এই গেমটির জটিলতা কী?

Question

এটি আমার আগের প্রশ্নের একটি সাধারণীকরণ ।

যাক একটি বহুপদী সময় নির্ণায়ক মেশিন যে কিছু ওরাকল থেকে প্রশ্ন করতে পারেন হতে । প্রাথমিকভাবে খালি তবে নীচে বর্ণিত একটি গেমের পরে এটি পরিবর্তন করা যেতে পারে। কিছু স্ট্রিং হতে দিন ।$M$$A$$A$$x$

নিম্নলিখিত অ্যালিস এবং বব গেমটি বিবেচনা করুন। প্রাথমিকভাবে, অ্যালিস এবং ববের যথাক্রমে এবং ডলার রয়েছে। অ্যালিস চায় এবং বব ।$m_A$$m_B$$M^A(x)=1$$M^A(x)=0$

খেলা একটি প্লেয়ার কিছু স্ট্রিং যোগ করতে পারেন ধাপে ধাপে এ করার একটি ; এটির জন্য f ( y ) ডলার ব্যয় হয় যেখানে f : { 0 , 1 } ∗ → N একটি বহু-কালীন গণনাযোগ্য ফাংশন। এছাড়াও কোনও খেলোয়াড় তার পদক্ষেপ মিস করতে পারে।$y$$A$$f(y)$$f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$

উভয় খেলোয়াড় যদি সমস্ত অর্থ ব্যয় করে বা যদি কোনও খেলোয়াড় তার হারানো অবস্থায় ( $M^A(x)$ এর বর্তমান মান দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় ) পদক্ষেপ না হারিয়ে থাকে তবে খেলাটি শেষ হয় ।

প্রশ্ন: প্রদত্ত $M, f, x, m_A, m_B$ হ'ল এই গেমের বিজয়ীর সংজ্ঞা দেওয়ার সমস্যাটি কি?

এক্সপাসে - অসম্পূর্ণ কাজ?

লক্ষ্য করুন $M$ (একাত্মতার জন্য অনুরোধ করতে পারেন $A$ বহুপদী দৈর্ঘ্য মাত্র স্ট্রিং) তাই কোন মানে এলিস বা বব আরো আর স্ট্রিং যোগ করার জন্য । সুতরাং, এই সমস্যাটি এক্সপাসে রয়েছে । $A$

আমার পূর্ববর্তী প্রশ্নের যে স্ট্রিং এর যোগ এক ডলার খরচ (অর্থাত )। তারপর (যেমন এটি দ্বারা দেখানো হয়েছিল ল্যান্স Fortnow ) এই গেমটি জন্যে EXPH এবং এমনকি PSPACE যদি । $A$$f \equiv 1$মিটার একটি = মি বি$m_A = m_B$

Comments

আপনি কেন সমস্যাটিতে এই পরিবর্তন করেছেন তা ব্যাখ্যা করতে পারেন? অ্যালিস বহুদিনের সময়ে সমস্ত স্ট্রিংয়ের জন্য (আপনার অন্যান্য সমস্যার জন্য ল্যান্সের উত্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত) প্রতিদান দিতে সক্ষম কিনা তা পরীক্ষা করে দেখতে পারেন । এটি কীভাবে তাত্ক্ষণিকভাবে সমস্যার সমাধান করবে না? $S$

— স্টেলা বিডারম্যান

@ স্টেলাবিদারম্যান অ্যালিস প্রকৃতপক্ষে বহুবারের মধ্যে এটি পরীক্ষা করতে পারেন। তবে, যদি তার পর্যাপ্ত অর্থ না থাকে তবে এখন তার অর্থ এই নয় যে তিনি কেবল বহুপদী পদক্ষেপ নিতে পারবেন (যেমনটি আগের খেলায় ছিল)।

— আলেক্সি মিলোভানভ

যদি তিনি সামর্থ্য না রাখেন তবে তিনি কি কখনও প্রতিপক্ষকে পরাজিত করতে পারেন যিনি সর্বদা তাদের পালা এড়িয়ে যান? গেম সেট আপ সম্পর্কে কিছু আছে যা আমি বুঝতে পারি না। $S$

— স্টেলা বিডারম্যান

@ স্টেলা হ্যাঁ, কারণ তাদের অন্যান্য গ্রহণযোগ্য পথ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যদি , তবে এম থামে এবং গ্রহণ করে। এই ক্ষেত্রে, এস = { x এর 1 } । তবে যদি x 1 ∉ A হয় , তবে এম x 2 কে কোয়েরি করতে পারে এবং x 2 ∈ A হলে মেনে নিতে পারে । এই ক্ষেত্রে অ্যালিসের এক্স 2-এর জন্য পর্যাপ্ত স্পন্ডুলিক্স থাকলে এটি যথেষ্ট । $x_1\in A$$M$$S=\{x_1\}$$x_1\notin A$$M$$x_2$$x_2\in A$$x_2$

— ডমোটরপ

Answer 1

এটি এক্সপাসে-সম্পূর্ণ হওয়া উচিত। আমি এটিকে কোনও এক্সপাসেসি-সম্পূর্ণ সমস্যা হ্রাস না করে কীভাবে ঘাঁটিঘাঁটি করে কীভাবে সংখ্যক বিকল্প অর্জন করতে হবে তার স্কেচ করব, তবে এখান থেকে এটি শেষ করা সহজ হওয়া উচিত।

ওরাকলের শব্দগুলিকে A টি দ্বারা $t$ রাউন্ডের পরে চিহ্নিত করুন , সুতরাং প্রাথমিকভাবে A 0 = ∅ । M A t দ্বারা Q t দ্বারা অনুসন্ধান করা শব্দগুলি বোঝান । মূল পর্যবেক্ষণটি হ'ল যে যে এ টি দিয়ে হারাচ্ছে , তাকে কিউ টি থেকে এ-তে কিছু যুক্ত করার জন্য ধারণা করা যেতে পারে । এর কারণ এই গেমটিতে প্রতিটি পদক্ষেপের জন্য অর্থ ব্যয় হয়, আমরা যতটা সম্ভব সামান্য চলতে চাই; আমরা জিত না হওয়া পর্যন্ত কোনও পদক্ষেপ নেওয়ার কোনও মানে নেই। তবে এর দ্বারা এটি সূচিত হয় যে আমরা যদি হেরে যাই, তবে Q টির বাইরে থেকে কিছু যুক্ত করার অর্থ নেই ।$A_t$$A_0=\emptyset$$M^{A_t}$$Q_t$$A_t$$Q_t$$A$$Q_t$

সরলীকরণের জন্য অনুমান $M$ ঠিক জন্য রান $2n$ পদক্ষেপ এবং পদক্ষেপ এ $2i$ এবং $2i+1$ এটা ঠিক দৈর্ঘ্যের একটি শব্দ অনুসন্ধান করে $i$ । খরচ ফাংশন $f$ কেবল হতে হবে $2^{-i}$ দৈর্ঘ্যের শব্দের উপর $i$ । খেলা যেমন যে এলিস সবসময় বিজোড় দৈর্ঘ্য শব্দ যোগ করার প্রয়োজন এবং বব সবসময় এমনকি দৈর্ঘ্য শব্দ যোগ করার প্রয়োজন হবে $A$ । ধরুন যে $n$ বিজোড় এবং প্রাথমিকভাবে অ্যালিস হারাচ্ছে।

$m_A$ এবং $m_B$ বাজেট সেট করা হবে যাতে তিনি এম এ 0 যুক্ত করে যে A এর সাথে যুক্ত হবে তার দৈর্ঘ্যের $n$ শব্দগুলির মধ্যে একটি চয়ন করতে পারেন । গেমটি এমন হবে যা এটি তাকে বিজয়ী করে তোলে, তাই ববকে চলাফেরা করতে হবে। আবার বাজেটের সীমাবদ্ধতার কারণে, তাকে A এ যুক্ত করতে এম এ 1 দ্বারা অনুসন্ধান করা দৈর্ঘ্যের n - 1 টি শব্দের একদম পছন্দ করতে হবে । এর মধ্যে যে কোনও যোগ করার পরে, এম এ 2 দুটি নতুন দৈর্ঘ্যের এন শব্দগুলি (একই শব্দগুলি, বব যা শব্দ যুক্ত করেছে তা নির্বিশেষে জিজ্ঞাসা করবে)$M^{A_0}$$A$$n-1$$M^{A_1}$$A$$M^{A_2}$$n$$A$ ), এবং বব জিতবে। এলিস এই নতুন দৈর্ঘ্য ঠিক এক যোগ করার জন্য বাধ্য হবে$n$ শব্দ$A$ তার win করা।

গেমটি এই পদ্ধতিতে চলছে, যা গভীরতা $n$ এর একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছের শাখা অনুসরণ হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে , যদিও প্রতিটি শাখা নোডে খেলোয়াড়দের মধ্যে একটির (নির্ধারিত হয় যা নোডের গভীরতার সমতা অনুসারে) তৈরি করতে হবে কোনটি যুক্ত করতে হবে তার $A$ । তারা গাছের উপর দিয়ে যাওয়ার পরে, তাদের বাজেট শেষ হয়ে যাবে। গেমের যে কোনও পর্যায়ে যদি তাদের মধ্যে একটির সংক্ষিপ্ত কিছু শব্দ যুক্ত করার সিদ্ধান্ত নেয় (উদাঃ, অ্যালিসের দৈর্ঘ্যের $k<n$ শব্দটি কিউ 0 থেকে$Q_0$প্রথম পদক্ষেপে), তারপরে যদি অন্য খেলোয়াড় (আমাদের উদাহরণস্বরূপ বব) বাইনারি ট্রিতে সর্বদা দীর্ঘতম শব্দটি খেলেন তবে তার কিছুটা টাকা থাকবে এবং আমরা খেলাটি তৈরি করব যাতে সে এটি ব্যবহার করতে পারে জেতার জন্য. (দ্রষ্টব্য যে অ্যালিসের কাছেও হয়তো কিছু টাকা বাকী রয়েছে, তবে বব আরও বেশি পরিমাণে থাকতে পারে, তাই আমরা এন্ড-গেমটি ডিজাইন করেছি যে তাদের যদি কারও বেশি অর্থ থাকে, তবে সেই খেলোয়াড় জিততে পারে))

এইভাবে অ্যালিস তীব্র দৈর্ঘ্যের শব্দের বিস্ময়কর সংখ্যক জোড়া এবং ববকে বহু জোড় দৈর্ঘ্যের শব্দের বিষয়ে সিদ্ধান্ত নেয় যা প্রতিটি জোড়ের মধ্যে একটি $A$ যায় এবং তারা বিকল্পগুলি এই পদ্ধতিতে বিকল্প পদ্ধতিতে করে।

Comments

আপনার উত্তর করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি আপনাকে ই-মেইলে কিছু প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি।

— আলেক্সি মিলোভানভ