদাহরণ (পরীক্ষার জন্য যদি দুটি সেট কেবল ঘূর্ণন দ্বারা পৃথক হয়)? আমি সন্দেহ করি, বাবাইকে (?) ধন্যবাদ দিয়ে অর্ধ-বহুপদী উচ্চতর আবদ্ধ করার অনুমতি দেওয়া

---

আপডেট : অরথোগোনাল প্রোক্রাস্টেস সমস্যার সাথে আমার সাদৃশ্য ছিল :

$$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$$

$m!$

আমরা উদাহরণস্বরূপ মন্টে-কার্লো বা জেনেটিক অ্যালগরিদম চেষ্টা করতে পারি: উপরোক্ত সূত্রটি ব্যবহার করে কিছু পয়েন্ট পরিবর্তন করা এবং দূরত্বের উন্নতি পরীক্ষা করা, তবে আমি সন্দেহ করি যে এই জাতীয় তাত্ত্বিক অ্যালগোরিদমের স্থানীয় মিনিমা (?) সংখ্যামূলক হতে পারে

Comments

ঠিক আছে, ব্যবহারিক গ্রাফ আইসোমর্ফিজম অ্যালগরিদমের জন্য হত্যাকারী উদাহরণগুলি অগত্যা এসআরজি নয়। ড্যানিয়েল নিউইন এবং পাস্কাল শোয়েটিজারের দুটি পত্রিকা এখানে আমি আলোচনা করেছি , যা বর্তমানে সবচেয়ে কঠিন উদাহরণ দেয়। আমার আলোচনায় দাবি করা হয়েছে যে "মাল্টিপিড নির্মাণ ... মূলত একটি সাধারণ সিএফআই নির্মাণ একটি অনির্দেশিত মাল্টি-এজ হাইপারগ্রাফের জন্য প্রয়োগ করা হয়"। এই নির্মাণটিকে আরও কঠোর করতে আরও সংশোধন করা হয়েছে, যা সমস্ত অটোমোরফিজমগুলি সরিয়ে দেয়। এটি আগে কোনও এসআরজি ছিল না তবে এটির পরে অবশ্যই কোনও এসআরজি হবে না।

— টমাস ক্লিম্পেল

আমি মনে করি পয়েন্ট সেটগুলির মূল উপাদানগুলি সন্ধান করা এবং সেগুলি পরীক্ষা করা কার্যকর হবে কারণ পিসিএ রূপান্তরটির বেশ সুন্দর বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

— ফাজেল

টমাসক্লিম্পেল, আপনি কি এই অন্যান্য শক্ত উদাহরণগুলির ইগেনস্পেস সম্পর্কে কিছু বলতে পারেন? @ ফ্যাজেল, পিসিএ থেকে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সের ইগেনাল্যগুলি হ'ল ঘূর্ণন আক্রমণকারীগুলির উদাহরণ - কেবল রোটেশনের মাধ্যমে পৃথক হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত (এসআরজির জন্য তুচ্ছ)। সমস্যাটি হ'ল পর্যাপ্ত শর্ত পাওয়া, যেমন ঘূর্ণন আক্রমণকারীদের সম্পূর্ণ ভিত্তিতে - সম্পূর্ণ সেট (বা বহুপদী) মডুলো রোটেশন নির্ধারণ। পলিনোমিয়ালগুলির জন্য এখানে একটি সাধারণ নির্মাণ রয়েছে: arxiv.org/pdf/1801.01058 , প্রশ্ন হল কীভাবে স্বাধীন আক্রমণকারীদের পর্যাপ্ত সংখ্যা (জ্ঞাত) বেছে নেওয়া যায়?

— জারেক দুদা

$k$$2^{k-1}$$2^{k-1}$$2$

$2^{k-1}$

Answer 1

$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$আপনার প্রস্তাব মতামত দ্বারা তবে, কিউবিক ফর্মের সমতুল্যতা ইতিমধ্যে জিআইয়ের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে শক্ত মনে হয়েছে (যেমন আমরা এখনও জানি না যে বীজগণিতের আইসোমর্ফিিজমটি জিআই-এর বিপরীতে অর্ধ-বহু সময়ের মধ্যে রয়েছে) ইঙ্গিত দেয় যে (ক) লোকেরা এই পদ্ধতির কথা চিন্তা করেছে এবং (খ) এটি এখনও খোলা আছে।

যদিও আমি নিশ্চিতভাবে জানি না যে অরথোগোনাল গোষ্ঠীর জন্য একই রকম ফলাফল রয়েছে কিনা, তবে তারা যদি না ধরে থাকে তবে আমি অবাক হব (উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি ডিগ্রি 3 থেকে ডিগ্রি 6 তে যান)।

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, আমি দেখতে আমার অনেক পড়ার আছে। বহুবর্ষ ঘূর্ণন দ্বারা পৃথক পৃথক পরীক্ষা করা কি ডিগ্রি তিনের জন্য শক্ত হয়ে ওঠে? সহগের সংখ্যা হ'ল (ম্লান ^ ডিগ্রি), ঘূর্ণনটি ম্লান (ম্লান -১) / 2 সহগ আছে, সুতরাং সম্পূর্ণ বিবরণ মডুলো ঘূর্ণনটি ও (ম্লান ^ ডিগ্রি) স্বতন্ত্র ঘূর্ণন আক্রমণকারীদের দ্বারা দেওয়া উচিত। আমি জানি যে কীভাবে আবর্তনকারী আক্রমণ ( arxiv.org/pdf/1801.01058 ) তৈরি করা যায়, স্বাধীনতার শর্তটি প্রমাণ করা শক্ত বলে মনে হয়, তবে উচ্চ নির্ভরতা অসম্ভব বলে মনে হয় (?)

— জারেক দুদা

@ জারেকডুদা: আপনি আপনার মন্তব্যে যে একই যুক্তি দেন তা সাধারণ রৈখিক সমতুল্যতার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, সহ পরিবর্তে , তবে এগুলি উভয়ই । .. আক্রমণকারীদের মধ্যে নির্ভরতা প্রায়শই খুব গভীর প্রশ্ন। এছাড়াও, আপনার কতগুলি স্বতন্ত্র আগ্রাসন প্রয়োজন তা কেবলমাত্র একটি প্রশ্ন নয়, তবে (ক) পলি-টাইমে আপনার কোন আক্রমণকারীদের গণনা করা যেতে পারে এবং (খ) আপনি পল-টাইমে এই জাতীয় প্রতিটি আক্রমণকারীর মানও গণনা করতে পারেন? $\binom{dim}{2}$$dim^2$$\Theta(dim^2)$

— জোশুয়া গ্রাচো

অবশ্যই, যদি কেবলমাত্র প্রচুর পরিমাণে আক্রমণকারী তৈরি করতে সক্ষম হয়েছি - তবে আমি জানি না যে এটি অন্যান্য সমতার প্রকারের (?) এর ক্ষেত্রে সত্য কিনা, যদিও ঘূর্ণন আক্রমণকারীদের জন্য সেখানে এমন নির্মাণ রয়েছে যেখানে প্রতিটি গ্রাফ একটি আক্রমণকারী দেয় এবং সেখানে পদ্ধতিগত নির্মাণ রয়েছে বৃহত সংখ্যার উদাহরণস্বরূপ ট্রেনের জন্য দৈর্ঘ্যের কে চক্রের গ্রাফের সাথে সাদৃশ্য (A ^ k) ডিগ্রি 2 বহুবর্ষীয় x ^ T অক্ষের জন্য ইনগ্রেন্ট। স্থির ডিগ্রি বহুবর্ষের জন্য, আমরা বহু-সময়গুলিতে পর্যাপ্ত সংখ্যক (বা আরও অনেক বেশি) আক্রমণকারী তৈরি করতে পারি - বাকি সমস্যাটি তাদের মধ্যে পর্যাপ্ত সংখ্যক স্বতন্ত্র ব্যক্তিদের নিশ্চিত করা।

— জারেক দুদা