দাবি অস্বীকার : আমি সংখ্যা তত্ত্বের বিশেষজ্ঞ নই।
সংক্ষিপ্ত উত্তর : যদি তুমি অনুমান করা "যুক্তিযুক্ত সংখ্যা-তত্ত্বীয় অনুমান", তারপর আমরা বলতে পারেন ব্যবধান একটি মৌলিক কিনা সেখানে ইচ্ছুক সময় পি ণ ঠ Y ঠ ণ ছ[n,n+Δ] । আপনি এই ধরনের অনুমান করতে ইচ্ছুক না হন, তাহলে, তারপর সেখানে একটি হলসুন্দর অ্যালগরিদমOdlyzko কারণে যে জাতিসংঘের এন 1 / 2 + + ণ ( 1 ) , এবং আমি বিশ্বাস করি যে এই শ্রেষ্ঠ পরিচিত।polylog(n)n1/2+o(1)
একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সমস্যা সম্পর্কে প্রচুর দুর্দান্ত তথ্যের সাথে খুব সহায়ক লিঙ্ক : প্রাইমগুলি সন্ধানের জন্য ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদমে পলিম্যাথ প্রকল্প ।
দীর্ঘ উত্তর :
এটি একটি কঠিন সমস্যা, গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্র এবং এটি প্রাইমদের মধ্যে ব্যবধান বাঁধার জটিল প্রশ্নের সাথে নিবিড়ভাবে জড়িত বলে মনে হয়। আপনার সমস্যাটি নৈতিকভাবে এবং 2 n এর মধ্যে নির্ধারিতভাবে প্রাইম খুঁজে পাওয়ার সমস্যার সাথে খুব মিল , যা সম্প্রতি পলিম্যাথ প্রকল্পের বিষয় ছিল । (আপনি যদি এই প্রশ্নগুলির মধ্যে সত্যই ডুব দিতে চান তবে সেই লিঙ্কটি শুরু করার একটি দুর্দান্ত জায়গা)) বিশেষত, উভয় সমস্যার জন্য আমাদের সেরা অ্যালগরিদমগুলি মূলত একই।n2n
উভয় ক্ষেত্রেই, সেরা অ্যালগরিদম প্রাইমের মধ্যে ফাঁকগুলির আকারের উপর নির্ভর করে। বিশেষ করে, যদি যেমন সর্বদা মধ্যে একটি মৌলিক নেই এন এবং N + + চ ( এন ) (এবং চ ( এন ) দক্ষতার নির্ণিত করা যেতে পারে), তাহলে আমরা সবসময় সময় একটি মৌলিক জানতে পারেন পি ণ ঠ Y l Δ , প্রথমে পরীক্ষা করুন Δ ≥ f ( n ) । যদি তাই হয়, আউটপুট হ্যাঁ। অন্যথায়, কেবল মধ্যবর্তী সংখ্যার মধ্য দিয়ে পুনরাবৃত্তি করুনf(n)nn+f(n)f(n) নিম্নরূপ। এন এবং এন + এর মধ্যে কোনও প্রাইম রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করতেpolylog(n)⋅f(n)nn+ΔΔ≥f(n) এবং N + + Δ এবং পরীক্ষা প্রতিটি primality এবং উত্তর হবে হ্যাঁ করার জন্য আপনাকে একটি মৌলিক এবং কোন অন্যথায় এটি পারেন। (এটি নির্বিচারে করা যেতে পারে, এ কারণেই ডি এবং ডেটনালিস্টিকালি এন এবং 2 এন এর মধ্যে প্রাইম সন্ধান একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে প্রাইম আছে কিনা তা নির্ধারণের সাথে এতটা ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত।)nn+Δn2n
তাহলে মৌলিক আচরণ মত আমরা মনে করি তারা, তারপর এই গল্পের শেষ (আপ হয় কারণের)। বিশেষত, আমরা f ( n ) নিতে সক্ষম হব বলে আশা করিpolylog(n)। এটিহ্যারাল্ড ক্র্যামারের পরেক্রমারের অনুমানহিসাবে পরিচিতএবং এটি প্রমাণ করা এই মুহুর্তে খুব দূরের বলে মনে হয়। তবে, যতদূর আমি জানি, এটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয়। (এক, এই অনুমান, যেমন আসে অনুসন্ধানমূলক থেকে যে মৌলিক পূর্ণসংখ্যার র্যান্ডম সেট প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা সহ দ্বারা প্রাপ্ত মত আচরণ এন ≥ 3f(n)=O(log2n)n≥3সম্ভাব্যতা সহ স্বাধীনভাবে এলোমেলোভাবে )1/logn
অনেক অনুমান রয়েছে যা বোঝায় যে অনেক বেশি দুর্বল আবদ্ধ যেমনলেজেন্ড্রের অনুমান। (আমি এমন কোনও অনুমান সম্পর্কে অবগত নই যা মধ্যবর্তী বাউন্ডকে বোঝায়, যদিও আমি কল্পনা করি যে সেগুলি বিদ্যমান।) এবং, রিমান অনুমানটি অনুরূপ আবদ্ধf(n)বোঝাতে পরিচিত≤O( √f(n)≤O(n−−√)। সুতরাং, আপনি যদি এই অনুমানগুলি ধরে নেন তবে আপনি মূলত ওডলিজকোর অ্যালগরিদমকে (এন ও ( 1 ) এর একটি ফ্যাক্টর ) খুব সহজ অ্যালগরিদমের সাথেমেলে।f(n)≤O(n−−√logn)no(1)
আমি বিশ্বাস করি যে শ্রেষ্ঠ নিঃশর্ত বাউন্ড অধিকার এখন কারণে বেকার, হারমান এবং Pintz । সুতরাং, যদি আপনি কিছু না ধরে থাকেন তবে ওডলিস্কোর অ্যালগোরিদম মোটামুটি এন 0.025 এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা সুস্পষ্ট অ্যালগরিদমকে বীট করে ।O˜(n0.525)n0.025