দুটি ম্যাট্রিক সম্পর্কে প্রশ্ন: সংবেদনশীলতার অনুমানের প্রমাণ হিসাবে হাদামারদ বনাম "যাদুকর"

Question

সংবেদনশীলতার অনুমানের সাম্প্রতিক এবং অবিশ্বাস্যরূপে চটজলদি প্রমাণটি ম্যাট্রিক্স এর স্পষ্ট * নির্মাণের উপর নির্ভর করে , পুনরাবৃত্তভাবে নীচে সংজ্ঞায়িত: এবং, , particular বিশেষত, এটি সহজেই দেখা যায় যে সমস্ত n \ geq 1 এর জন্য ।$A_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}$

$$A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$$ $n\geq 2$ $$A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}$$ $A_n^2 = n I_n$$n\geq 1$

এখন, সম্ভবত আমি এটিতে খুব বেশি পড়ছি, তবে এটি কমপক্ষে সিন্ট্যাক্টিকভাবে ম্যাট্রিকের আরেকটি বিখ্যাত পরিবার, হাডামারড ম্যাট্রিকেসের সাথে সম্পর্কিত, যা $H_n^2 \propto I_n$ এবং এর 'অনুরূপ' বর্ণালী রয়েছে:

$$H_1 = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$ এবং, $n\geq 2$ , $$H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix}$$

"তারা অস্পষ্টভাবে অনুরূপ দেখায়" ব্যতীত দুজনের মধ্যে কোনও আনুষ্ঠানিক সংযোগ, সম্ভবত কার্যকর, কি আছে?

উদাহরণস্বরূপ, hypercube স্বাক্ষরিত অন্তিক ম্যাট্রিক্স হিসেবে দেখা একটা চমৎকার ব্যাখ্যা (একটি প্রান্ত চিহ্ন রয়েছে হল উপসর্গের এর সমতা ) জন্য কোনও এনালগ রয়েছে ? (এটি সুস্পষ্ট হতে পারে?)$A_n$$\{0,1\}^n$$(x,b,x')\in\{0,1\}^n$$x$$H_n$

$^*$ ± 1 আমি আরও ভাবছি যে কোনও স্পষ্ট-নির্মান নির্মাণ, যেমন, সমানভাবে এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের পছন্দসই বর্ণালী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তবে এটি সম্ভবত অন্য প্রশ্নের জন্য অপেক্ষা করতে হবে।$\pm1$

Answer 1

মন্তব্য করার জন্য একটি পর্যবেক্ষণ খুব দীর্ঘ (এবং এটি জেসন গাইতোনডের পর্যবেক্ষণ-খুব দীর্ঘ-মন্তব্যের জন্যও খুব ভাল ফিট করে):

ওকিউ-তে ইঙ্গিত হিসাবে, এগুলি উভয়ই খুব সাধারণ ধরণের পুনরাবৃত্ত নির্মাণ দ্বারা উপলব্ধি করা যায়। যথা, আমরা (একটি ম্যাট্রিক্স) এবং তারপরে একটি একক পুনরাবৃত্ত সূত্র নির্দিষ্ট করি$B_0 \in \{(0), (\pm 1)\}$$1 \times 1$

$$B_n = \left(\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right)$$

যেখানে প্রতিটি এক (যেখানে এখানে "1" উপযুক্ত আয়তনের, যথা পরিচয় উল্লেখ করে , এবং একইভাবে "0" উপযুক্ত আকারের শূন্য ম্যাট্রিক্সকে বোঝায় এবং কে বোঝায় )। হুয়াং ম্যাট্রিক্সের জন্য, আমাদের কাছে আসলে এবং পুনরাবৃত্ত সূত্রটি হ'ল while, আর হাদামার্ড ম্যাট্রিক্সের জন্য আমাদের কাছে ও রিকার্সিভ সূত্র ।$b_{ij}$$\{0, \pm 1, \pm x\}$$2^{n-1} \times 2^{n-1}$$x$$B_{n-1}$$A_0 = (0)$$\begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & -x \end{bmatrix}$$H_0 = (1)$$\begin{bmatrix} x & x \\ x & -x \end{bmatrix}$

যদি কেউ এমন সম্পত্তি করতে চান যে proportion এর সাথে সমানুপাতিক হয় , তবে দ্রুত তা দেখতে পাবে যে , বা । পরবর্তী ক্ষেত্রে, পুনরাবৃত্তি কেবল তির্যক ম্যাট্রিক্স দেয়, যা সম্ভবত এত আকর্ষণীয় নয়। সুতরাং আকর্ষণীয় কেসগুলি (যা জেসনের উত্তরের "উদ্ভাবন" শর্তগুলির মধ্যে একটি)। এটি ম্যাট্রিকের উভয় ক্রম কেন ট্রেসলেস নয় তার একটি সাধারণ ব্যাখ্যা হিসাবে দেখা যেতে পারে।$B_n^2$$I_{2^{n}}$$b_{11} + b_{22} = 0$$b_{12} = b_{21}=0$$b_{11} = -b_{22}$

একটি সর্বশেষ ছোট মন্তব্য হিসাবে, এই ধরণের পুনরাবৃত্তি স্বয়ংক্রিয়ভাবে পাওয়া যায় যে যাত্রার ব্লক এন্ট্রিগুলি , যা জেসনের উত্তরের অন্য "উদ্ভাবন" শর্ত ছিল।$B_n$

আমি এখনও কোনও পদ্ধতিগত তদন্ত করিনি, তবে উপরের সেটআপটি , কেউ চূড়ান্তভাবে অনেক সম্ভাবনাগুলি তদন্ত করতে পারে ( জন্য তিনটি পছন্দ , এবং প্রযুক্তিগতভাবে পুনরাবৃত্তির জন্য পছন্দ আছে, তবে এটি প্রতিসাম্য ব্যবহার করে এবং এটি থেকেও কেটে নেওয়া যেতে পারে যে সীমাবদ্ধতাগুলি পরিচয়ের সাথে সমানুপাতিক)। এটি জানতে পেরে খুব আনন্দিত হবে যে হাদামারড এবং হুয়াং ম্যাট্রিকগুলি একরকম, কেবলমাত্র দু'জন ননড্রাইভাল :)। এবং যদি তা না হয়, তবে সেখানে আরও কিছু আকর্ষণীয় বিষয় লুকিয়ে রয়েছে ...$B_0$$5^4$$B_n^2$

Comments

এবং যদি তা না হয়, তবে সেখানে লুকিয়ে থাকা আরও কিছু আকর্ষণীয় বিষয় রয়েছে ... বেশ আকর্ষণীয় মনে হচ্ছে :)

— ক্লিমেন্ট সি

Answer 2

এখানে আমি একটি মন্তব্যে ফিট করতে পারি না শুধুমাত্র দুটি পর্যবেক্ষণ:

0) যোগ করা হয়েছে কারণ প্রথম উত্তর মোছা হয়েছে: সেখানে একটি ব্যাখ্যা হল $H_n$ , যথা দ্বারা সারি এবং কলাম সূচিবদ্ধ $\{0,1\}^n$ , প্রবেশ সংশ্লিষ্ট $(x,y)$ হয় $1$ যদি Hadamard পণ্য $x\odot y=(x_1y_1,\ldots,x_n y_n)$ এর সমতাও রয়েছে, এবং $-1$ এর মধ্যে বিজোড় সমতা রয়েছে।

1) সাধারণভাবে, ব্লক ম্যাট্রিকের বর্ণালী খুব জটিল হতে পারে এবং স্পষ্টতই এটি পৃথক ব্লকের বর্ণালীর সাথে সম্পর্কিত নয়, কারণ বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদীটি দেখতে ভয়ঙ্কর দেখাবে । তবে উপরের এ এন এবং এইচ এন এর মতো পুনরাবৃত্ত নির্মাণের মাধ্যমে উত্পন্ন হতে পারে এমন এক প্রতিসাম্প্রীয় ব্লক ম্যাট্রিক্স $M=\begin{pmatrix} A & B\\ B^T & C\end{pmatrix}$ , যেখানে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স বর্গক্ষেত্র, কেবলমাত্র সরলকরণের মধ্যে একটি ঘটে যখন বি টি এবং সি চলাচল করে, এক্ষেত্রে কারও কাছে ডি ( এম ) = ডিট ( এ সি) রয়েছে$A_n$$H_n$$B^T$$C$$\det(M)=\det(AC-BB^T)$ । তারপরে$M$ এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবর্ষটিহবে

$$\det((\lambda I-A)(\lambda I-C)-BB^T)=\det(\lambda^2I-\lambda (A+C)+AC-BB^T).$$ ইগেনভ্যালুগুলির জন্য সুন্দর পুনরাবৃত্তির সূত্রগুলির দিকে পরিচালিত করার জন্য, মূলত একটি সি প্রয়োজন$C=-A$ রৈখিক হত্যা করতে$\lambda$ পরিভাষা। যদি আরও$A$ এবং$B$ সমান্তরাল এবং যাতায়াত হয় তবে আমরা $$\det(\lambda I-M)=\det(\lambda^2 I-(A^2+B^2)),$$ যেখান থেকে সহজেই প্রতিযোগিতামূলক মেট্রিকেস স্বীকৃত ফ্যাক্ট ব্যবহার করে ইগনালভেলগুলি পড়তে পারে one একটি সাধারণ ইগেনবাসীস। এটি সুস্পষ্ট হতে পারে, তবে এই সমস্তটি বলতে গেলে যতদূর ভাল ইউনুভ্যালুগুলির জন্য পুনরাবৃত্তির সূত্রগুলি পাওয়া যায়, নীচের ডানদিকের ব্লকটি হওয়াটা মূলত প্রয়োজনীয়$-A$ এবং আশাবাদ ব্যক্ত করেন যে বাম কমে আসে এবং উপরের ডান ব্লক সঙ্গে প্রতিসম এবং যাতায়াতের হয়$A$ , যা কেনার ক্ষেত্রে দেখা যায়$A_n$ (সঙ্গে$B=I$ এবং)$H_n$ ম্যাট্রিক্স (সঙ্গে$B=H_{n-1}=A$ )।

২) এলোমেলো চিহ্নের প্রশ্নে: কাগজে প্রদত্ত সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের স্বাক্ষর সর্বাধিক $\lambda_{2^{n-1}}$ এর অর্থে অনুকূল , যা কাচি ইন্টারলেসিংয়ের মাধ্যমে নিম্ন সীমানার জন্য প্রয়োজনীয়, এবং প্রাথমিক উপায়ে দেখা যায়। এন- ডাইমেনশনাল হাইপারকিউবের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের স্বেচ্ছায় স্বাক্ষরিত $M_n$ এর জন্য একজন তত্ক্ষণাত ট্র ( এম এন ) = 2 এন ∑ i = 1 λ আই ( এম এন ) = 0 ,$n$

$$\text{Tr}(M_n)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)=0,\quad \text{Tr}(M_n^2)=\sum_{i=1}^{2^n} \lambda_i(M_n)^2=\|M_n\|_F^2=n2^n,$$ যেখানে$\lambda_1(M_n)\geq \lambda_2(M_n)\geq\ldots\geq \lambda_{2^n}(M_n)$ । কিছু স্বাক্ষর জন্য যদি$M_n$একটিতে $\lambda_{2^{n-1}}(M_n)>\sqrt{n}$ , তারপরে $$\sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)>\sqrt{n}2^{n-1},\quad \sum_{i=1}^{2^{n-1}} \lambda_i(M_n)^2>n2^{n-1}.$$ এক তারপর দেখতে পারেন উপরে ট্রেস equalities, সন্তুষ্ট করা সম্ভব নয়: নেতিবাচক eigenvalues চেয়ে বেশি কঠোরভাবে সমষ্টি নয়$\sqrt{n}2^{n-1}$ (পরম মান হিসাবে), এবং তাদের স্কোয়ারগুলি অবশ্যই$n2^{n-1}$ চেয়ে কম পরিমাণে যোগ করতে হবে। বর্গের যোগফলকে হ্রাস করে যখন সমস্তগুলি সমান হয় তখন ধ্রুবকটি স্থির রাখে, তবে এক্ষেত্রে স্কোয়ারের যোগফল যাইহোক খুব বড় করে তুলবে। সুতরাং যে কোনও স্বাক্ষরের জন্য, প্রাথমিকের মাধ্যমে দেখতে পাওয়া যায় যে$\lambda_{2^{n-1}}(M_n)\leq \sqrt{n}$ কাগজ, যেখানে সমতা ঝুলিতে iff মান জাদু স্বাক্ষরের জেনে$\sqrt{n},\ldots,\sqrt{n},-\sqrt{n},\ldots,-\sqrt{n}$$-n, -n+2,\ldots,n-2,n$$i$${n\choose i }$$+1$ signing maximizes $\lambda_1$, while this signing maximizes $\lambda_{2^{n-1}}$.

As far as would a random signing work, it's harder to say because I think most non-asymptotic bounds on eigenvalues focus on spectral norm. One expects random signings to smooth out the extreme usual eigenvalues, and indeed, using the noncommutative Khintchine inequality and/or recent tighter bounds like in here, a uniformly random signing has $\mathbb{E}[\|M_n\|_2]=\Theta(\sqrt{n})$. It's hard for me to imagine the middle eigenvalues would be on a similar polynomial order as the leading one in expectation (and asymptotic results like the semi-circular law for different matrix ensembles suggest similarly, I think), but maybe it's possible.