স্কোয়ার রুটস প্রোবলেমের সমষ্টিের উচ্চ সীমানার প্রমাণ

Question

[1] এ, গ্যারি এট আল। ইউক্লিডিয়ান টিএসপির এনপি-সম্পূর্ণতার কাজ করার ক্ষেত্রে পরবর্তীকালে স্কোয়ার রুটস সমস্যার সমষ্টি হিসাবে কী পরিচিত হবে তা চিহ্নিত করুন identify

প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা এবং , যদি নির্ধারণ করে$a_1, a_2, \ldots, a_n$$L$$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

তারা লক্ষ করেছেন যে এই সমস্যাটি এনপি-তে রয়েছে এমনটাও স্পষ্ট নয় যেহেতু যথাযথতার ন্যূনতম অঙ্কগুলি সাথে পর্যাপ্ত পরিমাণের তুলনা করার জন্য বর্গাকার শিকড়গুলির গণনায় প্রয়োজনীয় কি ? যাইহোক, তারা এর সর্বাধিক পরিচিত ওপরের সীমানা উদ্ধৃত করে যেখানে "মূল প্রতীকী ভাবের সংখ্যার সংখ্যা"। দুর্ভাগ্যক্রমে, এই উপরের সীমাটি কেবল এ এম ওডেলিজকো থেকে ব্যক্তিগত যোগাযোগের জন্য দায়ী করা হয়।$L$$O(m2^n)$$m$

কারও কি এই উর্ধ্বসীমা সম্পর্কে যথাযথ উল্লেখ আছে? অথবা, কোনও প্রকাশিত রেফারেন্সের অভাবে, একটি প্রমাণ বা প্রমাণ স্কেচও সহায়ক হবে।

দ্রষ্টব্য: আমি বিশ্বাস করি যে এই সীমাটি বার্নিকেল এট আরও সাধারণ ফলাফলের ফলাফল হিসাবে অনুমান করা হতে পারে। অল। [২] প্রায় 2000 সাল থেকে পৃথক পৃথক পৃথক পৃথক পৃথক পৃথকীকরণের জন্য। আমি বেশিরভাগ সমকালীন রেফারেন্সগুলিতে আগ্রহী (অর্থাত্: 1976 সালে প্রায় পরিচিত ছিল) এবং / অথবা প্রমাণগুলি বর্গমূলের যোগফলের ক্ষেত্রে কেবল বিশেষভাবে যুক্ত।

1. গ্যারি, মাইকেল আর।, রোনাল্ড এল গ্রাহাম এবং ডেভিড এস জনসন। " কিছু এনপি-সম্পূর্ণ জ্যামিতিক সমস্যা " " কম্পিউটিংয়ের তত্ত্বের উপর অষ্টম বার্ষিক এসিএম সিম্পোজিয়ামের কার্যক্রম। এসিএম, 1976।

2. বার্নাইকেল, ক্রিস্টোফ, ইত্যাদি। " একটি শক্তিশালী এবং সহজেই গণনাযোগ্য পৃথকীকরণের সাথে জড়িত গাণিতিক প্রকাশের জন্য আবদ্ধ ।" অ্যালগরিদমিকা 27.1 (2000): 87-99।

Comments

এই সিস্টি.স্ট্যাকেক্সেক্সচেঞ্জ প্রশ্নের উত্তরটিও দেখুন , যা বলছে "এরিক অ্যালেন্ডার এবং তার সহ-লেখকরা এই সমস্যার প্রতি সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি 2003 সালে তারা এই সমস্যাটি গণনা হায়ারার্কির চতুর্থ স্তরের অন্তর্গত দেখিয়েছিলেন। ftp। cs.rutgers.edu/pub/alleender/slp.pdf "

— নিল ইয়ং

Answer 1

এখানে একটি বরং opালু প্রুফ স্কেচ। যাক যেখানে । এই ডিগ্রী সর্বাধিক একজন বীজগাণিতিক সংখ্যা সর্বাধিক এবং উচ্চতা । এখন এটা চেক করতে যদি সহজ (এমনকি করা যাবে - দেখুন এই ) .যদি তারপর, এটা থেকে দূরে বেষ্টিত পরিমান দ্বারা (কারণ এটি একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং অত: পর হয় অবিচ্ছিন্ন বহুবর্ষের একটি অ-শূন্য মূল) যা সর্বনিম্ন বহুবর্ষের ডিগ্রি এবং উচ্চতার একটি ফাংশন$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$$\delta_i \in \{\pm 1\}$$2^n$$H = (max(a_i))^{n}$$S = 0$$TC^0$$S \neq 0$$0$$S$। দুর্ভাগ্যক্রমে, ডিগ্রির উপর নির্ভরশীলতা বর্গাকার মূলগুলির সংখ্যার ক্ষেত্রে তাত্পর্যপূর্ণ (এবং যদি গুলি স্বতন্ত্র প্রাইম হয় তবে এই ডিগ্রিটি আবদ্ধ আরও শক্ত, যদিও সাইন ইনভলিউশনের ক্ষেত্রে এটি পরিচালনা করা সহজ)। প্রয়োজনীয় যথার্থতা বর্গমূলের সংখ্যায় তাত্পর্যপূর্ণ , যা জন্য bits বিট । say বলার জন্য এখন each of এর প্রত্যেকটি কেটে ফেলা যথেষ্ট$a_i$$2^n$$S$$\sqrt{a_i}$$2^{10n}$বিটগুলি সাইনটি সঠিক হওয়ার নিশ্চয়তা রয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য। এটি নিউটন পুনরাবৃত্তির বহু পদক্ষেপের মাধ্যমে সহজেই সম্পন্ন করা হয়)। এখন এটি যোগফলটি ইতিবাচক কিনা তা যাচাই করে নেমে গেছে, যা কেবল সংযোজন এবং তাই সমানগুলিতে বিটের সংখ্যায় লিনিয়ার। লক্ষ্য করুন যে এই গণনাটি কোনও বিএসএস মেশিনে বহুপদী সময়ে রয়েছে। এছাড়াও লক্ষ করুন যে আমরা সরাসরি এর ন্যূনতম বহুবর্ষের সাথে কোনও গণনা করছি না , যার বিশাল সহগ থাকতে পারে এবং দেখতে দেখতে কুরুচিপূর্ণ হতে পারে, আমরা কেবল বর্গের শিকড়গুলি কেটে ফেলতে হবে তার সঠিকতা সম্পর্কে যুক্তিযুক্ত কারণেই এটি ব্যবহার করি। আরও তথ্যের জন্য, তিওয়ারির কাগজটি দেখুন ।$S$

Comments

উপাহিত কারণ এই দীর্ঘ উত্তরের একমাত্র অংশ যা আসলে প্রশ্নটিকে সম্বোধন করে তা সর্বশেষ লাইন, এবং এটি ১৯ 1992০ বা তার আগের নয় 1992 এর একটি রেফারেন্স।

— ডেভিড এপ্সস্টিন

@ ডেভিড আমি কেবল বর্গমূলের মূল্যায়ন করার জন্য আমাদের 2-n- বিট যথার্থতার প্রয়োজনের জন্য একটি প্রুফ স্কেচ সরবরাহ করার চেষ্টা করছিলাম (@ মুহম কোনও মুহুর্তে এটি চেয়েছিল)। আমি যে কাগজটি উদ্ধৃত করেছি তার আগে যেমন কীভাবে আবদ্ধ হয়েছিল সে সম্পর্কে আমি পরিচিত নই (যদিও আমি সন্দেহ করি এটির অনুরূপ কৌশলগুলি ব্যবহার করা উচিত)।

— নিখিল

হতে পারে এটি কেবল আমি, কিন্তু যখন কোনও প্রশ্ন "আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে জানি তবে কেউ আমাকে একটি রেফারেন্স দিতে পারেন" আমি উত্তর খুঁজে পাই কিভাবে এটি বিরক্তিকর প্রমাণ করার উপায় দেখাচ্ছে showing এটি যেমন পরীক্ষার শিক্ষার্থীরা যখন জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল তার চেয়ে আলাদা কিছু উত্তর দেয়, এই আশায় (বৃথা) যে আপনি কী চান তা তারা জানেনি যদিও তারা কিছু জানার জন্য আংশিক creditণ পাবে।

— ডেভিড এপস্টিন

আপনি কোথা থেকে উদ্ধৃতি দিচ্ছেন তা জানেন না তবে একটি "" এই উপরি বাউন্ডের বিষয়ে কারও কি সঠিক রেফারেন্স রয়েছে? বা প্রকাশিত রেফারেন্সের অভাবে প্রমাণ বা প্রমাণের স্কেচও সহায়ক হবে। কোথাও প্রশ্নে

— নিখিল

এটি ব্যক্তিগত যোগাযোগের মধ্যে যা হতে পারে তার কাছে আমি সম্ভবত বোধহয় কাছাকাছি মনে করি। ধন্যবাদ। (আমি মনে করি আমি এটি জানতে ওডিলিজকো সরাসরি যোগাযোগের চেষ্টা করতে পারতাম)

— মুহম ২১ শে'১৯: ২১:৩৯