একঘেয়ে সিএনএফ একটি মনোোটোন ডিএনএফ প্রয়োগ করে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যা


14

নিম্নলিখিত সিদ্ধান্ত সমস্যা বিবেচনা করুন

ইনপুট : একটি মনোোটোন সিএনএফ এবং একটি একরঙা ডিএনএফ ।ΦΨ

প্রশ্ন : ট পিএসি কি টোটোলজি?ΦΨ

অবশ্যই আপনি এই সমস্যাটি সমাধান করতে পারেন , যেখানে \ Phi \ থেকে \ PSi এর মধ্যে ভেরিয়েবলের সংখ্যা এবং l ইনপুটটির দৈর্ঘ্য। অন্যদিকে, এই সমস্যাটি কোএনপি-সম্পূর্ণ। তদুপরি, একটি হ্রাস যা কোএনপি-সম্পূর্ণতা প্রতিষ্ঠা করে তাও দেখায় যে, SETH ব্যর্থ না হলে এই সমস্যার জন্য কোনও ও (2 ^ {(1/2 - are ওয়ার্পসিলন) এন \ th ম্যাথার্ম {পলি} (l)) -কালীন অ্যালগরিদম নেই (এটি কোনও ধনাত্মক - ওয়ার্পসিলন ধারণ করে )। এই হ্রাস এখানে। যাক একজন একটি (অ-একঘেয়েমি) CNF হতে হবে এবং দিন এক্স তার পরিবর্তনশীল হও। X এর প্রতিটি ধনাত্মক ঘটনাটি y দ্বারা প্রতিস্থাপন করুনহে(2এনপিY())এনΦΨহে(2(1/2-ε)এনপিY())εএকজনএক্সএক্সYএবং প্রতিটি নেতিবাচক occurence এক্স দ্বারা z- র । প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য একই কাজ। ফলস্বরূপ একঘেয়ে দেওয়া সিএনএফকে \ ফি হতে দিন Φ। এটি দেখতে যে সহজ একজন Satisfiable iff হয় ΦYz- র... হয় একটি অনুলাপ না। এই হ্রাস 2 এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা ভেরিয়েবলের সংখ্যা আপকে উড়িয়ে দেয়, যা উপরে উল্লিখিত 2এন/2 lower {n / 2} (এসইটিএইচ-ভিত্তিক) নিম্ন সীমাটি বোঝায় ।

সুতরাং 2এন/2 এবং 2 ^ n-সময়ের মধ্যে একটি ফাঁক রয়েছে 2এন। আমার প্রশ্ন হ'ল SETH থেকে আরও ভাল অ্যালগরিদম বা আরও ভাল হ্রাস জানা যায় কিনা?

সমস্যার সাথে আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কিত দুটি মন্তব্য:

  • মনোটোন ডিএনএফ একটি মনোোটোন সিএনএফ বোঝায় কিনা তার বিপরীত সমস্যা বহুবর্ষের সময়ে তুচ্ছভাবে সমাধানযোগ্য।

  • আকর্ষণীয়ভাবে, ফ্রেডম্যান এবং খাচিয়ানের কারণে Mon এবং গণনা একই ফাংশনটি একই ফাংশনটি দ্বি-বহুবচনীয় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমস্যাটি (মনোোটোন ডিসজেঞ্জিটিভ নর্মাল ফর্মগুলির দ্বৈতকরণের জটিলতায়, জার্নাল অফ অ্যালগরিদম 21 (1996), না । 3, pp। 618–628, doi: 10.1006 / jagm.1996.0062 )ΨΦΨ

উত্তর:


6

শেঠ ধরে নেওয়া যাক, সমস্যা সময় সমাধেয় নয় কোনো । ε > 0হে(2(1-ε)এনপিY())ε>0


প্রথমে আমাকে দেখাতে দাও যে এটি আরও সাধারণ সমস্যার জন্য সত্য যেখানে এবং নির্বিচারে একঘেয়ে সূত্র হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, TAUT থেকে ভেরিয়েবলের সংখ্যা সংরক্ষণ করে এমন সমস্যা থেকে বহু-সময়ের সিটিটি হ্রাস রয়েছে। যাক বোঝাতে থ্রেশহোল্ড ফাংশন বাছাই নেটওয়ার্কটি ব্যবহার করে, বহু-আকারের একঘেয়ে সূত্রের দ্বারা লেখা যেতে পারে, যা সময় মতো ।Ψ টি এন টি ( এক্স 0 , ... , x এর এন - 1 ) টি এন টি ( এক্স 0 , ... , x এন - 1 ) = 1ΦΨটিটিএন(এক্স0,...,এক্সএন-1)টি এন টি পিএলওয়াই(এন)

টিটিএন(এক্স0,...,এক্সএন-1)=1|{আমি<এন:এক্সআমি=1}|টি
Ttnpoly(n)

বুলিয়ান সূত্র , আমরা দে মরগান বিধিগুলি এটি লিখতে ব্যবহার করতে পারি যেখানে একরঙা। তারপরে হ'ল যদি হয় এবং কেবল যদি জড়িত থাকে প্রতিটি জন্য বৈধ , যেখানে ϕ ( এক্স 0 , , এক্স এন - 1 , ¬ এক্স 0 , , ¬ এক্স এন - 1 ) , ϕ ϕ ( এক্স 0 , , এক্স এন - 1 ) টি এন টি ( x 0 , ,ϕ(x0,,xn1)

φ'(এক্স0,...,এক্সএন-1,¬এক্স0,...,¬এক্সএন-1),
φ'φ(এক্স0,...,এক্সএন-1)t n N i = T n - 1 t ( x 0 , , x i - 1 , x আমি + 1 , , এক্স এন -
টিটিএন(এক্স0,...,এক্সএন-1)φ'(এক্স0,...,এক্সএন-1,এন0,...,এনএন-1)
টিএন
এনআমি=টিটিএন-1(এক্স0,...,এক্সআমি-1,এক্সআমি+ +1,...,এক্সএন-1)

বাম-থেকে-ডান সংশ্লেষ জন্য, দিন একটি কাজ পরিতৃপ্ত হতে , অর্থাত্, অন্তত সঙ্গে বেশী। বিদ্যমান ঠিক সঙ্গে বেশী। তারপরে , এভাবে বোঝায় । যেহেতু এটি একঘেয়ে ফর্মুলা, তাই আমাদের কাছে । ডান থেকে বাম নিদর্শন একই।টি এন টি টি টি এন আই¬ এক্স আই ϕ ϕ ( এক্স 0 , , এক্স এন - 1 , এন 0 , , এন এন - 1 ) ϕ ( x 0 , , এক্স এন)টিটিএনটি'টি'এনআমি¬এক্সআমি'φ'φ'(এক্স0,...,এক্সএন-1,এন0,...,এনএন-1)φ'(এক্স0,...,এক্সএন-1,এন0,...,এনএন-1)


এখন, আসল সমস্যাটিতে ফিরে আসি। আমি নিম্নলিখিতগুলি দেখাব: যদি সমস্যাটি সময়ে সমাধানযোগ্য হয় তবে যে কোনও , -ডিএনএফ-ট্যুট (বা দ্বৈতভাবে, -স্যাট) এর মধ্যে সমাধানযোগ্য সময় । এটি ধরে বোঝায় ।k k k 2 δ n + O ( 2δএনপিY()δ12δএন+ +হে(এনলগএন)পিY()δ1

সুতরাং, অনুমান আমরা দেওয়া হয় -DNF যেখানে প্রতিটি । আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আকারের split আকারে বিভক্ত করি। উপরের মতো একই যুক্তি অনুসারে, হ'ল একটি টাউটোলজি যদি এবং কেবল তখনই জড়িত থাকে প্রতিটি জন্য বৈধ -tuple , যেখানে যে কোনওϕ = আই < এল ( জে আই x জেজে বি আই ¬ এক্স ) , | i | + | i | k i n n = n / b √ √

ϕ=i<l(jAixjjBi¬xj),
|Ai|+|Bi|kinn=n/b φতোমার দর্শন লগ করা < এন ' টি টি ইউ ( এক্স তোমার দর্শন লগ করা , ... , x এর ( U + + 1 ) - 1 ) আমি < ( একজন আমি এক্স বি আই এন ) এন'টন0,...bk1nlognϕ
()u<nTtub(xbu,,xb(u+1)1)i<l(jAixjjBiNj)
nt0,,tn1[0,b]j=bu+j, , আমরা আমরা size সাইজের মোনোটোন সিএনএফ হিসাবে লিখতে পারি , অতএব এর এলএইচএস হ'ল আকারের মোনোটোন সিএনএফ । ডানদিকে, আমরা মাপের ডিএনএফ হিসাবে লিখতে । সুতরাং, বিতরণ ব্যবহার করে, আরএইচএসের প্রতিটি বিযুক্তিকে আকার b এর মনোোটোন ডিএনএফ হিসাবে লেখা যেতে পারে , এবং পুরো আরএইচএস আকারের ডিএনএফ । এটা অনুসরণ করে যে আকারের আমাদের সমস্যার একটি দৃষ্টান্ত হল মধ্যে0j<b
Nj=Ttub1(xbu,,xbu+j1,xbu+j+1,,xb(u+1)1).
TtbO(2b)()O(n2b)NjO(2b)O(2kb)O(l2kb)()O(l2O(kb))nভেরিয়েবল। অনুমান দ্বারা, আমরা সময় এর বৈধতা পরীক্ষা করতে পারি । আমরা সব জন্য এই চেক পুনরাবৃত্তি এর পছন্দ , এইভাবে মোট সময় দাবি করা হয়েছেO(2δn+O(kb)lO(1))bnt
O((b+1)n/b2δn+O(kb)lO(1))=O(2δn+O(knlogn)lO(1))

আমরা সমস্যার সীমাবদ্ধ-প্রস্থ সংস্করণ বিবেচনা করে (এস) ইটিএইচের সাথে আরও কঠোর সংযোগ পাই: যে কোনও , মনিম আইপি যেখানে the একটি সিএনএফ, এবং সেই সমস্যার সীমাবদ্ধতা বোঝায় let একটি হল -DNF। (এস) স্থির করে concerns তেমনি, আসুন আমরা স্পষ্টতই, k3kΦkΨk

sk=inf{δ:k-SATDTIME(2δn)},s=sup{sk:k3}.
sk=inf{δ:k-MonImpDTIME(2δn)},s=sup{sk:k3}.
s3s4s1
যেমন স্যাট ক্ষেত্রে। আমাদের রয়েছে এবং প্রশ্নের দ্বিগুণ পরিবর্তনশীল হ্রাস দেখায় এখন, আমরা যদি ধ্রুবক ব্লক-আকার দিয়ে উপরের করি, আমরা সুতরাং বিশেষত, SETH সমতুল্য এবং ETH সমস্ত জন্য সমতুল্য ।
sksk,
sk2sk.
b
sksbk+log(b+1)b,
s=s.
s=1sk>0k3

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমি আগ্রহী যে এই নির্মাণে এবং ধ্রুবক-গভীরতা তৈরি করা সম্ভব কিনা ? যথা, আমি সচেতন নই যে সুব্যাক্সফেনশিয়াল-আকারের ধ্রুবক-গভীরতা মনোোটোন বুলিয়ান সূত্রগুলি (বা এমনকি নন- সার্কিট) (বিশেষত জন্য) জন্য পরিচিত ? অবশ্যই একটি depth depth গভীরতার জন্য নিম্ন সীমাবদ্ধ - , তবে, বলুন, আকার ঠিক হবে। ΦΨটিএন2এনΩ(1/)2এন
সাশা কোজাচিনস্কি

Tkn এবং বহুপদী আকার সূত্র দ্বারা সাধারণ কিছু গণনীয় (অর্থাত, এনসি ^ 1), depth- রয়েছে আকারের সার্কিট। উদাহরণস্বরূপ cstheory.stackexchange.com/q/14700 দেখুন । আপনি তাদের একঘেয়ে করে তুলতে পারেন কিনা তা ভাবতে হবে তবে এটি প্রশংসনীয় মনে হচ্ছে। d2nO(1/d)
এমিল জ্যাব্যাক

ঠিক আছে. প্রথমত, জেনেরিক নির্মাণ মনোোটোন সেটিংয়ে সূক্ষ্মভাবে কাজ করে: যদি কোনও ফাংশনে পলি-সাইজের মনোোটোন সূত্র থাকে তবে এর গভীরতা মোনোটোন সার্কিট কোনও । দ্বিতীয়ত, জন্য বিশেষভাবে, এটি সহজ কনস্ট্রাক্ট একঘেয়েমি হয় depth- আকারের সার্কিট বিভাজন দ্বারা আকারের ব্লক মধ্যে ইনপুট । d2nO(1/d)poly(n)d2Tkn32O(nlogn)Θ(nlogn)
এমিল জেবেক

প্রকৃতপক্ষে, এই ধারণাটিকে আরও কিছুটা চাপ দিলে এটি আসল প্রশ্নের উত্তর দেয়: SETH ধরে নিলে, নীচের দিকে ইতিমধ্যে hi মনোোটোন সিএনএফ এবং মনোোটোন ডিএনএফ রয়েছে। আমি পরে এটি লিখতে হবে। ΦΨ
এমিল জ্যাবেক

আমি অনুমান করব যে আপনি সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি প্রায় block into এ ভাগ করতে পারেন এবং তারপরে প্রতি জন্য । আপনি প্রতিটি থ্রেশহোল্ড ফাংশনের জন্য q সাইজ সিএনএফ ব্যবহার করতে পারেন । তবে ডানদিকে আপনার কাছে ডিএনএফ নয় বরং গভীরতা -৩ সূত্র থাকবে ...এনএক্স1,...এক্সএনটি1এন(এক্স1)...টিএনএন(এক্সএন)φ'1+ +...+ +এনএন2এন
সাশা কোজাচিনস্কি
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.