পিসিপি উপপাদ্য প্রমাণ সহ প্রযুক্তিগত সমস্যা

Question

আমি থেকে প্রমাণ পড়া করছি এখানে আমি একটি প্রযুক্তিগত (এখনও গুরুত্বপূর্ণ) সমস্যা উপর পদস্খলিত। আমি জানি এটি বরং সুনির্দিষ্ট এবং প্রসঙ্গটি সমস্যাযুক্ত, তবে আমি নিজেই এটি বের করতে পারি না।

51 এবং 55 পৃষ্ঠায়, "স্ট্যান্ডার্ড" ভেরিফায়ার উপস্থাপন করার পরে, তারা বিভক্ত কার্যগুলি পরীক্ষা করার জন্য ভেরিফায়ারগুলিকে সংশোধন করতে পারে।

প্রথম ক্ষেত্রে (পি। 51) তারা চেক করুন যে $f_1,\dots,f_k$ হয় $0.01$ বহুপদী কোডে -close, এবং তারপর তারা Algebraization (+ + শূন্য-পরীক্ষকগণ) ব্যবহার একটি সমষ্টি সঙ্গে polynomials একটি পরিবার (গঠন করা - ইনপুট সূত্রের সাথে সম্পর্কিত সম্পত্তি যাচাই করে নিন) যা প্রত্যেকের $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (বহুবর্ষীয় কোড ক্লোজারের কোডগুলি $f_1,\dots,f_k$ ) এর 3 টি মান প্রদত্ত বিন্দুতে মূল্যায়ন করা যেতে পারে ।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (পি। 55) তারা চেক করুন যে $f_1,\dots,f_k$ হয় $0.01$ রৈখিক হচ্ছে -close, এবং তারপর তারা একটি ফাংশন নির্ধারণ $f$ একটি বিশেষ সমষ্টি হতে $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ যেমন যে $f$ দেওয়া প্রতিটি মান একটি সময়ে মূল্যায়ন করা যাবে $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (রৈখিক ফাংশন পায়খানা $f_1,\dots,f_k$ )।

তারপরে উভয় ক্ষেত্রেই তারা পরিবার / $\widetilde{f}$ এলোমেলো বহুবর্ষের মানগুলির উপর পরীক্ষা করে (সম-চেক বা টেনসর + হাদামারড) করে ।

আমার সমস্যা হল প্রতিটি প্রয়োজনীয় মান পুনর্গঠনের জন্য পদ্ধতি $\widetilde{f}_i$ কিছু ভুল মান প্রদান করতে পারেন অ তুচ্ছ ধ্রুবক সম্ভাব্যতা । তদুপরি, সমস্ত মানগুলি সঠিকভাবে পুনঃনির্মাণের সম্ভাবনা খুব কম, কিছু ধ্রুবক সি এর জন্য কেবল $c^k$ । এবং এটি উভয় ক্ষেত্রেই সত্য।$c$

এই খারাপ হতে পারে যাচাইকারীতে ধাপের কিছু লক্ষ্য ফাংশনের মান প্রাপ্ত করার প্রয়োজন $f$ পরিবার whp থেকে / একটি বহুপদী

সুতরাং, আমরা বারবার "পুনর্গঠন বীজগাণিতিক পদ্ধতি" কিছু ব্যবহার করে সাফল্য সম্ভাব্যতা প্রশস্ত প্রয়োজন $O(\log k)$ প্রত্যেকের জন্য বার $\widetilde{f}_i$ ।

এখন, এর অর্থ এই যে ঘা-আপ উপ-রুটিন (অপেক্ষাকৃত মূল যাচাইকারীতে ক্যোয়ারী জটিলতা পর্যন্ত) এর প্রশ্নের সাথে জটিলতা তুলনায় সামান্য বড় $k$ , IE এটা $O(k\log k)$ করার জন্য (বিপরীতে " গ্যারান্টিযুক্ত "-" উপপাদকের বিবৃতিতে "কাঙ্ক্ষিত" $O(k)$ ব্লোআপ)।

এটি কি কোনও সমস্যা বা আমি কিছু মিস করছি (যা আমি সম্ভবত আছি)?

Comments

দুঃখিত যদি এটি সুস্পষ্ট হওয়া উচিত তবে তাত্ত্বিকদের একটি ব্লোআপের জন্য জিজ্ঞাসা করার বিবৃতিটি কোথায়? কার্সারি রিডিংয়ের উপর ভিত্তি করে কে কোনও স্থির ধ্রুবক পূর্ণসংখ্যা বলে মনে হচ্ছে (তাই না?) $O(k)$$k$

— ক্লিমেন্ট সি।

@ClementC। সংক্ষেপে দেখুন 3.2 এবং 3.3 সংখ্যার পরে রচনা পুনরাবৃত্তি লেমার সাথে মিলিত (এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে এর প্রমাণ)। লক্ষ করুন যে একমাত্র যেখানে সাধারণ ফর্ম যাচাইকারীর বিভক্ত কার্যগুলি পরীক্ষা করার ক্ষমতা ব্যবহার করা হয়েছে তা কম্পোজিশনের লেমা প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে (সত্যিকার অর্থে, অন্য কোনও স্থানে এটি ভেরিফায়ার নির্মাণের সময় মোকাবেলা করার জন্য "দুর্দান্ত দায়বদ্ধতা")। এখন পর্যন্ত, প্রমাণ এ, হয় না একটি ধ্রুবক এ সব। $k$

— ডন ফানুচি

$p=Q(n)$$Q(n)=1$$\log k$

$p$

Answer 1

$O(1)$$O(poly(logn))$

$O(1)$

$O(poly(f(n)))$

$O(1)$