সুসংহত স্থানগুলিতে কখন পুলব্যাকস এবং পুশআউট থাকে?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

একটি সেট মধ্যে একটি সম্পর্ক একটি এবং প্রতিসম সম্পর্ক। স্থান হ'ল একজোড়া , এবং একটি স্থানগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক মতো যা সকলের জন্য এবং , $\symp_X$ $X$ $(X, \symp_X)$ $f : X \to Y$ $f \subseteq X \times Y$ $(x,y) \in f$ $(x',y') \in f$

যদি $x \symp_X x'$ তবে $y \symp_Y y'$ , এবং
যদি $x \symp_X x'$ এবং $y = y'$ তবে $x = x'$ ।

একত্রিত স্থানগুলির বিভাগটি কার্টেসিয়ান এবং মনোয়েডাল উভয়ই বন্ধ। আমি জানতে চাই যে কখন এই বিভাগের জন্য পুলব্যাকস বা পুশআউট উপস্থিত রয়েছে এবং যখন পুলকব্যাকস বা পুশআউটের কোনও একক অ্যানালগ উপস্থিত থাকে (এবং কীভাবে এটি সংজ্ঞায়িত করা যায়, যদি এই ধারণাটি উপলব্ধি করে তবে)।

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

কোথা থেকে এই সংজ্ঞা? গিরার্ডের একজন, লাফ্ট এবং টেলর দেখতে অন্যরকম দেখাচ্ছে।

— চার্লস স্টুয়ার্ট

দুটি সংজ্ঞা সমান। আমি কেবল ওয়েবটিকে আদিম হিসাবে নিচ্ছি, যেখান থেকে চক্রের সেট সংগ্রহ করা যায়।

— নীল কৃষ্ণস্বামী

আমি নীলের পছন্দের সংজ্ঞাটি মূলটির চেয়ে অনেক বেশি বোধগম্য বলে মনে করি।

— ডেভ ক্লার্ক

আমি সুস্পষ্ট প্রশ্নটি করব: আপনি কি জানেন যে তারা সর্বদা বিদ্যমান না? অন্য কথায়, আপনি কি কোনও ফান্টারের এমন কোনও উদাহরণের সাথে সুসংগত সম্পর্কের সাথে পরিচিত যার সীমা / কলমিট নেই?

— ওহাদ কামার

দুটি সংজ্ঞা সমান - ঠিক, তবে আপনি কি এই সংজ্ঞাটি তৈরি করেছেন, বা অন্য কারও কাছ থেকে পেয়েছেন? দুর্দান্ত প্রশ্ন, বিটিডব্লিউ, আমি অবাক হয়েছি যে সমানরূপে সর্বদা উপস্থিত রয়েছে কিনা তা কেউ মনে করে না।

— চার্লস স্টুয়ার্ট

আমি এখন দেখছি কীভাবে সংহত স্থানগুলির জন্য ইক্যুয়ালাইজারকে সংজ্ঞায়িত করা যায়, যার অর্থ পুলব্যাক সবসময় বিদ্যমান থাকে (যেহেতু পণ্যগুলি থাকে)। আমি কীভাবে এটি করতে জানি না, আসলে ....

মনে রাখবেন যে রচনাটি সাধারণত সম্পর্কিত সম্পর্কিত রচনা, তাই যদি এবং , তবে: $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(এই সংজ্ঞায় অস্তিত্ব প্রকৃতপক্ষে অনন্য অস্তিত্বকে বোঝায় । ধরুন আমাদের have রয়েছে যা এবং যেহেতু আমরা জানি যে , এর অর্থ Then তারপরে এর অর্থ হ'ল আমাদের এবং এবং , সুতরাং ফলস্বরূপ ।) $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

আমরা এখন ইকুয়ালাইজার তৈরি করি। ধরুন আমরা সঙ্গতি শূণ্যস্থান আছে এবং , এবং morphisms । এবার ইকুয়ালাইজারটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন । $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

ওয়েবের জন্য, এর টোকেন উপসেট এই অকার্যকর যার উপর পারেন এবং সঙ্গতি সাথে সম্মত হন (আপ - আমি আমার প্রথম সংস্করণে এই ভুল ছিল ), বা উভয়ই অপরিজ্ঞাত।
$E = {\begin{array}{lc} \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in g \\ a \in A & \land \\ \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in f \end{array}}$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
সম্পর্ক নির্ধারণ করুন । এই মাত্র উপর সঙ্গতি সম্পর্ক সীমাবদ্ধতা হল উপসেট থেকে । এটি এবং প্রতিসাম্যপূর্ণ হবে । $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
ইকুয়ালাইজার মানচিত্র শুধু তির্যক হয় । $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

যেহেতু আমি প্রমাণের আমার প্রথম সংস্করণটি গোলযোগ করেছি, তাই আমি সার্বজনীন সম্পত্তিটি স্পষ্টভাবে দেব ly ধরুন আমাদের এবং মরফিজম মতো অন্য কোনও অবজেক্ট রয়েছে । $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

এখন হিসাবে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন । স্পষ্টত , তবে সাম্যতা দেখানোর জন্য আমাদের কনভার্স দেখাতে হবে । $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

সুতরাং ধরে নিন । আমাদের এখন এটি দেখাতে হবে এবং । $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

প্রথমে, এবং । সুতরাং আমরা জানি যে এবং , সুতরাং । অতএব , এবং তাই is রয়েছে যা এবং । যেহেতু , আমরা জানি , এবং তাই একটা হল যেমন যে । $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

প্রতিসমভাবে, এবং অনুমান করুন । সুতরাং আমরা জানি যে এবং , সুতরাং । অতএব , এবং তাই এ-তে is রয়েছে যে এবং । যেহেতু , আমরা জানি , এবং তাই একটা হল যেমন যে । $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

আপনি কীভাবে সর্বজনীন প্রমাণ করতে পারবেন তা আমি দেখছি না । যে কোনও ফ্যাক্টর করার একমাত্র উপায় , এবং এটি হিসাবে । একথাও ঠিক যে , কিন্তু আমি দেখতে পাচ্ছি না কেন বিপরীতটি ঝুলিতে: কিছু নিতে , এবং কিছু , সঙ্গে । তারপরে আমাদের , সুতরাং এর পছন্দ থেকে আমাদের । রচনা সংজ্ঞা থেকে, কিছু যেমন এবং । আমরা অনুমান করতে পারি

e

$e$

m : X \to A

$m : X \rightarrow A$

h : X \to E

$h : X \rightarrow E$

h := {(x, a) : (x, a) \in m, a \in E}

$h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h; e \subset m

$h;e \subset m$

x m a

$xma$

b \in B

$b \in B$

a f b

$afb$

x (m; f) b

$x(m;f)b$

m

$m$

x (m; g) b

$x(m;g)b$

a^{'}

$a'$

x m a^{'}

$xma'$

a^{'} g b

$a'gb$

a \symp a^{'}

$a \symp a'$ , কিন্তু আমরা শুধু জানি এবং , তাই আমরা সত্যিই অনুমান করতে পারে না যে এবং শেষ করুন।

a f b

$afb$

a^{'} g b

$a'gb$

a = a^{'}

$a=a'$

— ওহাদ কামার

হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন - ইক্যুয়ালাইজারটি যে উপসেটটি বেছে নিয়েছে তা সমতা নয়, একাত্মতার হতে হবে। আমি এটি প্রতিফলিত করার জন্য সংজ্ঞাটি পরিবর্তন করেছি এবং ডায়াগ্রামটি স্পষ্টভাবে কমিট করার প্রমাণ দিয়েছি।

— নীল কৃষ্ণস্বামী

আহ ... তবে এখন চিত্রটি সমান করে না। প্রকৃতপক্ষে, ধরে নিন । এর পরে, দ্বারা 'র সংজ্ঞা, আমরা , অত অস্তিত্ব আছে কিছু যেমন যে । তবে আমাদের সেই , সুতরাং আমরা এটি প্রদর্শন করতে পারি না । আপনি গত রাতে যে একই সমস্যার মধ্যে পড়েছিলাম আপনিও একই সমস্যা নিয়ে চলেছেন বলে মনে হয়, আমার উপরের প্রশ্নটি। তবে আপনি যেখানে সফল হবেন সেখানেই সফল হবেন! আমার পরবর্তী পদক্ষেপ আরো সৌখিন নেওয়া ছিল বলতে ভালো কিছু , কিন্তু তারপর একটি বৈধ morphism, তাই ততক্ষণ আরো সতর্ক পছন্দ প্রয়োজন বোধ করা হয় নয়।

e

$e$

a (e; f) b

$a(e;f)b$

e

$e$

a f b

$afb$

a^{'} \symp a

$a'\symp a$

a^{'} g b

$a'gb$

a e a^{'}

$aea'$

a (e; g) b

$a(e;g)b$

e

$e$

a e a^{'} ⟺ a \symp a^{'}

$aea' \iff a\symp a'$

e

$e$

— ওহাদ কামার

আমার এখন মনে আছে আমি উত্তরটি কেন আশা করছি কারও থিসিসে ইতিমধ্যে ছিল। :) যাইহোক, আমি এটি সম্পর্কে আরও চিন্তা করব - বিপরীত চিত্রগুলি যুগলভাবে অন্তর্নিহিত হওয়ার কারণে কিছু কৌশল সম্ভব হতে পারে।

— নীল কৃষ্ণস্বামী