{Www | এর পরিপূরক …} প্রসঙ্গমুক্ত?

এটি সুপরিচিত যে $\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$ । কিন্তু কি সম্পূরক সম্পর্কে $\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$ ?

fl.formal-languages context-free

— domotorp
সূত্র

আমি আবিষ্কার করেছি যে এটি পি। দামেসি, এস। হরভথ, এম। ইটো, এল। কাসোনি, এম। কাতসুরা: আদিম শব্দগুলির সমন্বিত সাধারণ ভাষা। link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57163-9_15

— ডমোটরপ

উত্তর:

এখনও সিএফএল আমি বিশ্বাস করি, শাস্ত্রীয় প্রমাণের অভিযোজন নিয়ে। এখানে একটি স্কেচ আছে।

বিবেচনা করুন , যা দৈর্ঘ্যের শব্দগুলি মোড অপসারণ না করে । এর পরিপূরক । $L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$ $\{www\}$ $0$ $3$

আসুন । স্পষ্টতই, হ'ল সিএফএল, যেহেতু আপনি কোনও অবস্থানের অনুমান করতে পারেন এবং বিবেচনা করতে পারেন যে এর পরে শেষ করেছেন । আমরা দেখি যে । $L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$ $L'$ $p$ $u$ $p/2$ $L = L'$

$L \subseteq L'$ : যাক । ধরা যাক এমন একটি আছে যা । তারপর লিখতে জন্য প্রথম অক্ষর , এবং বাকি জন্য। স্বাভাবিকভাবেই, । এখন কী? প্রথম: $w = xyz \in L$ $p$ $x_p \neq y_p$ $u$ $3p/2$ $w$ $v$ $u_{2|u|/3} = x_p$ $v_{|v|/3}$

| v | / 3 = (| w | - 3 p / 2) / 3 = | w | / 3 - p / 2.

$|v|/3 = (|w| - 3p/2)/3 = |w|/3 - p/2.$

সুতরাং, , এই অবস্থান: বা, অন্য কথায়, পজ ইন । এ থেকে জানা যায় । $w$

| u | + | v | / 3 = 3 p / 2 + | w | / 3 - p / 2 = | w | / 3 + p,

$|u|+|v|/3 = 3p/2 + |w|/3 - p/2 = |w|/3 + p,$

p

$p$

y

$y$

u_{2 | u | / 3} = x_{p} \neq y_{p} = v_{| v | / 3}

$u_{2|u|/3} = x_p \neq y_p = v_{|v|/3}$

তাহলে , তারপর দিন প্রথম হতে অক্ষর , যাতে হয় ; হ'ল বাকী । তারপরে: একইভাবে, । $y_p \neq z_p$ $u$ ${3\over2}(|w|/3 + p)$ $w$ $u_{2|u|/3}$ $y_p$ $v$ $w$

| u | + | v | / 3 = 2 | w | / 3 + p

$|u| + |v|/3 = 2|w|/3 + p$

v_{| v | / 3} = z_{p}

$v_{|v|/3} = z_p$

$L' \subseteq L$ : আমরা আগের প্রক্রিয়াটি বিপরীত করি। যাক $w = uv \in L'$ । লিখুন $p = 2|u|/3$ । তারপরে: $p + | w | / 3 = 2 | u | / 3 + | u v | / 3 = | u | + | v | / 3.$ $p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$ এইভাবে $w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$ , এবং $w \in L$ (যেহেতু যদি $w$ ফর্ম হল $xxx$ , এটা রাখা আবশ্যক যে $w_p = w_{p+|w|/3}$ সকলের জন্য $p$ )।

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক
সূত্র

বাহ, অবিশ্বাস্য! আমি দাবি করি না যে আমি আপনার যুক্তির প্রতিটি বিবরণ অনুসরণ করেছি, যেমন আপনি শেষ লাইনের ('শেষ বিটের জন্য') বলতে কী বোঝায় তা আমি দেখতে পাই না বা কেন আপনি যখন মামলাটি আলাদা করেন না

, তবে আপনার সমাধানটি শেষ পর্যন্ত কাজ করে। আমি মূল কৌশলটি সংক্ষেপে

। অনুরূপ কৌশলটি কোনও

এর পরিপূরক হিসাবেও কাজ করে

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3<p/2$

3 a + 3 b = 2 a + (b - a) + 2 a + 2 b

$3a+3b=2a+(b-a)+2a+2b$

। আমি ভাবছি কিনা

প্রসঙ্গ-মুক্ত অথবা নয়।

L_{r} = {w^{r}}

$L_r=\{w^r\}$

L^{'} = {x y z : | x | = | y | = | z | \land (x \neq y)}

$L' = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y)\}$

— ডমোটরপ

@ ডমোটরপ: চিয়ার্স! ঠিক আছে, "শেষ বিট" অপ্রয়োজনীয় ছিল, ধন্যবাদ! "কেস কবে

" এর ক্ষেত্রে, আপনি কোথায় তা বোঝাতে চাইছেন তা আমি নিশ্চিত নই। আমি কি কিছু রেখে গেলাম? আপনার জন্য

, আমি এই "প্রমাণ" করছেন একই বিস্ময়ে! এখনও নিশ্চিত নয় :)

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3 < p/2$

L^{'}

$L'$

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক

ওহ, আমার খারাপ,

সবসময় ধরে!

p / 2 \leq | w | / 3

$p/2\le |w|/3$

— ডোমোটরপ

সম্ভবত এটি কোনো সমস্যা হয় না, কিন্তু

বিজোড় হতে পারে, যাতে আপনি মামলা হ্যান্ডেল করা হয়

যখন

বিজোড় হয়।

p

$p$

| u | = 3 p / 2 (?)

$|u| = 3p/2 (?)$

p

$p$

— মারজিও দে বিয়াসি 16'19

@ মারজিওডিবিবিসি: হ্যাঁ, ঠিক এই কারণেই এটি একটি স্কেচ :-)

— মাইচেল ক্যাডিলহ্যাক

আমি পিডিএ সহ এই সমস্যাটি সমাধান করার বিষয়ে ভাবছি Here আমার মতে, এটি স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার হয়ে গেছে।

$x$ $www$ $|x| \not\equiv 0$ $a$ $b$ $|w|$

আমরা একটি নতুন "ডাউন-অফ-স্ট্যাক" প্রতীক রেখে পূর্ণসংখ্যা বজায় রাখতে স্ট্যাকটি ব্যবহার করার স্বাভাবিক কৌশলটি ব্যবহার করি , পরম মান সংরক্ষণ করেস্ট্যাকের কাউন্টারগুলির সংখ্যা হিসাবে এবং পিডিএর রাজ্য দ্বারা sgn ( )। সুতরাং আমরা যথাযথ অপারেশন করে বৃদ্ধি বা হ্রাস করতে পারি । $t$ $Z$ $|t|$ $t$ $t$

লক্ষ্যটি হ'ল আপনি তুলনা করছেন এমন দুটি চিহ্নের অবস্থান অনুমান করার জন্য ব্যবহার করা এবং রেকর্ড করতে , যেখানে এই দুটি চিহ্নের মধ্যে দূরত্ব। $t := |x|-3d$ $d$

বৃদ্ধি: আমরা এই সাধা নিম্নরূপ প্রতিটি প্রতীক পর্যন্ত প্রথম অনুমিত প্রতীক দেখা জন্য মনোনীত করা হয়, এবং রেকর্ড রাজ্যের। প্রতিটি পরবর্তী ইনপুট প্রতীক স্বরূপ, যতক্ষণ না আপনি সিদ্ধান্ত নিতে আপনি দেখা করেছি , হ্রাস দ্বারা ( ইনপুট দৈর্ঘ্যের জন্য এবং দূরত্ব জন্য)। দ্বিতীয় প্রতীক অবস্থান Guess কিনা এবং রেকর্ড । পরবর্তী ইনপুট প্রতীকগুলির জন্য বাড়িয়ে দেওয়া চালিয়ে যান । স্বীকার করেন (দ্বারা নির্ধারণযোগ্য উপরের) এবং । $t$ $a$ $a$ $b$ $t$ $2$ $1$ $-3$ $b$ $a \not= b$ $t$ $t = 0$ $Z$ $a \not= b$

এটি সম্পর্কে দুর্দান্ত জিনিসটি হ'ল এটি কীভাবে স্বেচ্ছাচারী শক্তিতে প্রসারিত করা যায় তা সম্পূর্ণ পরিষ্কার হওয়া উচিত।

— জেফ্রি শালিট
সূত্র

সত্যি, খুব ঝরঝরে!

— ডোমোটরপ

আহ, আসলেই খুব সুন্দর :-)

— মাইচল ক্যাডিলহ্যাক

ক্লোজার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে যে কোনও স্থির জন্য of এর পরিপূরক সিএফ হ'ল প্রমাণ করার জন্য কেবল একটি ভিন্ন ("ব্যাকরণমুখী") দৃষ্টিভঙ্গি । $\{ w^k \}$ $k$

প্রথম নোট যে পরিপূরক হয়ে সবসময় আছে যেমন যে । আমরা তে ফোকাস করি এবং করে একটি সাধারণ সিএফ ব্যাকরণ দিয়ে শুরু করি: $\{ w^k \}$ $i$ $w_i \neq w_{i+1}$ $w_1 \neq w_2$

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

উদাহরণস্বরূপ , আমাদের কাছে , $k = 3$ $L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$ $G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

তারপরে বিপরীত হোমোর্ফিজম এবং ইউনিয়নের অধীনে ক্লোজার প্রয়োগ করুন :

প্রথম হোমোর্ফিজম: $\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

দ্বিতীয় হোমোমিজম: $\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ এখনও প্রাসঙ্গিক মুক্ত

অধীনে অবসান প্রয়োগ আবর্তনশীল বদল আনতে করার দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং সেট পেতে ফর্মের না : $L'$ $kn$ $w^k$

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$ ।

অবশেষে নিয়মিত সেট যোগ করুন স্ট্রিং যার দৈর্ঘ্য বিভাজ্য নয় অর্ডার ঠিক সম্পূরক পেতে : $k$ $\{w^k\}$

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র