পাশের দৈর্ঘ্যের কে দিয়ে 3 ডি-গ্রিডের (জাল বা লাতলা) পথচলাচলটি কী?

ম্যাথওভারফ্লোতে আমি এই প্রশ্নটি কয়েক সপ্তাহ আগে জিজ্ঞাসা করেছি , কিন্তু আমি কোনও উত্তর পাইনি।

এখানে পাশের দৈর্ঘ্যের -ডি-গ্রিডের সাহায্যে আমি d এলডটস এবং সহ গ্রাফ বোঝাতে চাইছি , অর্থাত নোডগুলি 1 এবং মধ্যে ত্রিমাত্রিক পূর্ণসংখ্যার স্থানাঙ্কে স্থাপন করা হয় এবং একটি নোড এর সাথে সংযুক্ত থাকে সর্বাধিক 6 টি নোড যা একের পর এক স্থানাঙ্কের মধ্যে আলাদা। $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

এই গ্রাফটির নাম কী? আমি থ্রিডি গ্রিড ব্যবহার করব তবে সম্ভবত 3D জাল বা 3 ডি ল্যাটিসগুলি অন্য লোকেরা অভ্যস্ত।

এই গ্রাফের গাছের প্রস্থ বা পাথউইথ কী? এটি ইতিমধ্যে কোথাও প্রকাশিত হয়?

আমি ইতিমধ্যে জানি যে $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ , অর্থাত্ এটা সত্যিই চেয়ে ছোট $k^2$ । আমার কাছে, এটি প্রস্তাবিত যে স্ট্যান্ডার্ড আর্গুমেন্টগুলি দেখায় যে $k\times k$ 2 ডি-গ্রিডের ট্রিউইথ এবং পাথউইথ $k$ সহজেই সাধারণীকরণ করা হবে না।

এই দেখার জন্য, আমরা একটি পাথ পচানি বিবেচনা করেন যে, "sweeps" গ্রিড ফর্মের প্রধানত নোড-সেট ব্যবহার $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ । পর্যবেক্ষণ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ , $S_{3/2 k}$ such এই জাতীয় বৃহত্তম সেট। $S_c$ এবং মধ্যে $S_{c+1}$ একটি লাইন দিয়ে তৈরি করা হয় এবং পৃথককারী হওয়ার জন্য $O(k)$ অতিরিক্ত নোডের প্রয়োজন হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, the সেটগুলি ব্যবহার করুন $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ পচন পচন হিসাবে । $G$

আমার কাছে এমন প্রমাণের জন্যও ধারণা রয়েছে যা দেখায় $tw(G) = \Omega(k^2)$ , তবে এটি এখনও শেষ হয়নি।

— রিকো জ্যাকব
সূত্র

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$ জন্য । আমি কিছু অনুপস্থিত করছি?

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— সারিল হ্যার-পিল্ড

অবশ্যই। তবে কেবলমাত্র উপরের ব্যবহৃত হয়। আমি যা সত্যিই যত্নশীল তা নিম্ন সীমাবদ্ধ।

S_{c}

$S_c$

— রিকো জ্যাকব

আপনি এই কাগজটিতে আগ্রহী হতে পারেন: springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk । আপনি যদি নিজের গ্রাফের "সারি নম্বর" গণনা করতে পারেন তবে আপনাকে থিওরেম 1 ব্যবহার করে এর পথের প্রস্থের উপর একটি নীচে আবদ্ধ দেওয়া হবে যা জানিয়েছে যে কোনও গ্রাফের জন্য ।

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— ম্যাথিউ চ্যাপেল

উহু. আমি দেখি. আপনি বোঝাতে চেয়েছিলেন ।

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— সারিল হার-পিল্ড

@ সরিল: একই বিভ্রান্তি এড়াতে আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি।

— সোসোশি ইটো

উত্তর:

এর pathwidth কিছু পরিচিত ফলাফলগুলিতে একটি সম্পুরক হিসেবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। ফিৎসগেরাল্ড [২] দেখিয়েছেন যে কে এর ব্যান্ডউইথটি । হার্পার [3] এমন একটি শর্ত দেখিয়েছিল যে যদি কোনও গ্রাফ শর্তটি সন্তুষ্ট করে তবে তার প্যাথউইথ এবং ব্যান্ডউইদথ একই। মোগাদাম [৪,৫] এবং বল্লোবস এবং লিডার [১] স্বতন্ত্রভাবে দেখিয়েছেন যে কোনও বহুমাত্রিক গ্রিড হার্পারের অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে। এই ফলাফলগুলি বোঝায় যে কে এর । $P^3_k$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

হিসিয়েন-চিহ উল্লিখিত আমাদের গবেষণাপত্রে, যোশিও ব্যাখ্যা করার সাথে সাথে আমরা ফিৎসগেরাল্ডের ফলাফলকে সাধারণীকরণ করেছি। আমি বিশ্বাস করি কে জানা নেই। $P^3_k$

এফওয়াইআই: আমি স্রেফ আমাদের কাগজের একটি ইংরেজী সংস্করণ আরএক্সআইভিতে জমা দিয়েছি ।

বি। ব্লোবস এবং আই। নেতা, সংকোচনের এবং isoperimetric বৈষম্য, জে কম্বিন। থিওরি সের। একটি 56 (1991) 47-62।
সিএইচ ফিৎসগেরাল্ড, গ্রাফের শীর্ষাংশের অনুকূল সূচীকরণ, গণিত। বন্দীরা। 28 (1974), 825-831।
এলএইচ হার্পার, গ্রাফিকগুলির সর্বোত্তম নম্বরগুলি এবং আইসোপিরিমেট্রিক সমস্যা, জে কম্বিন। তত্ত্ব 1 (1966) 385-393।
এইচএস মোঘাদম, সংক্ষেপণ অপারেটর এবং পাথের পণ্য ব্যান্ডউইথ সমস্যার সমাধান , পিএইচডি। থিসিস, ক্যালিফোর্নিয়া বিশ্ববিদ্যালয়, রিভারসাইড (1983)। $n$
এইচ এস মোগাদাম, পাথের পণ্যগুলির ব্যান্ডউইথ , কংগ্রেস। Numer। 173 (2005) 3-15। $n$

— যোটা ওটাচি
সূত্র

আপনার নতুন ফলাফলটি ভাগ করে নেওয়ার জন্য ধন্যবাদ (এবং কাগজ!) এছাড়াও, টিসিএস এসই তে স্বাগতম :)

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之

@ হিসিয়েন-চিহ: আপনি আমাদের ফলাফলটি ভাগ করে নেওয়ার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন :-) ধন্যবাদ আসলে, আমি আরএক্সিবের জন্যও নতুন।

— যোটা ওটাচি

ত্রি -মাত্রিক গ্রিডের আইসইএস টেকের প্যাথউইথ পেপারে রিওহেই সুদা, যোটা ওটাচি এবং কোইচি ইয়ামাজাকি দ্বারা থ্রিডি-গ্রিডের পথউইথটি অধ্যয়ন করা হয়েছে । রিপোর্ট, ২০০৯।

এটি কাগজের বিমূর্তে দাবি করা হয়েছে যে

এই কাগজে, আমরা ত্রি-মাত্রিক গ্রিডগুলির প্রান্তিক প্রান্তটি প্রস্থ নির্ধারণ করে বন্ধ আকারে প্রদান করি।

তবে বিমূর্তে সুনির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা বর্ণিত হয়নি এবং বর্তমানে আমি সম্পূর্ণ কাগজটি অ্যাক্সেস করতে পারি না। লেখকরা যদি ফলাফলটি ভাগ করে নিতে ইচ্ছুক হন তবে আপনি ব্যক্তিগতভাবে লেখকদের সাথে যোগাযোগ করতে পারেন এবং নিজেরাই এই প্রশ্নের উত্তর পোস্ট করতে পারেন।

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

নোট করুন যে কাগজটি জাপানি ভাষায় লেখা আছে।

— সোসোশি ইতো

@ শুয়োশি: হ্যাঁ, আমাদের আপনার সাহায্যের দরকার হতে পারে :)

— হিউসিওন-চিহ চাং 之之

পাণ্ডুলিপিটিতে আমার শারীরিক অ্যাক্সেস রয়েছে (এবং জাপানিরা বুঝতে পারে)। লেখকের মতে, এর pathwidth হয় যদি এবং অন্যথায়, যেখানে হল পথের , এবং ।

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

— যোশিও ওকামোটো

@ যোশিও: এটি একটি উত্তর হতে পারে, যেহেতু এটি , যা প্রশ্নের উত্তর দেয়

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

— হিশিয়ান-চিহ চাং 張顯之

ধন্যবাদ। দেখে মনে হচ্ছে নিজেকে সেই রেফারেন্সটি না পেয়ে আমার খারাপ লাগবে না। আমি বিস্তারিত জানতে আগ্রহী।

— রিকো জ্যাকব