G [M] শর্তের সাথে সর্বাধিক মিলে যাওয়া এম 2K_2- মুক্ত

সাহিত্যে কি নিম্নলিখিত সমস্যাটির নিকটে কিছু রয়েছে:

ভারসাম্য বিভাজন a সহ একটি দ্বিদলীয় গ্রাফ , এমন কি একটি নিখুঁত মিলে যাওয়া রয়েছে যা প্রতি 2 প্রান্তে , একটি প্রান্ত বা প্রান্ত রয়েছে (বা উভয়) ? $G(V,E)$ $\{U,W\}$ $M$ $G$ $u_1w_1, u_2w_2\in M$ $u_1w_2$ $u_2w_1$ $G$

অন্য কথায়, একটি নিখুঁত মেলা যেমন যে প্ররোচক subgraph হয় মুক্ত। (সুষম দ্বিখণ্ডিত সহ, আমি বোঝাই ) $M$ $G[M]$ $2K_2$ $|U|=|W|$

অতিরিক্ত শর্তটি প্ররোচিত ম্যাচিং সমস্যায় ব্যবহৃত বিপরীত চরমের মতো কিছু। আরেকটি সম্ভবত এর সাথে সম্পর্কিত এক সর্বাধিক মাপ ম্যাচিং খুঁজে বের করার সমস্যা দ্বিপাক্ষিক গ্রাফে প্রান্ত যেমন যে সংকোচন মধ্যে প্রান্ত গ্রাফ বাম সংখ্যা ছোট। $M$ $G$ $M$

প্লামার ইন ম্যাচিং এবং ভার্টেক্স প্যাকিংয়ের সাথে সম্পর্কিত ম্যাচের সম্পর্কিত সমস্যার তালিকাটি পরীক্ষা করেছিলাম : তারা কতটা "শক্ত"? সাফল্য ছাড়া.

দ্রষ্টব্য: এই সমস্যা এই সিদ্ধান্ত সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায়: - জন্য একটি প্রদত্ত , একটি সর্বোচ্চ মেলা একটি দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ যেমন যে হয় মুক্ত এবং । যদি ইনপুট গ্রাফটি ভারসাম্যপূর্ণ দ্বিপক্ষীয় এবং, আমরা উপরের সমস্যা পেতে। $k\in\mathbb{N}$ $M$ $G$ $G[M]$ $2K_2$ $|M|>k$ $k=|U|$

ধন্যবাদ.

matching

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি
সূত্র

নিখুঁত মিলটি সঠিক শব্দ নাও হতে পারে। আমরা মূলত জিজ্ঞাসা করছি যে সর্বাধিক মাপের আকার আছেউল্লিখিত সম্পত্তি সহ।

| U |

$|U|$

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি

এক অর্থে, আমরা একটি শক্তিশালী মিল বলে যার বিপরীতে কিছু জিজ্ঞাসা করছি are একটি শক্তিশালী ম্যাচিং একটি গ্রাফে একটি মানানসই হয় যেমন সেখানে কোন প্রান্ত যে কোন দুই প্রান্ত সংযোগ

M

$M$

G

$G$

M

$M$

G

$G$

M

$M$

— Cyriac অ্যান্টনি

দুঃখিত, দ্বারা , আমি এর subgraph বোঝানো 'থেকে' ছেদচিহ্ন দ্বারা প্রবর্তিত

G [M]

$G[M]$

G

$G$

M

$M$

— Cyriac অ্যান্টনি

উত্তর:

আশ্চর্য! (আমার জন্য).
এই ধরণের ম্যাচগুলি ইতিমধ্যে সাহিত্যে অধ্যয়ন করা হয়। এগুলিকে সংযুক্ত ম্যাচিং বলা হয় ।

হাদভিগার অনুমানের উপর তাদের গবেষণায় সেগুলি প্লামার, স্টিবিটজ এবং টফ্ট দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। "সম্মিলিত অপ্টিমাইজেশন - ইউরেকা, আপনি সঙ্কুচিত!" বইটিতে ক্যামেরনের "সংযুক্ত ম্যাচিংস" অধ্যায়টি দেখুন!

দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে সংযুক্ত ম্যাচিংয়ের স্থিতি (প্রয়োজনীয় ভারসাম্য নয়) আমার জ্ঞানের সেরাটির জন্য উন্মুক্ত ( আমি আপডেট করব )। সমস্যার ওজনযুক্ত সংস্করণটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের জন্য এনপি-সম্পূর্ণ। কোর্ডাল বাইপারটাইট গ্রাফগুলির জন্য সমস্যাটি বহুবর্ষময় সময় দ্রবণীয়।

আপডেট: সমস্যাটি ভারসাম্যপূর্ণ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলির জন্য এনপি-সম্পূর্ণ (যেমন, প্রশ্নটিতে জিজ্ঞাসা করা সঠিক সমস্যা)। অ্যালন এট আল দ্বারা " মাল্টিটাস্কিং ক্যাপাসিটি: কঠোরতা ফলাফল এবং উন্নত নির্মাণ " পত্রিকায় এটি প্রমাণিত হয়েছে । তারা আরও জানায় যে এনপি = কো-আরপি ব্যতীত বৃহত্তম সংযুক্ত মিলের আকার নির্ধারণ করা of এর একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে অনুমান করা শক্ত । $n^{1-\epsilon}$

তার আগে যোগ নোটস (আগ্রহী ব্যক্তিদের জন্য রাখা):
" তন্ত্রীসদৃশ দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ সংযুক্ত matchings " Jobson এট দ্বারা। (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) এবং " গ্রাফের বিশেষ পরিবারগুলিতে সংযুক্ত ম্যাচিং " কারাজিয়ানিস (থিসিস) দুটি উল্লেখযোগ্য উল্লেখযোগ্য উল্লেখ।

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি
সূত্র

এই প্রশ্নটি রাখার আরও একটি উপায় রয়েছে। সেখানে একটি নিখুঁত মেলা একটি সুষম দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ যেমন যে মধ্যে প্রান্ত প্রতিটি যুগল একে অপরের দূরত্বে 1 ঠিক ? (প্রান্ত এবং মধ্যকার দূরত্ব হ'ল একটি শীর্ষস্থান থেকে এর একটি শীর্ষে দীর্ঘতম দৈর্ঘ্য ))। $M$ $G$ $M$ $G$
$e$ $e’$ $e$ $e’$

এই হেতু, অতিরিক্ত শর্ত লাইন গ্রাফ থেকে ছেদচিহ্ন একটি উপসেট খোঁজার জন্য হ্রাস এর যা একটি দূরত্ব ঠিক 2. সুতরাং সমস্যা এ pairwise হয় ঠিক দূরত্ব 2 এ ছেদচিহ্ন সর্বোচ্চ আকার সেট করুন খোঁজার প্রতিটি অন্যটি হ'ল প্রার্থীর সমস্যা (প্রশ্নের মধ্যে থাকা সমস্যাটির নিকটবর্তী হতে হবে)। সাম্প্রতিক গবেষণাপত্রে দৃ sub় সাবক্লোরিংয়ের অ্যালগরিদমিক দিকগুলি (এম এ শালু, এস। বিজয়কুমার, এস। দেবী ইয়ামিনী এবং টিপি সন্ধ্যা দ্বারা), তারা এই সমস্যাটিকে দৃ strong় সেট বলে call $L(G)$ $G$

স্টং সেট সমস্যাটি কয়েকটি গ্রাফ শ্রেণিতে এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে পরিচিত। আমি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের লাইন গ্রাফগুলিতে এর অবস্থান জানি না। কাগজটি বলে যে এটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে এনপি-সম্পূর্ণ। আমাদের আগ্রহ এখানে দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের লাইন গ্রাফের শ্রেণিতে থাকবে।

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি
সূত্র

একটি ভুল সংশোধন সম্পাদিত; আমি ভেবেছিলাম দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের লাইন গ্রাফগুলি দ্বিপক্ষীয়। :)

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি

আমি মনে করি আপনার প্রান্তগুলির মধ্যকার দূরত্বের সংজ্ঞাটিতে একটি +1 থাকা উচিত (বর্তমান সংজ্ঞায় এম এর প্রান্তগুলি 1 এর দূরত্ব হতে হবে কারণ একটি প্রান্ত রয়েছে --- দৈর্ঘ্যের একটি পথ --- প্রতিটি জোড় প্রান্তকে সংযুক্ত করছে এম এর, তবে আপনি আসলে দূরত্ব 2) মানে।

— ফ্লোরেন্ট ফৌকাড

এটিকে "প্রান্তগুলি ... একে অপরের থেকে দূরত্বে 1" হিসাবে সংশোধন করা হয়েছে। আপনাকে @ ফ্লোরেন্ট ফৌকাড

— অ্যান্টনি

এটি কাজ করে, তবে এখন দুঃখের সাথে আপনার "প্রান্তের দূরত্ব" লাইন গ্রাফের সাথে সম্পর্কিত উল্লম্বের শীর্ষ প্রান্তের সাথে মিলছে না।

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাউড

মডেলিংটিকে আপনার সমস্যার ঘনিষ্ঠ করার জন্য, মনে রাখবেন যে কোনও গ্রাফের সর্বাধিক মিলটি তার লাইন গ্রাফের সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটের সাথে মিলে যায়। সুতরাং, লাইন গ্রাফটিতে আপনি একটি শক্তিশালী সেট সন্ধান করছেন যা সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেটও (বিশেষত, এটি অবশ্যই একটি প্রভাবশালী সেট হতে হবে)।

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাউড