সম্ভাবনা যা এলোমেলো বাছাই করা নেটওয়ার্ক কাজ করে

প্রদত্ত ইনপুট , আমরা সঙ্গে একটি র্যান্ডম বাছাই নেটওয়ার্কের গঠন করা দরজা iteratively এই অবচয় দুটি ভেরিয়েবল দ্বারা সঙ্গে এবং একটি comparator গেট যোগ যে তাদের যদি অদলবদল । $n$ $x_0, \ldots, x_{n-1}$ $m$ $x_i, x_j$ $i < j$ $x_i > x_j$

প্রশ্ন 1 : জন্য সংশোধন করা হয়েছে , কত বড় হবে নেটওয়ার্কের জন্য সঠিকভাবে সাজানোর সম্ভাবনা সঙ্গে হতে ? $n$ $m$ $> \frac{1}{2}$

আমাদের প্রতিটি কমপক্ষে জোড় মোড়ক বাদ দেওয়া ছাড়া সঠিকভাবে বাছাই করা ইনপুট যেহেতু কমপক্ষে নিম্ন সীমাবদ্ধ রয়েছে প্রত্যেকটির জন্য সময় লাগবে তুলনামূলক হিসাবে চয়ন করতে জোড়া। এটি কি উপরের আবদ্ধ, সম্ভবত আরও উপাদানগুলির সাথে? $m = \Omega(n^2 \log n)$ $\Theta(n^2 \log n^2)$ $\log n$

প্রশ্ন 2 : সম্ভবত উচ্চতর সম্ভাবনা সহ ঘনিষ্ঠ তুলনামূলকগুলি বেছে নিয়ে তুলনামূলক গেটগুলির বিতরণ রয়েছে ? $m = \tilde{O}(n)$

sorting-network

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র

আমি অনুমান করি যে একবারে একটি ইনপুট এবং তারপরে ইউনিয়ন সীমাবদ্ধ করে একজন পেতে পারেন তবে এটি শক্ত থেকে দূরে শোনাচ্ছে।

O (n^{3} l o g^{O (1)})

$O(n^3log^{O(1)})$

— ড্যানিয়েলো

প্রশ্ন 2 এর আইডিয়া: গভীরতার এর বাছাইয়ের নেটওয়ার্ক চয়ন করুন । প্রতিটি পদক্ষেপে, এলোমেলোভাবে বাছাই করা নেটওয়ার্কের গেটগুলির একটি বেছে নিন এবং সেই তুলনাটি সম্পাদন করুন। পরে পদক্ষেপ, প্রথম স্তরে সব দরজা প্রয়োগ করা হয়েছে হবে। অন্য একটি পদক্ষেপের পরে, দ্বিতীয় স্তরের সমস্ত গেট প্রয়োগ করা হবে। আপনি যদি এটি দেখিয়ে দিতে পারেন যে এটি একঘেয়েমি (বাছাই করা নেটওয়ার্কের মাঝখানে অতিরিক্ত তুলনা hurtোকানো ক্ষতি করতে পারে না), আপনি সর্বমোট গড় সাথে একটি সমাধান পেয়েছেন । যদিও একাকীত্ব আসলে আছে কিনা তা আমি নিশ্চিত নই।

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

\tilde{O} (n)

$\tilde{O}(n)$

— DW

@ ডিডাব্লু: একঘেয়েমি অগত্যা ধরে রাখে না। সিকোয়েন্সগুলি বিবেচনা করুন সিকোয়েন্স কাজ করে; না (ইনপুট বিবেচনা করুন (1, 0, 0))। ধারণাটি হ'ল ব্যতীত এটি প্রাপ্ত যে কোনও ইনপুট বাছাই করে ( এখানে দেখুন )। ইন , যে ইনপুট পৌঁছতে পারে না । ইন লাগাতে পারেন।

\begin{array}{rcl} s & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}); \\ s^{'} & = & (x_{1}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}), (x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} s &=&(x_1, x_2), (x_0, x_2), (x_0, x_1);\\ s'&=&(x_1, x_2), \mathbf{(x_0, x_1)}, (x_0, x_2), (x_0, x_1).\end{eqnarray*}$

s

$s$

s^{'}

$s'$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

(0, 1, 0)

$(0, 1, 0)$

s

$s$

(x_{0}, x_{2}), (x_{0}, x_{1})

$(x_0, x_2), (x_0, x_1)$

s^{'}

$s'$

— নিল ইয়ং

প্রতিটি পদক্ষেপে এলোমেলোভাবে দুটি সংলগ্ন ভেরিয়েবলগুলি বাছাই করে নেটওয়ার্কটি বেছে নেওয়া হয়েছে এমন রূপটি বিবেচনা করুন । এখন একঘেয়েমি ধরে রাখে (সংলগ্ন অদলবদল বিবর্তন তৈরি করে না)। @ ডিডাব্লু এর ধারণাকে একটি বিজোড়-এমনকি বাছাই করা নেটওয়ার্কে প্রয়োগ করুন , যার রাউন্ড রয়েছে: বিজোড় রাউন্ডে এটি সমস্ত সংলগ্ন जोडগুলির তুলনা করে যেখানে বিজোড়, এমনকি রাউন্ডে এটি সমস্ত সংলগ্ন জোড়াগুলির সাথে তুলনা করে যেখানে সমান। এই নেটওয়ার্কটি "অন্তর্ভুক্ত" হিসাবে এলোমেলো নেটওয়ার্ক network তুলনায় সঠিক Wh (বা আমি কিছু মিস করছি?)

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i, x_{i+1}$

n

$n$

i

$i$

i

$i$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

— নীল ইয়ং

সংলগ্ন নেটওয়ার্ক Monotonicity: প্রদত্ত , জন্য সংজ্ঞায়িত । ( ) যদি বলুন । " " কোনও তুলনা ঠিক করুন । যাক এবং থেকে আসা এবং যে তুলনা করে। দাবি 1. এবং । দাবি 2: যদি , তবে । তারপরে inductively: যদি

a, b \in {0, 1}^{n}

$a, b\in\{0,1\}^n$

j \in {0, 1, \dots, n}

$j\in\{0,1,\ldots,n\}$

s_{j} (a) = \sum_{i = 1}^{j} a_{i}

$s_j(a) = \sum_{i=1}^j a_i$

a ⪯ b

$a\preceq b$

s_{j} (a) \leq s_{j} (b)

$s_j(a) \le s_j(b)$

\forall j

$\forall j$

x_{i} < x_{i + 1}

$x_i < x_{i+1}$

a^{'}

$a'$

b^{'}

$b'$

a

$a$

b

$b$ $a' \preceq a$ $b' \preceq b$ $a\preceq b$ $a' \preceq b'$

y

$y$ তুলনা ক্রম ফলাফল ইনপুট , এবং সুপার-ক্রম ফল এর তে , তারপর । সুতরাং যদি বাছাই করা হয়, তেমনি ।

s

$s$

x

$x$

y^{'}

$y'$

s^{'}

$s'$

s

$s$

x

$x$

y^{'} ⪯ y

$y' \preceq y$

y

$y$

y^{'}

$y'$

— নিল ইয়ং

বিটোনিক বাছাইয়ের ক্ষেত্রে ডিডব্লিউর ধারণার উপর ভিত্তি করে প্রশ্ন 2 এর জন্য কিছু পরীক্ষামূলক তথ্য এখানে রয়েছে। জন্য ভেরিয়েবল চয়ন সম্ভাব্যতা সঙ্গে সমানুপাতিক করতে , তারপর নির্বাচন অবিশেষে এলোমেলোভাবে একটি comparator পেতে । এটি বিটোনিক সাজানোর ক্ষেত্রে তুলনামূলক বিতরণের সাথে মিলে যায় যদি 2 এর শক্তি হয় এবং অন্যথায় এটি প্রায় অনুমান করে। $n$ $j - i = 2^k$ $\lg n - k$ $i$ $(i,j)$ $n$

এই বিতরণ থেকে টানা গেটগুলির প্রদত্ত অসীম অনুক্রমের জন্য, আমরা অনেক এলোমেলো বিট সিকোয়েন্সগুলি বাছাই করে বাছাইয়ের নেটওয়ার্ক পেতে প্রয়োজনীয় গেটগুলির সংখ্যা আনুমানিক করতে পারি। এখানে যে অনুমান এর গড় দায়িত্ব গ্রহণের সঙ্গে গেট সিকোয়েন্স : বিট গণনা আনুমানিক করতে ব্যবহৃত সিকোয়েন্স এটি মেলে মনে হচ্ছে bitonic সাজানোর হিসাবে একই জটিলতা। যদি তা হয় তবে প্রতিটি গেট জুড়ে আসার কুপন সংগ্রাহক সমস্যার কারণে আমরা কোনও অতিরিক্ত ফ্যাক্টরটি খাই না । $n < 200$ $100$ $6400$ $\Theta(n \log^2 n)$ $\log n$

জোর দেওয়া করতে: আমি শুধুমাত্র ব্যবহার করছি গেটস প্রত্যাশিত নম্বর, না অনুমান করতে বিট ক্রমের । গড় প্রয়োজনীয় গেটগুলি সেই সংখ্যাটির সাথে বৃদ্ধি পায়: যদি আমি , এবং অনুক্রম ব্যবহার করি তবে অনুমানগুলি , এবং । সুতরাং, শেষ কয়েক সিকোয়েন্সগুলি পাওয়া সম্ভবপরিকল্পিত জটিলতা বৃদ্ধি করে, যদিও স্বজ্ঞাতভাবে এটি অসম্ভব বলে মনে করে। $6400$ $2^n$ $n = 199$ $6400$ $64000$ $640000$ $14270 \pm 1069$ $14353 \pm 1013$ $14539 \pm 965$

সম্পাদনা করুন : এখানে অবধি অনুরূপ প্লট রয়েছে তবে গেটের সঠিক সংখ্যা ব্যবহার করে (নমুনা এবং জেড 3 এর সংমিশ্রনের মাধ্যমে গণনা করা)। আমি দুই হাত থেকে সুইচ করেছি অবাধ করার $n = 80$ $d = j-i$ সম্ভাব্যতা সমানুপাতিক সঙ্গে $d \in [1,\frac{n}{2}]$ । এখনো বিশ্বাসযোগ্য মনে হচ্ছে। $\frac{\log n - \log d}{d}$ $\Theta(n \log^2 n)$

— জিওফ্রে ইরভিং
সূত্র

দুর্দান্ত পরীক্ষা! এখানে কুপন সংগ্রহকারীর উত্থানের ভিন্ন উপায় রয়েছে, যদিও: আপনি সমস্ত ইনপুটগুলির যথার্থতা যাচাই করার জন্য প্রয়োজনীয়

বিট ক্রমের সামান্য ভগ্নাংশের নমুনা দিচ্ছেন । দেখে মনে হচ্ছে আমরা আপনার পরীক্ষা থেকে (বৈজ্ঞানিকভাবে, গাণিতিকভাবে নয়) উপসংহারে পৌঁছে যেতে পারি যে এই ধরণের এবং আকারের একটি এলোমেলো নেটওয়ার্ক একটি এলোমেলোভাবে ক্রমান্বয়ে whp সাজায়। আপনি যেতে আগ্রহী এমন সমস্ত

জন্য এ জাতীয় র্যান্ডম নেটওয়ার্কগুলির উপর নিখুঁত

টেস্টিং দেখতে আগ্রহী । (

খুব খারাপ হওয়া উচিত নয়, এমনকি আপনি কোন ভাষা এবং হার্ডওয়্যার ব্যবহার করছেন তার উপর নির্ভর করে

)।

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n = 20

$n=20$

n = 30

$n=30$

— জোশুয়া গ্রাচো

এটি

অবধি সঠিক হিসাবে একই দেখায় , তবে আমি এটিকে চূড়ান্ত হিসাবে দেখছি না।

n = 27

$n = 27$

— জেফ্রি ইরভিং

@ জোশুয়াগ্রোচো: আমি

পর্যন্ত সঠিক মান যুক্ত করেছি ।

n = 80

$n = 80$

— জেফ্রি ইরভিং

নিস! সঠিক ডেটাতে যদিও একটি বর্ধমান ছড়িয়ে আছে বলে মনে হচ্ছে, যা সম্ভবত

এর একটি অতিরিক্ত ফ্যাক্টরের সাথে একটি উপরের আবদ্ধ নির্দেশ করে ? (অর্থাৎ, "বিস্তার" হারে বাড়ছে যদি

।)

\log n

$\log n$

\log n

$\log n$

— জশুয়া Grochow

হ্যাঁ, আমরা কোনও অতিরিক্ত কারণকে অস্বীকার করতে পারি না। আমি অবাক হব যদি এটি

হত , যদিও, ৮০ বছর বয়সে আমরা

এবং ধ্রুবকটি সন্দেহজনকভাবে অন্যথায়

নিকটে রয়েছে । এই মুহুর্তে আমি মনে করি তত্ত্বটি গ্রহণ করতে হবে। :)

\log n

$\log n$

\lg n \approx 6

$\lg n \approx 6$

1

$1$

— জেফ্রি ইরভিং