একটি দক্ষতার সাথে একপেশে কোনও ভার্টেক্সের প্রতিবেশীকে দক্ষতার সাথে নমুনা দিতে পারেন?

আমি একটি polytope আছে দ্বারা সংজ্ঞায়িত । $P$ $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$

প্রশ্ন: একটি প্রান্তবিন্দু দেওয়া এর , সেখানে প্রতিবেশীদের থেকে অবিশেষে নমুনা করার জন্য একটি বহুপদী সময় আলগোরিদিম এর গ্রাফে ? (মাত্রার বহুমাত্রিক, সমীকরণের সংখ্যা এবং এর উপস্থাপনা । আমি ধরে নিতে পারি যে সমীকরণের সংখ্যাটি মাত্রায় বহুবচনীয়)) $v$ $P$ $v$ $P$ $b$

আপডেট: আমি মনে করি যে আমি এটি এনপি-হার্ড এটি দেখাতে সক্ষম হয়েছি, যুক্তিটি ব্যাখ্যা করে এমন আমার উত্তর দেখুন। (এবং -হার্ড দ্বারা , আমি বোঝাতে চাইছি যে একটি বহুপাক্ষিক সময়ের অ্যালগোরিদম প্রমাণ করবে ... সঠিক পরিভাষাটি এখানে কী তা নিশ্চিত নয়)) $NP$ $RP = NP$

আপডেট 2: হার্ডনেসটির 2 লাইন প্রমাণ রয়েছে (ডান সংযুক্তিযুক্ত বহুভুজ দেওয়া হয়েছে) এবং আমি এটিকে খচিয়ানের একটি নিবন্ধটি খুঁজে পেতে সক্ষম হয়েছি। বর্ণনা এবং লিঙ্কের জন্য উত্তর দেখুন। :-D $NP$

সমতুল্য সমস্যা :

মন্তব্যে পিটার শর উল্লেখ করেছেন যে এই প্রশ্নটি আমরা প্রদত্ত বহুপ্রান্তের শীর্ষে থেকে সমানভাবে নমুনা রাখতে পারি কিনা এই প্রশ্নের প্রশ্নের সমতুল্য। (আমার ধারণা সমানতা ভালো যায়: এক দিক, আমরা একটি polytope থেকে যেতে পারেন একটি প্রান্তবিন্দু ব্যবহার করে এ প্রান্তবিন্দু চিত্র , , এবং ছেদচিহ্ন স্যাম্পলিং এর প্রতিবেশীদের স্যাম্পলিং সমতূল্য উপর । অন্য দিক, আমরা একটি polytope থেকে যেতে পারেন একটি polytope করার চূড়া সঙ্গে একটি শঙ্কু যোগ করে এক উচ্চতর মাত্রা এর এবং বেস । তারপর প্রতিবেশীদের স্যাম্পলিং $P$ $v$ $v$ $P/v$ $P/v$ $v$ $P$ $P$ $Q$ $v$ $P$ $v$ , এর এর শীর্ষকোষ নমুনার সমতুল্য ) $Q$ $P$

প্রশ্নের এই সূচনাটি আগে জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-versices-of-a-polytope

— লরেঞ্জো নাজাত
সূত্র

আমি আপনার প্রশ্নের উত্তর জানি না, তবে আমার জ্ঞান অনুসারে, পরিষ্কারভাবে প্রদত্ত একটি পলিটোপের একটি শীর্ষবিন্দুকে সমানভাবে নমুনা দেওয়ার জন্য কোনও এনপি-কঠোরতা নেই। উদাহরণস্বরূপ, প্রায় নমুনা চক্র এনপি-হার্ড। যাইহোক, যদি এমন কিছু লিনিয়ার প্রোগ্রাম ছিল যার প্রান্তগুলি চক্রগুলিকে এনকোড করে, তবে খুব সম্ভবত আপনি চক্রটির দৈর্ঘ্যটি অনুকূলিত করতে পারেন এবং এভাবে হ্যামিলটনিয়ান-চক্রটি সমাধান করতে পারেন।

— হেনগ গুও

আরেকটি মন্তব্যটি হ'ল এমনকি যদি আপনার প্রশ্নের ইতিবাচক উত্তর থাকে তবে এটি উল্লম্বের জন্য অভিন্ন নমুনা দেয় না (0-1 পলিটোপ অনুমান হিসাবে ধরে নেওয়া)। বেশ আকর্ষণীয় ক্ষেত্রে পলিটোপের কঙ্কাল নিয়মিত নয় এবং ডিগ্রিগুলি তাত্পর্যপূর্ণভাবে পরিবর্তিত হতে পারে।

— হেনগ গুও

@ হেনগগু আবার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ, তারা খুব সহায়ক। আপনি কি এমন একটি ভাল উদাহরণ জানতে পেরেছেন যেখানে ডিগ্রিগুলি তাত্পর্যপূর্ণভাবে পরিবর্তিত হয়? (আমি সাধারণ পলিটোপগুলির ক্ষেত্রে এটি ঘটতে পারে বলে আশ্চর্য হই না; আপনার মাথার উপরের অংশের কোনও অংশ যদি জেনে থাকে তবে

— সম্মিলনমূলক উদাহরণটি পাওয়া ভাল লাগবে

দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের স্বাধীন সেট পলিটপ বিবেচনা করুন। দুটি সমান্তরাল (দুটি স্বতন্ত্র সেট) সংযুক্ত থাকে যদি তাদের প্রতিসাম্যগত পার্থক্য একটি সংযুক্ত সাবগ্রাফকে প্ররোচিত করে। এখন, একটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ নিন যার একপাশে কেবল দুটি রয়েছে, অন্য প্রান্তের প্রতিটি সাথে সংযুক্ত এবং কেবল একটিই। স্বাধীন সেট বিবেচনা করুন এবং ।

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

{v_{1}}

$\{v_1\}$

{v_{2}}

$\{v_2\}$

— হেনগ গুও

পলিটোপের একটি প্রদত্ত ভার্টেক্সের প্রতিবেশী শিখরেখাকে সমানভাবে নমুনা দেওয়া একইরকম একটি পলিটপের একটি এলোমেলো প্রান্তের নমুনা হিসাবে একই সমস্যা। শিরোনামের খুব কাছাকাছি একটি শঙ্কু কেটে ফেলুন। তারপরে একটিতে একটি নতুন পলিটোপ রয়েছে এবং আপনি যদি এই নতুন পলিটোপের একটি শীর্ষবিন্দু নমুনা করতে পারেন তবে কেউ মূল পলিটোপের প্রতিবেশী ভার্টেক্সকে নমুনা করতে পারেন। আমি অনুমান করব এটি প্রায় আনুমানিকভাবে করা বিপিপিতে রয়েছে তবে আমি প্রমাণিত কোনও কাগজ খুঁজে পাচ্ছি না।

— পিটার শর

সম্পাদনা 2: বিব্রতকরভাবে, -হার্ডনেসের দুটি লাইন প্রমাণ রয়েছে , যদি কেউ ডান পলিটপ দিয়ে শুরু করে। $NP$

প্রথমত, পৃষ্ঠা 4 নীচে এর উপর একটি গ্রাফ প্রচলন polytope প্রত্যাহার জেনারেট একটি বহুতলক সব ছেদচিহ্ন কঠিন ।

এটির শীর্ষগুলি নির্দেশিত সরল চক্রের সাথে বাইজিক চিঠিপত্রের হয়। অতএব, তারা জেভিভি প্রস্তাব 5.1 দ্বারা নমুনা বা গণনা করা শক্ত । :-D

এই কীওয়ার্ডগুলিতে সজ্জিত হয়ে, আমি খচিয়ানের ট্রান্সভার্সাল হাইপারগ্রাফস এবং ফ্যামিলি অফ পলিহেড্রাল কনসের উপপাদ্য 1 হিসাবে নমুনা ফলাফলের কঠোরতাটি সন্ধান করতে সক্ষম হয়েছি ।

সম্পাদনা করুন: আমি নীচে যুক্তিটি লিখেছিলাম এবং এটি সঠিক বলে মনে হচ্ছে। তবে, একটি আরও সহজ যুক্তি আছে, যা আমি এখানে রূপরেখা করব:

ক) সমস্ত কোণ এবং একটি উত্তল পলিহেড্রনের সমস্ত মুখের তালিকা তৈরি করার জন্য ব্যাকট্র্যাক অ্যালগরিদমগুলির বিশ্লেষণ করে (ফুকুদা এট আল।) পলিওটিপগুলিতে নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করা শক্তিশালী এনপি-হার্ড:

ইনপুট: একটি পলিটোপ এ একটি উপসেট $Ax = b , x \geq 0$ $\mathbb{R}^n$ $S \subseteq n$

আউটপুট: কোনো একটি প্রান্তবিন্দু নেই এর মধ্যে স্থানাঙ্ক প্রতিটি অশূন্য যে । $v$ $P$ $S$

খ) এটি দেওয়া, আপনি নিম্নলিখিতটি নির্মাণ করতে পারেন: এবং জন্য নতুন ভেরিয়েবল introduce প্রবর্তন করুন এবং বৈষম্য প্রবর্তন করুন । ফলে polytope ফোন করুন । এই নির্মাণের মূলটি হ'ল মাত্রা প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর উপরে একটি হাইপারকিউব চালু করা। $y_{ik}$ $i \in S$ $k = 1, \ldots, d$ $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ $P_{S,d}$ $d |supp(x) \cap S|$

গ) যে কেউ এই পলিটোপটির শীর্ষকোষগুলি পুরানো বহুভুজের শিখরের উপরের অংশের উপরের অংশটি দেখতে পারে এবং একটি শীর্ষবিন্দুর উপরের শীর্ষে সংখ্যা , যেখানে হ'ল ফাংশন যা স্থানাংকগুলিতে যেখানে একটি থাকে সেখানে একটি প্রেরণ করে। $2^{d | supp(x) \cap S|}$ $supp$

ডি) বিগন টাইপের একটি সাধারণ শৃঙ্খলে এটি অনুসরণ করে যে যথেষ্ট পরিমাণে গ্রহণ করে, of এর উল্লম্ব থেকে একটি অভিন্ন নমুনা (উচ্চ সম্ভাবনার সাথে) তাদের ছেদকের আকারকে সর্বাধিক করে তুলতে একটি নমুনা দেয় সঙ্গে । $d$ $P_{S,d}$ $S$

এর বিভিন্ন এক্সটেনশন রয়েছে বলে মনে হয়। লেখাটি শেষ হয়ে গেলে আমি একটি লিঙ্কের সাথে আপডেট করব।

(পুরানো যুক্তিটি এখানে থাকত - এটি সম্পাদনা ইতিহাসে রয়েছে I've আমি এটি সরিয়ে দিয়েছি কারণ এটি অনেক দীর্ঘ এবং প্রশ্নের সঠিক উত্তর খুঁজতে হস্তক্ষেপ করবে))

— লরেঞ্জো নাজাত
সূত্র

এটি একটি খুব আকর্ষণীয় যুক্তি! আমি অংশ 3 তে সমস্ত বিবরণ পুরোপুরি যাচাই করিনি) ( , , কী কী কাজ করে?) তবে নীতিগতভাবে, কোনও অ-বিস্তৃত কাঠামো কেবল একটি সুপার এক্সফেনশনাল ব্লুপআপ করতে পারে, যা এইভাবে গ্রহণ করে নিয়ন্ত্রণ করা যায় বহুতল বড়।

H_{1}

$H_1$

H_{0}

$H_0$

l e a v e s

$leaves$

d

$d$

— হেনগ গুও

@ হেনগুউ পড়ার জন্য ধন্যবাদ! দ্বারাআমি বলতে চাইছি উপাদানগুলির সংখ্যা এবংচক্রের স্থান (সার্কিট র‌্যাঙ্ক) এর মাত্রা এবং ডিগ্রি 1 শীর্ষের সংখ্যাটি "পাতা" করে। আমি এই সংজ্ঞাগুলি যুক্ত করব।

| H_{0} |

$|H_0|$

| H_{1} |

$|H_1|$

— লরেঞ্জো নাজত

এটি অবশ্যই কিছু ভুল আছে। যদি এমন কোনও পলিটপ থাকে যার উল্লম্বটি লাসোস এবং সাধারণ চক্র হয় তবে আমরা এই পলিটোপের উপর দিয়ে চাই কোনও লিনিয়ার ফাংশন সর্বাধিকতর করতে লিনিয়ার প্রোগ্রামিং ব্যবহার করতে পারি না? এবং এটি কি আমাদের বহুবর্ষের মধ্যে একটি বিস্তৃত লাসোকে খুঁজে পাবে না?

— পিটার শর 11

@ পিটারশোর আমি মনে করি এটি ঘটে না কারণ পলিটোপ হাইপারপ্লেনের অভ্যন্তরে প্রান্ত ভেরিয়েবলের যোগফলকে একটিতে নির্ধারণ করে lives সুতরাং সেই কার্যকরীটি বহুবিধের উপরে স্থির থাকে। প্রান্তটি সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে এমন ফাংশনটি ভেক্টরের সমর্থনের আকার, যা এই পলিটপটিতে লিনিয়ার নয়।

— লরেঞ্জো নাজত

@ পিটারশোর আমি একটি প্রমাণ যুক্ত করেছি যে 'প্রান্তের সংখ্যা' ফাংশনটি রৈখিক হতে পারে না, নীচের চিত্রটি দেখুন।

— লরেঞ্জো নাজত