শেঠ ধরে নেওয়া যাক, সমস্যা সময় সমাধেয় নয় কোনো । ε > 0ও ( 2)( 1 - ϵ ) এনপি ও এল ওয়াই (এল) )ϵ > 0
প্রথমে আমাকে দেখাতে দাও যে এটি আরও সাধারণ সমস্যার জন্য সত্য যেখানে এবং নির্বিচারে একঘেয়ে সূত্র হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, TAUT থেকে ভেরিয়েবলের সংখ্যা সংরক্ষণ করে এমন সমস্যা থেকে বহু-সময়ের সিটিটি হ্রাস রয়েছে। যাক বোঝাতে থ্রেশহোল্ড ফাংশন
বাছাই নেটওয়ার্কটি ব্যবহার করে, বহু-আকারের একঘেয়ে সূত্রের দ্বারা লেখা যেতে পারে, যা সময় মতো ।Ψ টি এন টি ( এক্স 0 , ... , x এর এন - 1 ) টি এন টি ( এক্স 0 , ... , x এন - 1 ) = 1ΦΨটিএনটি( এক্স0, … , এক্সn - 1)টি এন টি পিওএলওয়াই(এন)
টিএনটি( এক্স0, … , এক্সn - 1) = 1⟺||{ i < n : xআমি= 1 } ∣|≥t.
Tntpoly(n)
বুলিয়ান সূত্র , আমরা দে মরগান বিধিগুলি এটি লিখতে ব্যবহার করতে পারি
যেখানে একরঙা। তারপরে
হ'ল যদি হয় এবং কেবল যদি জড়িত থাকে
প্রতিটি জন্য বৈধ , যেখানে
ϕ ′ ( এক্স 0 , … , এক্স এন - 1 , ¬ এক্স 0 , … , ¬ এক্স এন - 1 ) , ϕ ′ ϕ ( এক্স 0 , … , এক্স এন - 1 ) টি এন টি ( x 0 , … ,ϕ(x0,…,xn−1)
φ'( এক্স0, … , এক্সn - 1, ¬ x0, … , ¬ xn - 1) ,
φ'ϕ ( এক্স0, … , এক্সn - 1)t ≤ n N i = T n - 1 t ( x 0 , … , x i - 1 , x আমি + 1 , … , এক্স এন -টিএনটি( এক্স0, … , এক্সn - 1) → ϕ'( এক্স0, … , এক্সn - 1, এন0, … , এনn - 1)
t ≤ nএনআমি= টিn - 1টি( এক্স0, … , এক্সi - 1, এক্সi + 1, … , এক্সn - 1) ।
বাম-থেকে-ডান সংশ্লেষ জন্য, দিন একটি কাজ পরিতৃপ্ত হতে , অর্থাত্, অন্তত সঙ্গে বেশী। বিদ্যমান ঠিক সঙ্গে বেশী। তারপরে , এভাবে বোঝায় । যেহেতু এটি একঘেয়ে ফর্মুলা, তাই আমাদের কাছে । ডান থেকে বাম নিদর্শন একই।টি এন টি টি ই ′ ≤ ই টি ই ′ ⊨ এন আই ↔ ¬ এক্স আই ই ′ ⊨ ϕ ই ′ ⊨ ϕ ′ ( এক্স 0 , … , এক্স এন - 1 , এন 0 , … , এন এন - 1 ) ই ⊨ ϕ ′ ( x 0 , … , এক্স এন)ইটিএনটিটিই'≤ ইটিই'। এনআমি↔ ¬ এক্সআমিই'Φ ϕই'Φ ϕ'( এক্স0, … , এক্সn - 1, এন0, … , এনn - 1)e ⊨ ϕ'( এক্স0, … , এক্সn - 1, এন0, … , এনn - 1)
এখন, আসল সমস্যাটিতে ফিরে আসি। আমি নিম্নলিখিতগুলি দেখাব: যদি সমস্যাটি সময়ে সমাধানযোগ্য হয় তবে যে কোনও , -ডিএনএফ-ট্যুট (বা দ্বৈতভাবে, -স্যাট) এর মধ্যে সমাধানযোগ্য সময় । এটি ধরে বোঝায় ।k k k 2 δ n + O ( √2δএনপি ও এল ওয়াই (এল)টটটδ≥12δএন + ও ( কে এন লগ)এন√)পি ও এল ওয়াই (এল)δ। 1
সুতরাং, অনুমান আমরা দেওয়া হয় -DNF
যেখানে প্রতিটি । আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আকারের split আকারে বিভক্ত করি। উপরের মতো একই যুক্তি অনুসারে, হ'ল একটি টাউটোলজি যদি এবং কেবল তখনই জড়িত থাকে
প্রতিটি জন্য বৈধ -tuple , যেখানে যে কোনওϕ = ⋁ আই < এল ( ⋀ জে ∈ এ আই x জে ∧ ⋀ জে ∈ বি আই ¬ এক্স জ ) , | ক i | + | খ i | ≤ k i n n ′ = n / b খ ≈ √ √ট
ϕ = ⋁i < l( ⋀)j ∈ এআমিএক্সঞ∧⋀j∈Bi¬xj),
|Ai|+|Bi|≤kinn′=n/b φ ⋀ তোমার দর্শন লগ করা < এন ' টি খ টি ইউ ( এক্স খ তোমার দর্শন লগ করা , ... , x এর খ ( U + + 1 ) - 1 ) → ⋁ আমি < ঠ ( ⋀ ঞ ∈ একজন আমি এক্স ঞ ∧ ⋀ ঞ ∈ বি আই এন ঞ ) এন'টন0,...b≈k−1nlogn−−−−−−−−√ϕ⋀u<n′Tbtu(xbu,…,xb(u+1)−1)→⋁i<l(⋀j∈Aixj∧⋀j∈BiNj)(∗)
n′t0,…,tn′−1∈[0,b]j=bu+j′, , আমরা
আমরা size সাইজের মোনোটোন সিএনএফ হিসাবে লিখতে পারি , অতএব এর এলএইচএস হ'ল আকারের মোনোটোন সিএনএফ । ডানদিকে, আমরা মাপের ডিএনএফ হিসাবে লিখতে । সুতরাং, বিতরণ ব্যবহার করে, আরএইচএসের প্রতিটি বিযুক্তিকে আকার b এর মনোোটোন ডিএনএফ হিসাবে লেখা যেতে পারে , এবং পুরো আরএইচএস আকারের ডিএনএফ । এটা অনুসরণ করে যে আকারের আমাদের সমস্যার একটি দৃষ্টান্ত হল মধ্যে
0≤j′<bNj=Tb−1tu(xbu,…,xbu+j′−1,xbu+j′+1,…,xb(u+1)−1).
TbtO(2b)(∗)O(n2b)NjO(2b)O(2kb)O(l2kb)(∗)O(l2O(kb))nভেরিয়েবল। অনুমান দ্বারা, আমরা সময় এর বৈধতা পরীক্ষা করতে পারি । আমরা সব জন্য এই চেক পুনরাবৃত্তি এর পছন্দ , এইভাবে মোট সময়
দাবি করা হয়েছে
O(2δn+O(kb)lO(1))bn′t⃗ O((b+1)n/b2δn+O(kb)lO(1))=O(2δn+O(knlogn√)lO(1))
আমরা সমস্যার সীমাবদ্ধ-প্রস্থ সংস্করণ বিবেচনা করে (এস) ইটিএইচের সাথে আরও কঠোর সংযোগ পাই: যে কোনও , মনিম আইপি যেখানে the একটি সিএনএফ, এবং সেই সমস্যার সীমাবদ্ধতা বোঝায় let একটি হল -DNF। (এস) স্থির করে concerns
তেমনি, আসুন আমরা
স্পষ্টতই,
k≥3kΦkΨk
sks∞=inf{δ:k-SAT∈DTIME(2δn)},=sup{sk:k≥3}.
s′ks′∞=inf{δ:k-MonImp∈DTIME(2δn)},=sup{s′k:k≥3}.
s′3≤s′4≤⋯≤s′∞≤1
যেমন স্যাট ক্ষেত্রে। আমাদের
রয়েছে এবং প্রশ্নের দ্বিগুণ পরিবর্তনশীল হ্রাস দেখায়
এখন, আমরা যদি ধ্রুবক ব্লক-আকার দিয়ে উপরের করি, আমরা
সুতরাং
বিশেষত, SETH সমতুল্য এবং ETH সমস্ত জন্য সমতুল্য ।
s′k≤sk,
sk≤2s′k.
bsk≤s′bk+log(b+1)b,
s∞=s′∞.
s′∞=1s′k>0k≥3