আমরা কখন পরিচিত অ্যালগরিদমের জন্য আরও ভাল সীমাটি পেয়েছি?

Question

অ্যালগরিদমগুলির কি আকর্ষণীয় উদাহরণ রয়েছে যা প্রমাণিত সীমানা দিয়ে প্রকাশিত হয়েছিল এবং পরে আরও কঠোরতর আরও ভাল সীমা কোথায় প্রকাশিত হয়েছে? আরও ভাল সীমানা সহ ভাল অ্যালগরিদম না - সম্ভবত এটি ঘটেছে! তবে আরও ভাল বিশ্লেষণ একটি বিদ্যমান অ্যালগরিদমের উপর আরও ভাল বাঁধার দিকে পরিচালিত করে

আমি ভেবেছিলাম ম্যাট্রিক্সের গুণটি এটির একটি উদাহরণ, তবে আমি কপারস্মিথ-উইনোগ্রাড এবং এর বন্ধুদের আরও ভালভাবে বুঝতে চেষ্টা করার পরে আমি এ থেকে নিজেকে বের করে (সম্ভবত ভুলভাবে!)।

Comments

একটি আদর্শ উদাহরণ ম্যাট্রিক্স গুণ। সাম্প্রতিক উন্নতিগুলি আসলে সর্বোত্তম বিশ্লেষণ (লে গল, উইলিয়ামস ইত্যাদি)।

— লুইন্স

লুইনস - আমার সন্দেহ হয়েছিল যে এটি হতে পারে, তবে কিছু কাগজ সাঁকানো আমার মনে হয়েছিল যে তারা অ্যালগোরিদম এবং বিশ্লেষণ উভয়ই সামান্য পরিবর্তিত হয়েছিল। আমার আরও গভীর প্রয়োজন হতে পারে।

— রব সিমন্স 12 ই

এটি একটি অর্ধ-উত্তর, যেহেতু এটি দ্বিতীয় হাতের শ্রবণ: বুচি অটোমেটা ( dl.acm.org/citation.cfm?id=1398627 ) নির্ধারণের জন্য কাজ করার সময় , সাফ্রা মূলত তার নির্মাণটিকে একটি চতুর্ভুজ ব্যয়কারী হিসাবে বিশ্লেষণ করেছিলেন। তারপরে, নির্মাণটি লেখার পরে এবং কিছু ভুল বোঝাবুঝির কারণে তিনি ভাল (অনুকূল) এক্সপোনেন্ট দিয়ে শেষ করেছিলেন। $n\log n$

— শাল

আমি মোশন পরিকল্পনার সমস্যাগুলি সন্ধান করার পরামর্শ দেব - আমার মনে হচ্ছে সেখানে বেশ কয়েকটি মামলা হয়েছে। এছাড়াও, আইআইআরসি সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদম (গুলি?) এর সুনির্দিষ্ট জটিলতা ছিল বেশ কিছু সময়ের জন্য অধ্যয়নের বিষয়।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

সামান্য পৃথক, তবে 3SAT দৃষ্টান্তের ক্লজগুলির 7m সন্তুষ্টকারী একটি ইনপুটটির অস্তিত্বের প্রমাণকে আরও সতর্ক বিশ্লেষণ করে সুস্পষ্ট অ্যালগরিদমে উন্নত করা হয়েছিল। $7m/8$

— স্টেলা বিডারম্যান

Answer 1

অ্যালগরিদম ইউনিয়ন-খুঁজে যা Tarjan ¹ দেখিয়েছিলেন জটিলতা , যেখানে Ackermann বিপরীত ফাংশন, বিভিন্ন মানুষ পূর্বে বিশ্লেষণ হয়েছে। উইকিপিডিয়া অনুসারে, এটি গ্যালার এবং ফিশার ^২ দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল , তবে এটি ভুল বলে মনে হয়, কারণ এটি দ্রুত চালানোর জন্য তাদের অ্যালগরিদমের সমস্ত উপাদান নেই।$n \alpha(n)$$\alpha(n)$

কাগজগুলির সংক্ষিপ্ত স্ক্যানগুলির উপর ভিত্তি করে, এটি উপস্থিত হয় যে আলগোরিদমটি হপকক্রফ্ট এবং আলম্যান ³ দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল , যিনি একটি (ভুল) সময়সীমা বেঁধে দিয়েছিলেন। ফিশার ^{4 তার} পরে প্রমাণটিতে ভুলটি খুঁজে পেয়ে একটি সময়সীমা বেঁধে দিয়েছে। এরপরে, হপকক্রফ্ট এবং ওলম্যান ⁵ একটি সময়সীমা বেঁধে দিয়েছে, তারপরে টারজন ¹ (সর্বোত্তম) সময় সীমাবদ্ধ পেয়েছে ।$O(n)$ও ( এন লগ লগ এন ) ও ( এন লগ ∗ n ) ও ( এন α ( এন ) )$O(n \log\log n)$$O(n \log ^*n)$$O(n \alpha(n))$

¹ আরই টার্জন, "একটি ভাল তবে লিনিয়ার সেট ইউনিয়ন অ্যালগরিদমের দক্ষতা" (1975)।
² বিএস গ্যালার এবং এমজে ফিশার, "একটি উন্নত সমতুল্য অ্যালগরিদম" (1964)।
³ জে হপক্রফ্ট এবং জেডি উলমান, "একটি রৈখিক তালিকার একত্রীকরণ অ্যালগরিদম" (1971)।
⁴ এমজে ফিশার, "সমতুল্য আলগোরিদিমগুলির দক্ষতা" (1972)।
⁵ জে হপক্রফ্ট এবং জেডি উলমান, "সেট-মার্জিং অ্যালগরিদম" (1973)।

Comments

এই ডেটা স্ট্রাকচারের ইতিহাস আমার কাছে কিছুটা অস্পষ্ট এবং এটি তদন্ত করে ভাল লাগবে। আমি গ্যালার এবং ফিশার নিবন্ধটি স্কিমেড করেছিলাম এবং এটি ডিসজাইয়েন্টস সেট ফরেস্ট (ডিএসএফ) ডেটা স্ট্রাকচারের বর্ণনা দেয় তবে গুরুত্বপূর্ণ পাথ সংক্ষেপণ (পিসি) এবং ওয়েট ইউনিয়ন (ডাব্লুইউ) হিউরিস্টিক্স ছাড়াই বর্ণনা করে। হুপক্রফ্ট এবং ওলম্যান নুথকে উদ্ধৃত করে পিসির সাথে এবং ডাব্লুইউ ছাড়াই ট্র্রিটারের সাথে ডিএসএফ বৈশিষ্ট্যযুক্ত। আমি নিশ্চিত নই যে হপক্রফ্ট এবং উলম্যানের কাগজের আগে পিসি এবং ডাব্লুইউ উভয়ই ডিএসএফ একটি প্রকাশিত কাগজে প্রস্তাবিত হয়েছিল, যদিও তা থাকলে আমি অবাক হব না।

— সাশো নিকোলভ

@ সাশো: এটি সমস্ত কাগজপত্রের সংক্ষিপ্ত স্ক্যানের উপর ভিত্তি করে পরীক্ষা করা উচিত। টারজান পিসি এবং ডাব্লুইউ উভয়ই মাইকেল ফিশারের সাথে ডিএসএফকে দায়ী করেছেন, "ইক্যুয়ালেন্স অ্যালগরিদমের দক্ষতা" (1972), যা এটির জন্য একটি চলমান সময় দেয়। ফিশারের কাগজটি স্ক্যান করে তিনি মনে করেন যে তিনি আলগোরিদমকে হপকক্রফ্ট এবং উলমানকে "একটি রৈখিক তালিকায় একত্রীকরণের অ্যালগরিদম" বলে উল্লেখ করেছেন, তবে তারা এটির জন্য একটি চলমান সময় দেয়, যার প্রমাণ ফিশার শো ভুল নয়। টারজান বলেছে যে হপক্রফ্ট এবং ওলম্যান, "সেট-মার্জিং অ্যালগরিদমগুলিতে" বাউন্ড দিয়ে নিজেকে ছাড়িয়ে আনেন। Θ ( এন ) ও ( এন লগ ∗ n $O(n \log\log n)$$\Theta(n)$$O(n \log^* n)$

— পিটার শর

Answer 2

এর অ্যালগরিদম Paturi, Pudlák, Saks এবং Zane জন্য (PPSZ) একটি চলমান সময় আছে বলা হয়েছে জন্য অনন্য সন্তোষজনক কার্যনির্বাহী গ্যারান্টিযুক্ত সূত্রগুলির জন্য এর আরও ভাল আবদ্ধপরবর্তীতে হার্টলি একটি উন্নত বিশ্লেষণ দিয়ে দেখিয়েছিলেন যে এই উন্নত রান-টাইম বেঁধে দেওয়া সাধারণ ক্ষেত্রেও রয়েছে, এইভাবে পিপিএসজেডকে সেই সময়ে পরিচিত r ম্যাথর্ম for এর জন্য সেরা অ্যালগরিদম হিসাবে দেখানো হয়েছিল । $k\text{-} \mathrm{SAT}$$O(1.364^n)$$3\text{-}\mathrm{SAT}$$O(1.308^n)$$3\text{-}\mathrm{SAT}$

Comments

এটি সত্যিই সন্তোষজনক উত্তর! আমি মনে করি এটি এবং ইউনিয়ন অনুসন্ধানের উদাহরণগুলি আমি যা আশা করছিলাম তার সেরা উদাহরণ।

— রব সিমন্স

Answer 3

Logjam আক্রমণ (যেমন ওভার বিযুক্ত লগারিদমের কম্পিউটিং প্রয়োগ সাধারণ সংখ্যা ক্ষেত্র চালনী যে বিশ্লেষণ উল্লেখ বংশদ্ভুত পদক্ষেপ) tightend ছিল, শীর্ষ 3 য় পৃষ্ঠার বাম দেখুন। যেহেতু এটিই একমাত্র পদক্ষেপ যা প্রাক-গণনা করা যায় না (যদি স্থির থাকে), তবে তাদের আক্রমণকারীর দক্ষতা ছিল সহায়ক।$\mathbb{F}_p$$\mathbb{F}_p$

প্রাথমিক বিশ্লেষণটি গর্ডন ৯২-তে দেখা যায় , যেখানে মতো হয়েছিল । শক্ত বিশ্লেষণটি বারবুলেসুকের থিসিস থেকে মনে হয়েছে , যেখানে বংশদ্ভুত অংশ , যেখানে: এটি উল্লেখযোগ্য যে এটি প্রযুক্তিগতভাবে একটি প্রত্যাশিত ব্যয়, না কোনও উচ্চতর আবদ্ধ। এটি এখনও আমার কাছে প্রশ্নের উত্সাহে মনে হয় তবে আপনি এটি যা খুঁজছেন তা যদি না হয় তবে আমি তা সরিয়ে ফেলব।$L_p(1/3, 3^{2/3})$$L_p(1/3, 1.232)$

$$L_p(v, c) = \exp((c+o(1))(\log p)^v (\log \log p)^{1-v})$$

Comments

চেতনা খুব অনেক, আপনাকে ধন্যবাদ!

— রব সিমন্স

Answer 4

অনুপম গুপ্ত, ইউইওং লি এবং জেসন লি [১] এর সাম্প্রতিক কাজ দেখায় যে ন্যূনতম -কুট সমস্যার$k$ জন্য কার্গার -স্টেইন অ্যালগরিদম আসলে বাস্তবে অ্যাসিম্পটোটিক সময়ের জটিলতা , দেয় এমন মূল বিশ্লেষণের উন্নতি হয়েছে (এবং একই লেখকগণের পূর্ববর্তী কাজ, যা ও সময়ে সময়ে পৃথক পৃথক পৃথক অ্যালগরিদম প্রাপ্ত করেছে) )।$O(n^{k+o(1)})$$O(n^{2k-2})$ও ( এন 1.98 কে + ও ( 1 ) )$O(n^{1.98k+O(1)})$

( শর্তাধীন নিম্ন সীমানের উপর ভিত্তি করে এটি (কাছাকাছি) অনুকূল হতে পারে ।$\Omega(n^k)$

দ্রষ্টব্য: জেসন লি (এবং সম্পর্কিত স্লাইড) এর একটি আলোচনা টিসিএস + ওয়েবসাইটে পাওয়া যাবে ।

---

[1] কার্গার — স্টেইন অ্যালগরিদম কেট$k$ , অনুপম গুপ্ত, ইউইওং লি, জেসন লি'র পক্ষে অনুকূল। আরএক্সিভ: 1911.09165 , 2019।

Answer 5

সার্ভারের জন্য কাজের ফাংশন অ্যালগরিদমটি দেখানো হয়েছিল -কৌটিসিপিয়াস এবং পাপাদিমিট্রো দ্বারা প্রতিযোগিতামূলক - অ্যালগরিদম আগে জানা ছিল এবং কেবল বিশেষ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। এটি প্রতিযোগিতামূলক বলে অনুমান করা হয়েছে ।$k$$(2k-1)$$k$

Answer 6

-Hitting সেট সমস্যা "ভাল বিশ্লেষণ" (দেখুন Fernau এর কাগজপত্র কয়েক পুনরাবৃত্তিও ছিল [1] [2] ) অ্যালগরিদম এই কাগজ আগে, (যেমন 'একটি প্রান্ত চয়ন' ...) কিছু অবাধ পছন্দ ছিল কিন্তু যখন পছন্দগুলি নির্দিষ্ট উপায়ে নির্দিষ্টভাবে নির্বাচিত হয়, এটি আরও পরিশ্রুত বিশ্লেষণের অনুমতি দেয়, সেখানেই উন্নতি আসে And এবং আমি মনে করি তার পরিশিষ্টগুলি 1 এ$3$ আরও পুনরায় সংশ্লেষ বিশ্লেষণ (সাব-প্রব্লেমস / সাবট্রাকচারগুলি গণনা) প্রদান করুন যা আরও ভাল পুনরাবৃত্তির দিকে এগিয়ে যায় এবং তাই ভাল রানটাইম। আমি মনে করি প্যারামিটারাইজড জটিলতা সাহিত্যে এরকম অনেকগুলি উদাহরণ রয়েছে, যেখানে বিশ্লেষণে আরও একটি পরিবর্তনশীল যোগ করা উন্নত রানটাইমের দিকে নিয়ে যেতে পারে, তবে আমি এখন বেশ কয়েক বছর ধরে সেই গেমের বাইরে চলে এসেছি এবং আমি এখানে নির্দিষ্ট কিছু নিয়ে ভাবতে পারি না মুহূর্ত. কাগজ শিরোনামগুলিতে "উন্নত বিশ্লেষণ" সন্ধান করার সময় এফপিটি এবং পিটিএএস অঞ্চলে এমন অনেকগুলি কাগজপত্র প্রকাশিত হয়।

যদি পছন্দগুলি একই অ্যালগরিদম হিসাবে গণনা করা হয় (ইউনিয়ন-ফাইন্ডের গভীরতা-র‌্যাঙ্কের হিউরিস্টিকের মতো), তবে এডমন্ডস-কার্প অ্যালগরিদমটি ফোর্ড-ফুকারসনের একটি 'উন্নত বিশ্লেষণ' এবং আমি কল্পনা করতে পারি যে অ্যালগোরিদম রয়েছে এমন আরও অনেক সমস্যা আছে যা নতুন পছন্দের নিয়ম থেকে রানটাইম উন্নতি দেখেছে।

তারপরে বিদ্যমান অ্যালগরিদমগুলির পুরো গোছা বিশ্লেষণ রয়েছে (আমি মনে করি এই বর্ণনার অধীনে ইউনিয়ন-সন্ধান ফিট করে, এখানে অন্য একটি https://link.springer.com/article/10.1007/s00453-004-1145-7 রয়েছে )

Comments

নতুন পছন্দগুলি করা আমি যা খুঁজছিলাম তার কাছাকাছি অনুভব করে তবে বেশিরভাগ সেখানে নেই - এক অর্থে, একটি আরও নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম একটি "ভিন্ন ভিন্ন অ্যালগরিদম" - তবে এগুলি এখনও খুব আকর্ষণীয় উদাহরণ!

— রব সিমন্স