একঘেয়ে সিএনএফ একটি মনোোটোন ডিএনএফ প্রয়োগ করে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যা

নিম্নলিখিত সিদ্ধান্ত সমস্যা বিবেচনা করুন

ইনপুট : একটি মনোোটোন সিএনএফ এবং একটি একরঙা ডিএনএফ । $\Phi$ $\Psi$

প্রশ্ন : ট পিএসি কি টোটোলজি? $\Phi \to \Psi$

অবশ্যই আপনি এই সমস্যাটি সমাধান করতে পারেন , যেখানে মধ্যে ভেরিয়েবলের সংখ্যা এবং দৈর্ঘ্য। অন্যদিকে, এই সমস্যাটি কোএনপি-সম্পূর্ণ। তদুপরি, একটি হ্রাস যা কোএনপি-সম্পূর্ণতা প্রতিষ্ঠা করে তাও দেখায় যে, SETH ব্যর্থ না হলে এই সমস্যার জন্য কোনও -কালীন অ্যালগরিদম নেই (এটি কোনও ধনাত্মক ধারণ করে )। এই হ্রাস এখানে। যাক একটি (অ-একঘেয়েমি) CNF হতে হবে এবং দিন তার পরিবর্তনশীল হও। প্রতিটি ধনাত্মক ঘটনাটি দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(l))$ $n$ $\Phi \to \Psi$ $l$ $O(2^{(1/2 - \varepsilon)n} \mathrm{poly}(l))$ $\varepsilon$ $A$ $x$ $x$ $y$ এবং প্রতিটি নেতিবাচক occurence $x$ দ্বারা $z$ । প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য একই কাজ। ফলস্বরূপ একঘেয়ে দেওয়া সিএনএফকে হতে দিন $\Phi$ । এটি দেখতে যে সহজ $A$ Satisfiable iff হয় $\Phi \to yz \lor \ldots$ হয় একটি অনুলাপ না। এই হ্রাস 2 এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা ভেরিয়েবলের সংখ্যা আপকে উড়িয়ে দেয়, যা উপরে উল্লিখিত $2^{n/2}$ lower (এসইটিএইচ-ভিত্তিক) নিম্ন সীমাটি বোঝায় ।

সুতরাং $2^{n/2}$ এবং মধ্যে একটি ফাঁক রয়েছে $2^n$ । আমার প্রশ্ন হ'ল SETH থেকে আরও ভাল অ্যালগরিদম বা আরও ভাল হ্রাস জানা যায় কিনা?

সমস্যার সাথে আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কিত দুটি মন্তব্য:

মনোটোন ডিএনএফ একটি মনোোটোন সিএনএফ বোঝায় কিনা তার বিপরীত সমস্যা বহুবর্ষের সময়ে তুচ্ছভাবে সমাধানযোগ্য।
আকর্ষণীয়ভাবে, ফ্রেডম্যান এবং খাচিয়ানের কারণে Mon এবং গণনা একই ফাংশনটি একই ফাংশনটি দ্বি-বহুবচনীয় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যাটি (মনোোটোন ডিসজেঞ্জিটিভ নর্মাল ফর্মগুলির দ্বৈতকরণের জটিলতায়, জার্নাল অফ অ্যালগরিদম 21 (1996), না । 3, pp। 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 ) $\Phi$ $\Psi$

exp-time-algorithms boolean-formulas fine-grained

— সাশা কোজাচিনস্কি
সূত্র

শেঠ ধরে নেওয়া যাক, সমস্যা সময় সমাধেয় নয় কোনো । $O\bigl(2^{(1-\epsilon)n}\mathrm{poly}(l)\bigr)$ $\epsilon>0$

প্রথমে আমাকে দেখাতে দাও যে এটি আরও সাধারণ সমস্যার জন্য সত্য যেখানে এবং নির্বিচারে একঘেয়ে সূত্র হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, TAUT থেকে ভেরিয়েবলের সংখ্যা সংরক্ষণ করে এমন সমস্যা থেকে বহু-সময়ের সিটিটি হ্রাস রয়েছে। যাক বোঝাতে থ্রেশহোল্ড ফাংশন বাছাই নেটওয়ার্কটি ব্যবহার করে, বহু-আকারের একঘেয়ে সূত্রের দ্বারা লেখা যেতে পারে, যা সময় মতো । $\Phi$ $\Psi$ $T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})$

{টি}_{টি}^{এন} ({এক্স}_{0}, ..., {এক্স}_{এন - 1}) = 1 ⟺ | {আমি < এন : {এক্স}_{আমি} = 1} | \geq টি ।

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})=1\iff\bigl|\{i<n:x_i=1\}\bigr|\ge t.$

T_{t}^{n}

$T^n_t$

p o l y (n)

$\mathrm{poly}(n)$

বুলিয়ান সূত্র , আমরা দে মরগান বিধিগুলি এটি লিখতে ব্যবহার করতে পারি যেখানে একরঙা। তারপরে হ'ল যদি হয় এবং কেবল যদি জড়িত থাকে প্রতিটি জন্য বৈধ , যেখানে $\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

φ^{'} ({এক্স}_{0}, ..., {এক্স}_{এন - 1}, \neg {এক্স}_{0}, ..., \neg {এক্স}_{এন - 1}),

$\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},\neg x_0,\dots,\neg x_{n-1}),$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ (x_{0}, \dots, x_{n - 1})

$\phi(x_0,\dots,x_{n-1})$

{টি}_{টি}^{এন} ({এক্স}_{0}, ..., {এক্স}_{এন - 1}) \to φ^{'} ({এক্স}_{0}, ..., {এক্স}_{এন - 1}, {এন}_{0}, ..., {এন}_{এন - 1})

$T^n_t(x_0,\dots,x_{n-1})\to\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

t \leq n

$t\le n$

{এন}_{আমি} = {টি}_{টি}^{এন - 1} ({এক্স}_{0}, ..., {এক্স}_{আমি - 1}, {এক্স}_{আমি + + 1}, ..., {এক্স}_{এন - 1}) ।

$N_i=T^{n-1}_t(x_0,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n-1}).$

বাম-থেকে-ডান সংশ্লেষ জন্য, দিন একটি কাজ পরিতৃপ্ত হতে , অর্থাত্, অন্তত সঙ্গে বেশী। বিদ্যমান ঠিক সঙ্গে বেশী। তারপরে , এভাবে বোঝায় । যেহেতু এটি একঘেয়ে ফর্মুলা, তাই আমাদের কাছে । ডান থেকে বাম নিদর্শন একই। $e$ $T^n_t$ $t$ $e'\le e$ $t$ $e'\models N_i\leftrightarrow\neg x_i$ $e'\models\phi$ $e'\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$ $e\models\phi'(x_0,\dots,x_{n-1},N_0,\dots,N_{n-1})$

এখন, আসল সমস্যাটিতে ফিরে আসি। আমি নিম্নলিখিতগুলি দেখাব: যদি সমস্যাটি সময়ে সমাধানযোগ্য হয় তবে যে কোনও , -ডিএনএফ-ট্যুট (বা দ্বৈতভাবে, -স্যাট) এর মধ্যে সমাধানযোগ্য সময় । এটি ধরে বোঝায় । $2^{\delta n}\mathrm{poly}(l)$ $k$ $k$ $k$ $2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}\mathrm{poly}(l)$ $\delta\ge1$

সুতরাং, অনুমান আমরা দেওয়া হয় -DNF যেখানে প্রতিটি । আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আকারের split আকারে বিভক্ত করি। উপরের মতো একই যুক্তি অনুসারে, হ'ল একটি টাউটোলজি যদি এবং কেবল তখনই জড়িত থাকে প্রতিটি জন্য বৈধ -tuple , যেখানে যে কোনও $k$

ϕ = \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} \neg x_{j}),

$\phi=\bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}\neg x_j\Bigr),$

| A_{i} | + | B_{i} | \leq k

$|A_i|+|B_i|\le k$

i

$i$

n

$n$

n^{'} = n / b

$n'=n/b$

b \approx \sqrt{k^{- 1} n \log n}

$b\approx\sqrt{k^{-1}n\log n}$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (*) & \underset{u < n^{'}}{⋀} T_{t_{u}}^{b} (x_{b u}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) \to \underset{i < l}{⋁} (\underset{j \in A_{i}}{⋀} x_{j} \land \underset{j \in B_{i}}{⋀} N_{j}) \end{matrix}

$\tag{$*$}\bigwedge_{u<n'}T^b_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{b(u+1)-1})\to \bigvee_{i<l}\Bigl(\bigwedge_{j\in A_i}x_j\land\bigwedge_{j\in B_i}N_j\Bigr)$

n^{'}

$n'$

t_{0}, \dots, t_{n^{'} - 1} \in [0, b]

$t_0,\dots,t_{n'-1}\in[0,b]$

j = b u + j^{'}

$j=bu+j'$ , , আমরা আমরা size সাইজের মোনোটোন সিএনএফ হিসাবে লিখতে পারি , অতএব এর এলএইচএস হ'ল আকারের মোনোটোন সিএনএফ । ডানদিকে, আমরা মাপের ডিএনএফ হিসাবে লিখতে । সুতরাং, বিতরণ ব্যবহার করে, আরএইচএসের প্রতিটি বিযুক্তিকে আকার b এর মনোোটোন ডিএনএফ হিসাবে লেখা যেতে পারে , এবং পুরো আরএইচএস আকারের ডিএনএফ । এটা অনুসরণ করে যে আকারের আমাদের সমস্যার একটি দৃষ্টান্ত হল মধ্যে

0 \leq j^{'} < b

$0\le j'<b$

N_{j} = T_{t_{u}}^{b - 1} (x_{b u}, \dots, x_{b u + j^{'} - 1}, x_{b u + j^{'} + 1}, \dots, x_{b (u + 1) - 1}) .

$N_j=T^{b-1}_{t_u}(x_{bu},\dots,x_{bu+j'-1},x_{bu+j'+1},\dots,x_{b(u+1)-1}).$

T_{t}^{b}

$T^b_{t}$

O (2^{b})

$O(2^b)$

(*)

$(*)$

O (n 2^{b})

$O(n2^b)$

N_{j}

$N_j$

O (2^{b})

$O(2^b)$

O (2^{k b})

$O(2^{kb})$

O (l 2^{k b})

$O(l2^{kb})$

(*)

$(*)$

O (l 2^{O (k b)})

$O(l2^{O(kb)})$

n

$n$ ভেরিয়েবল। অনুমান দ্বারা, আমরা সময় এর বৈধতা পরীক্ষা করতে পারি । আমরা সব জন্য এই চেক পুনরাবৃত্তি এর পছন্দ , এইভাবে মোট সময় দাবি করা হয়েছে

O (2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)})

$O(2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)})$

b^{n^{'}}

$b^{n'}$

\vec{t}

$\vec t$

O ((b + 1)^{n / b} 2^{δ n + O (k b)} l^{O (1)}) = O (2^{δ n + O (\sqrt{k n \log n})} l^{O (1)})

$O\bigl((b+1)^{n/b}2^{\delta n+O(kb)}l^{O(1)}\bigr)=O\bigl(2^{\delta n+O(\sqrt{kn\log n})}l^{O(1)}\bigr)$

আমরা সমস্যার সীমাবদ্ধ-প্রস্থ সংস্করণ বিবেচনা করে (এস) ইটিএইচের সাথে আরও কঠোর সংযোগ পাই: যে কোনও , মনিম আইপি যেখানে the একটি সিএনএফ, এবং সেই সমস্যার সীমাবদ্ধতা বোঝায় let একটি হল -DNF। (এস) স্থির করে concerns তেমনি, আসুন আমরা স্পষ্টতই, $k\ge3$ $k$ $\Phi$ $k$ $\Psi$ $k$

\begin{aligned} s_{k} & = inf {δ : k - S A T \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty} & = sup {s_{k} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{SAT}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s_\infty&=\sup\{s_k:k\ge3\}. \end{align*}$

\begin{aligned} s_{k}^{'} & = inf {δ : k - M o n I m p \in D T I M E (2^{δ n})}, \\ s_{\infty}^{'} & = sup {s_{k}^{'} : k \geq 3} . \end{aligned}

$\begin{align*} s'_k&=\inf\{\delta:k\text-\mathrm{MonImp}\in\mathrm{DTIME}(2^{\delta n})\},\\ s'_\infty&=\sup\{s'_k:k\ge3\}. \end{align*}$

s_{3}^{'} \leq s_{4}^{'} \leq \dots \leq s_{\infty}^{'} \leq 1

$s'_3\le s'_4\le\dots\le s'_\infty\le1$ যেমন স্যাট ক্ষেত্রে। আমাদের রয়েছে এবং প্রশ্নের দ্বিগুণ পরিবর্তনশীল হ্রাস দেখায় এখন, আমরা যদি ধ্রুবক ব্লক-আকার দিয়ে উপরের করি, আমরা সুতরাং বিশেষত, SETH সমতুল্য এবং ETH সমস্ত জন্য সমতুল্য ।

s_{k}^{'} \leq s_{k},

$s'_k\le s_k,$

s_{k} \leq 2 s_{k}^{'} .

$s_k\le2s'_k.$

b

$b$

s_{k} \leq s_{b k}^{'} + \frac{\log (b + 1)}{b},

$s_k\le s'_{bk}+\frac{\log(b+1)}b,$

s_{\infty} = s_{\infty}^{'} .

$s_\infty=s'_\infty.$

s_{\infty}^{'} = 1

$s'_\infty=1$

s_{k}^{'} > 0

$s'_k>0$

k \geq 3

$k\ge3$

— এমিল জেবেক মনিকাকে সমর্থন করেন
সূত্র

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমি আগ্রহী যে এই নির্মাণে এবং ধ্রুবক-গভীরতা তৈরি করা সম্ভব কিনা ? যথা, আমি সচেতন নই যে সুব্যাক্সফেনশিয়াল-আকারের ধ্রুবক-গভীরতা মনোোটোন বুলিয়ান সূত্রগুলি (বা এমনকি নন- সার্কিট) (বিশেষত জন্য) জন্য পরিচিত ? অবশ্যই একটি depth depth গভীরতার জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ - , তবে, বলুন, আকার ঠিক হবে।

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

2^{n^{Ω (1 / d)}}

$2^{n^{\Omega(1/d)}}$

d

$d$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— সাশা কোজাচিনস্কি

T_{k}^{n}

$T^n_k$ এবং বহুপদী আকার সূত্র দ্বারা সাধারণ কিছু গণনীয় (অর্থাত, এনসি ^ 1), depth- রয়েছে আকারের সার্কিট। উদাহরণস্বরূপ cstheory.stackexchange.com/q/14700 দেখুন । আপনি তাদের একঘেয়ে করে তুলতে পারেন কিনা তা ভাবতে হবে তবে এটি প্রশংসনীয় মনে হচ্ছে।

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}}

$2^{n^{O(1/d)}}$

— এমিল জ্যাব্যাক

ঠিক আছে. প্রথমত, জেনেরিক নির্মাণ মনোোটোন সেটিংয়ে সূক্ষ্মভাবে কাজ করে: যদি কোনও ফাংশনে পলি-সাইজের মনোোটোন সূত্র থাকে তবে এর গভীরতা মোনোটোন সার্কিট কোনও । দ্বিতীয়ত, জন্য বিশেষভাবে, এটি সহজ কনস্ট্রাক্ট একঘেয়েমি হয় depth- আকারের সার্কিট বিভাজন দ্বারা আকারের ব্লক মধ্যে ইনপুট ।

d

$d$

2^{n^{O (1 / d)}} p o l y (n)

$2^{n^{O(1/d)}}\mathrm{poly}(n)$

d \geq 2

$d\ge2$

T_{k}^{n}

$T^n_k$

3

$3$

2^{O (\sqrt{n \log n})}

$2^{O(\sqrt{n\log n})}$

Θ (\sqrt{n \log n})

$\Theta(\sqrt{n\log n})$

— এমিল জেবেক

প্রকৃতপক্ষে, এই ধারণাটিকে আরও কিছুটা চাপ দিলে এটি আসল প্রশ্নের উত্তর দেয়: SETH ধরে নিলে, নীচের দিকে ইতিমধ্যে hi মনোোটোন সিএনএফ এবং মনোোটোন ডিএনএফ রয়েছে। আমি পরে এটি লিখতে হবে।

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

— এমিল জ্যাবেক

আমি অনুমান করব যে আপনি সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি প্রায় block into এ ভাগ করতে পারেন এবং তারপরে প্রতি জন্য । আপনি প্রতিটি থ্রেশহোল্ড ফাংশনের জন্য q সাইজ সিএনএফ ব্যবহার করতে পারেন । তবে ডানদিকে আপনার কাছে ডিএনএফ নয় বরং গভীরতা -৩ সূত্র থাকবে ...

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

x^{1}, \dots x^{\sqrt{n}}

$x^1, \ldots x^{\sqrt{n}}$

T_{k_{1}}^{\sqrt{n}} (x^{1}) \land \dots \land T_{k_{\sqrt{n}}}^{\sqrt{n}} (x^{\sqrt{n}}) \to ϕ^{'}

$T^{\sqrt{n}}_{k_1}(x^1)\land \ldots \land T^{\sqrt{n}}_{k_\sqrt{n}}(x^{\sqrt{n}}) \to \phi^\prime$

k_{1} + \dots + k_{\sqrt{n}} \leq n

$k_1 + \ldots + k_{\sqrt{n}} \le n$

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— সাশা কোজাচিনস্কি