বেশ কয়েকটি গ্রাফের উপর একটি খেলা

Question

কোনও নোডে একটি চিপযুক্ত নির্দেশিত ওয়েট গ্রাফ তে নিম্নলিখিত গেমটি বিবেচনা করুন ।$G$

এর সমস্ত নোড এ বা বি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে$G$

দুজন খেলোয়াড় রয়েছেন অ্যালিস এবং বব। অ্যালিসের (বব) লক্ষ্য হ'ল চিপটি একটি নোডে স্থানান্তর করা যা এ (বি) দ্বারা চিহ্নিত রয়েছে।

প্রাথমিকভাবে অ্যালিস এবং ববকে যথাক্রমে এবং ডলার রয়েছে।$m_A$$m_B$

যদি কোনও খেলোয়াড় হেরে যাওয়ার অবস্থানে থাকে (যেমন, চিপের বর্তমান অবস্থানটি বিপরীত অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়) তবে তিনি বা সে চিপটিকে পার্শ্ববর্তী নোডে নিয়ে যেতে পারেন। এ জাতীয় পদক্ষেপের জন্য কিছু ডলার খরচ হয় (সংশ্লিষ্ট প্রান্তের ওজন)।

খেলোয়াড় হেরে যায় যদি সে বা সে হারাতে থাকে এবং ঠিক করার মতো টাকা না থাকে।

এখন সমস্ত ভাষা নির্দেশক ভারযুক্ত গ্রাফ (সমস্ত ওজন ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার), চিপের প্রাথমিক অবস্থান এবং অ্যালিস এবং বব এর রাজধানী যা অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনায় দেওয়া হয়েছে সেই ভাষার খেলাগুলি বিবেচনা করুন$G$

যেমন অ্যালিসের এই গেমটিতে ওয়াইনিং কৌশল রয়েছে।

গেম ভাষা পি এর অন্তর্গত । প্রকৃতপক্ষে, খেলার বর্তমান অবস্থানটি চিপ এবং বর্তমানের রাজধানী অ্যালিস এবং বব দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সুতরাং গতিশীল প্রোগ্রামিং কাজ করে (এখানে এটি গুরুত্বপূর্ণ যে প্রাথমিক রাজধানীগুলি অ্যানারি উপস্থাপনায় দেওয়া হয়)।

এখন এই গেমটির নিম্নলিখিত সাধারণীকরণ বিবেচনা করুন। বেশ কয়েকটি নির্দেশিত ওজনযুক্ত গ্রাফগুলি প্রতিটি গ্রাফের চিপ সহ বিবেচনা করুন । সমস্ত গ্রাফের সমস্ত নোড এ এবং বি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে এখন সমস্ত চিপ বি দ্বারা চিহ্নিত করা থাকলে বব জিতেন এবং কমপক্ষে একটি চিপ এ দ্বারা চিহ্নিত করা থাকলে অ্যালিস জিতেছে Bob$G_1, \ldots G_n$

গেমের ভাষাটি বিবেচনা করুন যা সমস্ত গ্রাফ , প্রাথমিক অবস্থান এবং ক্যাপিটালগুলি এবং ( উপস্থাপনায়) এর সমন্বিত রয়েছে যা সম্পর্কিত গেমটিতে অ্যালিস জিতেছে। এখানে এটি গুরুত্বপূর্ণ যে সমস্ত গ্রাফের জন্য মূলধনগুলি সাধারণ হয়, এটি কেবল বেশ কয়েকটি স্বতন্ত্র গেমস নয়।$G_1, \ldots, G_n$$m_A$$m_B$

প্রশ্ন মাল্টি-গেমস ভাষার জটিলতা কী? (এটি কি পি এরও অন্তর্ভুক্ত বা এই সমস্যাটি কঠিন বলে কিছু কারণ রয়েছে?)

ইউপিডি 1 নীল ইয়ং কনওয়ের তত্ত্বটি ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছিল। তবে আমি জানি না যে সাধারণ মূলধন সহ কয়েকটি গেমের জন্য এই তত্ত্বটি ব্যবহার করা সম্ভব।

UPD2 আমি একটি উদাহরণ দেখাতে চাই যা দেখায় যে মাল্টি-গেম খুব সহজ নয়। অ্যালিস তার মূলধন কে কিছু পদে বিভক্ত করুন (তিনি গ্রাফের জন্য ডলার ব্যবহার করতে চলেছেন )। কে সর্বনিম্ন সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যে গেমটিতে বব জয়ী হয় যদি অ্যালিস এবং ববকে যথাক্রমে এবং ডলার থাকে। যদি (কিছু বিভাজন d ) তবে অ্যালিস জিতবে। তবে, বিপরীতটি সত্য নয়। নিম্নলিখিত গ্রাফের দুটি অনুলিপি বিবেচনা করুন (প্রাথমিকভাবে চিপটি এ এর ​​বাম দিকে রয়েছে): $m_A$$n$$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$$a_i$$i$$b_i$$i$$a_i$$b_i$$b_1 + \ldots b_n > m_B$$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$

একটি গ্রাফের জন্য বব যদি এবং বা এবং । তবে এই গ্রাফের দুটি অনুলিপি সহ গেমের জন্য বব যদি এবং হারায় । প্রকৃতপক্ষে, ববকে দুটি চিপস দ্বারা চিহ্নিত একটি নোডে স্থানান্তর করতে বা ডলার ব্যয় করতে হবে । তারপরে অ্যালিস কমপক্ষে একটি চিপ এ দ্বারা চিহ্নিত নোডে স্থানান্তর করতে পারে তার পরে ববকে তার অবস্থান বাঁচানোর জন্য টাকা নেই।$m_A=0$$m_B=2$$m_A=1$$m_B=3$$m_A=1$$m_B=5$$4$$5$$B$

UPD3 যেহেতু স্বেচ্ছাচারী গ্রাফগুলির জন্য প্রশ্নটি নির্দিষ্ট গ্রাফগুলি বিবেচনা করা কঠিন বলে মনে হচ্ছে। কিছু গ্রাফ নোড বোঝাতে যেমন । আমার বিধিনিষেধটি নিম্নরূপ: প্রতিটি জোড়ের জন্য সেখানে থেকে প্রান্ত উপস্থিত থাকে এবং বিপরীত প্রান্তটি নেই। এছাড়াও প্রান্ত খরচ জন্য একটি সীমাবদ্ধতা অস্তিত্ব আছে: এর জন্য প্রান্ত করতে থেকে থেকে বড় নয় করতে ।$G_i$$1, \ldots k$$i<j$$i$$j$$i<j<k$$j$$k$$i$$k$

Comments

মাল্টি-গেমে, একটি পদক্ষেপের গঠন কী? খেলোয়াড় প্রতিটি গ্রাফে একটি পদক্ষেপ করে? অথবা একটি সরানোর জন্য একটি গ্রাফ চয়ন করে? আপনি কি দেখে গেছেন কনওয়ের গেমগুলির তত্ত্বটি (গরম এবং শীতলকরণ) এখানে প্রয়োগ হয়? (কিছু তথ্য এখানে পাওয়া যাবে: en.wikedia.org/wiki/… )

— নিল ইয়ং

@ নিলে ইয়াং প্লেয়ার একটি চলাচল করতে একটি গ্রাফ বেছে নিয়েছে

— অ্যালেক্সি মিলোভানভ

এফডব্লিউআইডাব্লু, যদি আমি মনে করি, কনওয়ের গেমসের তত্ত্বটি বিবেচনা করে যে কীভাবে অন্যান্য গেমগুলি থেকে সেগুলি তৈরি করা গেমগুলি খেলতে হয় (প্রতিটি পদক্ষেপে খেলোয়াড় সাব-গেমগুলির মধ্যে একটিতে স্থানান্তরিত করতে পছন্দ করে)। আমি জানি না যদিও তাঁর তত্ত্বটির গণ্যমান জটিলতা রয়েছে।

— নিল ইয়াং

@ নিয়াল ইউং আপনাকে ধন্যবাদ, তবে আমি বুঝতে সমস্যাটি হ'ল প্লেয়ারদের সমস্ত গেমের জন্য সাধারণ রাজধানী থাকে।

— কনওয়ের

অ্যালিস (বব) কি চিপটি এ (বি) নোডে রাখলে বাধ্য হয়? মাল্টি-গেমের জয়ের শর্তটি কী? সমস্ত চিপস বি নোডগুলিতে থাকাকালীনও বি কী জিততে পারে তবে এ এর ​​কাছে এখনও কিছু টাকা থাকে? আপনি বলছেন যে কমপক্ষে একটি চিপ এ-তে রয়েছে তবে এ জিতেছে, সুতরাং এ দুটি "চিপসকে" কম ব্যয়বহুল "দুটি গ্রাফের সাথে চিহ্নিত একটি নোডে রাখার চেষ্টা করতে পারে; খালি দুটি চিপের একটি নোড এ থেকে দূরে সরিয়ে অ্যালিস এটিকে ফিরিয়ে এনেছে (এবং অন্যান্য গ্রাফগুলি উপেক্ষা করুন)

— মারজিও ডি বিয়াসি

Answer 1

যেহেতু স্টিভেন স্টাডনিকি-এর উত্তরটি প্রশ্নকর্তা গ্রহণ করেছেন বলে মনে হয় না, তাই আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে এটি এখনও আপডেট প্রদানে সহায়ক হতে পারে: আমার কাছে 3 এসএটি থেকে মাল্টি-গেমের হ্রাস রয়েছে। স্টিভেনের জবাব আমি মনোযোগ সহকারে দেখিনি বা তার প্রদত্ত লিঙ্কটি অনুসরণ করেছি, তবে নিম্নলিখিত হ্রাসের ভিত্তিতে আমি মাল্টি-গেমটি সত্যিই পিএসপিএসি-সম্পূর্ণ হলে অবাক হব না। তবে, এনপি-কঠোরতার বাইরে এই ফলাফলটি বাড়ানো আমি বিরক্ত করব না।

একটি 3 এসএটি উদাহরণে , ক্লজ form ফর্মের যেখানে প্রতিটি either হয় হয় ভ্যারিয়েবল বা ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটির ।$C_1, \dots, C_m$$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$L_{ik}$$x_1, \dots, x_n$

এরকম একটি 3 এসএটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, হ্রাসটি গেমগুলি সমন্বিত একটি মাল্টি-গেম ইভেন্ট তৈরি করে - প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য একটি এবং একটি অতিরিক্ত গুনের সিঙ্ক হিসাবে ব্যবহৃত অন্য একটি গেম। প্রথমে আমরা প্রতিটি গেমের জন্য গ্রাফগুলির কাঠামো সংজ্ঞায়িত করব, তারপরে একটি উদাহরণ দেখুন এবং মূল ধারণাটি নিয়ে আলোচনা করব এবং তারপরে হ্রাসটি দৃ firm় করার জন্য প্রান্তগুলিতে কোন সঠিক ব্যয় নির্ধারণ করা হবে তা নির্ধারণ করব।$n + 1$

প্রথমত, পরিবর্তনশীল খেলা গ্রাফ প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য :$G_j$$x_j$

1. একটি এ (যেমন অ্যালিসের জন্য একটি বিজয়ী চিহ্নিত লেবেলযুক্ত লেবেল তৈরি করুন জন্য চিপ প্রান্তবিন্দু শুরু ।$x_j$$G_j$$x_j$
2. লেবেলযুক্ত একটি শীর্ষবিন্দু এবং লেবেলযুক্ত একটি শীর্ষবিন্দু তৈরি করুন , প্রতিটি বি দিয়ে চিহ্নিত (অর্থাত্ উভয়ই ববের পক্ষে অবস্থান অর্জন করছেন)। থেকে এবং উভয়ই নির্দেশিত প্রান্ত তৈরি করুন , উভয়ই ব্যয় ।$T$$F$$x_j$$T$$F$$1$

3. প্রতিটি আক্ষরিক জন্য দফা , যদি বা , লেবেলযুক্ত ছেদচিহ্ন তৈরি এবং একটি দিয়ে চিহ্নিত করা এবং ছেদচিহ্ন লেবেল এবং বি প্রান্ত যোগ দিয়ে চিহ্নিত এবং খরচ উভয় সেট । (আমরা পরে সংজ্ঞায়িত করব ))$L_{ik}$$C_i$$L_{ik} = x_j$$L_{ik} = \neg x_j$$C_iTA$$C_iFA$$C_iTB$$C_iFB$$(T, C_iTA)$$(F, C_iFA)$$l_{ik}$$l_{ik}$

   প্রান্তগুলি এবং । তাহলে , তারপর সেট 'র খরচ এবং ' র খরচ । অন্যথায় সেট এর এবং এর জন্য এর দাম ।$(C_iTA, C_iTB)$$(C_iTA, C_iTB)$$L_{ik} = x_j$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik}$$(C_iTA, C_iTB)$$l_{ik} - 1$

মূলধন ডুবে খেলা:

1. দিয়ে চিহ্নিত একটি শীর্ষবিন্দু তৈরি করুন , বি দিয়ে চিহ্নিত করেছেন$C$
2. প্রতিটি দফা জন্য , লেবেল যুক্ত একটি প্রান্তবিন্দু তৈরি একটি দিয়ে চিহ্নিত করা, এবং একটি প্রান্তবিন্দু লেবেল বি দিয়ে চিহ্নিত করা একটি প্রান্ত তৈরি করুন প্রান্ত খরচ দিয়ে (আবার নিচে নির্ধারণ করতে হবে), এবং একটি প্রান্ত প্রান্ত ব্যয় ।$C_i$$C_iA$$C_iB$$(C, C_iA)$$c_i$$(C_iA, C_iB)$$c_i$

এটি গ্রহণ করার মতো অনেক বিষয়, তাই আশা করি কোনও উদাহরণ এটিকে আরও কিছুটা হজম করে দেয়। আমাদের 3 এসএটি উদাহরণটি নিম্নরূপ:

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

হ্রাস এই উদাহরণটিকে 4 ভেরিয়েবল গেম গ্রাফ এবং 1 টি মূলধনু সিনক গ্রাফে পরিণত করে। নীচের চিত্রগুলিতে, লাল প্রান্তকে A দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে (অর্থাৎ অ্যালিসের পক্ষে বিজয়ী অবস্থানগুলি), এবং সায়ান শীর্ষগুলি বি দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে (ববের পক্ষে বিজয়ী অবস্থানগুলি)।

এর জন্য গ্রাফ :$x_1$

এর জন্য গ্রাফ :$x_2$

জন্য গ্রাফ :$x_3$

জন্য গ্রাফ :$x_4$

মূলধন ডোবার জন্য গ্রাফ:

নিম্নরূপ ধারণা:

ভেরিয়েবল গেমগুলিতে পজিশনগুলি হারাতে ছাড়তে ববকে প্রথম চালানো যেতে বাধ্য করা হয়েছে । এই জাতীয় প্রতিটি পদক্ষেপ সংশ্লিষ্ট ভেরিয়েবলের কাছে সত্য বা মিথ্যা একটি কার্য এনকোড করে।$n$$n$

এরপরে অ্যালিসের ঠিক 4 টি পদক্ষেপ নেওয়ার জন্য পর্যাপ্ত মূলধন থাকবে, যার প্রত্যেকটির ববকে জয়ের জন্য যথাযথ মূলধন থাকতে হবে। মূল্যবোধ ও মান যে অ্যালিসের একমাত্র সম্ভাব্য বিজয়ী কৌশল কিছু দফা জন্য নিম্নরূপ হয়, তাই মনোনীত করা হবে :$c_i$$l_{ik}$$C_i$

অ্যালিসের দফা কৌশল:$C_i$ দিন । প্রত্যেকেরই , যদি বা , এর পদক্ষেপ জন্য পরিবর্তনশীল গেমে । এছাড়াও সরাতে রাজধানী বেসিনে গেমে।$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$k \in \{1, 2, 3\}$$L_{ik} = x_j$$\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

( বা বোঝায় , যার মধ্যে একটির বব উদ্বোধনের পরে চালিত পরিবর্তনশীল খেলায় পৌঁছানো যায়))$C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

বব এর উদ্বোধন যদি সত্যের কার্যভারের সাথে সামঞ্জস্য হয় যা কিছু ধারা অসন্তুষ্ট রাখে, তবে অ্যালিস নির্বাচন এবং উপরের কৌশলটি বাস্তবায়নের জন্য অ্যালিস প্রয়োগ করেন এবং বব একই মারতে; যদি অন্যদিকে সন্তুষ্ট হয় তবে বব এর কমপক্ষে ছাড় পাবেন । এবং মান এবং অ্যালিস এবং বব এর সূচনা নির্ধারণের ক্ষেত্রে আমাদের লক্ষ্যটি নিশ্চিত করা হয় যে অ্যালিস বা বব জিতবে কিনা তার সিদ্ধান্তের কারণ।$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$

সেই লক্ষ্যে, সেট করে সেট করুন$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$ each প্রতি ,$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$ ,

অ্যালিসের শুরু মূলধন ,$9b^{10} + b^8$

এবং ববের প্রারম্ভিক$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

লক্ষ্য করুন এই মান সব বহুপদী হয় , তাই বহু-গেম উদাহরণস্বরূপ হ্রাস দ্বারা outputted 3SAT উদাহরণস্বরূপ আকার মাপ বহুপদী এমনকি যদি এই খরচ ইউনারী এনকোড করা হয় হয়েছে।$m$

এও নোট করুন যে প্রতিটি ক্লজ , এলিসের শুরু মূলধন। (যা প্রথম চালানোর পরেও ববের রাজধানীর চেয়ে বড় ))$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

প্রথমত, এটি অবিলম্বে পরিষ্কার হয়ে গেছে যে যদি বব এর উদ্বোধনটি একটি সত্য অ্যাসাইনমেন্ট সংজ্ঞা দেয় যা একটি ক্লজ অসন্তুষ্ট রাখে, তবে অ্যালিস উপরে তার ক্লজ কৌশল ব্যবহার করে জিতবে ।$C_i$$C_i$

যদি বব এর উদ্বোধনটি সমস্ত ধারা পূরণ করে তবে আমরা অ্যালিসের বিকল্পগুলিতে বাধা থাকতে পারি যা অ্যালিসের বিজয়ী হওয়ার অন্য কোনও সম্ভাবনা অস্বীকার করে। দ্রষ্টব্য যে অ্যালিস তার ক্রমটি যেভাবে চালনা করে তা অপ্রাসঙ্গিক, কারণ বব এর প্রতিক্রিয়া জোর করে এবং মোট মূলধন ববকে অ্যালিসের পদক্ষেপের প্রতিক্রিয়া জানাতে হবে অ্যালিসের পদক্ষেপের ক্রম অনুসারে অপরিবর্তিত রয়েছে।

• অ্যালিস 4 টিরও বেশি পদক্ষেপ করতে পারে না: অ্যালিস যদি 5 বা ততোধিক চাল চালায় তবে তার চালগুলিতে মোট ব্যয় হবে , যা তার বাজেটের চেয়ে বেশি eds$\ge 5b^{10}$
• অ্যালিসকে অবশ্যই 4 টি পদক্ষেপগুলি করা উচিত: যদি অ্যালিসি মূলধনের সিঙ্ক গেম থেকে 3 টি পদক্ষেপ নির্বাচন করে তবে তার মোট ব্যয় হবে যা বাজেটের চেয়ে বেশি । যদি তিনি কোনও চলক গেম থেকে 3 এর একটি চালও চয়ন করেন, তবে তার মোট ব্যয় যা বব-এর উদ্বোধনের পরে মূলধনের তুলনায় যথেষ্ট কম, তাই বব সহজেই সামর্থ্য করতে পারে পাল্টা।$\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• অ্যালিসকে অবশ্যই ক্যাপিটাল সিঙ্ক গেম থেকে একটি পদক্ষেপ নির্বাচন করতে হবে: যদি সে তা না করে তবে সে মোট ব্যয় সহ চলক গেমগুলি থেকে 4 টি পদক্ষেপ নির্বাচন করে এবং আবার বব সহজেই পাল্টা খেলতে পারে afford (মনে রাখবেন যে অনুচ্ছেদে যদি পৃথক মূলধনের সিঙ্ক গেম থাকত, আমরা এমনকি দেখাতে পারি যে এলিসকে অবশ্যই এই জাতীয় একটি খেলায় খেলতে হবে))$\le 8b^{10} + 4b^7$

এই স্তরটি থেকে আমরা বেছে নেওয়া চলন ব্যয়ের ক্ষেত্রে terms এবং পদগুলিকে উপেক্ষা করতে পারি , কারণ তারা সর্বদা সমষ্টি হবে । যেহেতু অ্যালিসকে অবশ্যই ক্যাপিটাল সিঙ্ক গেমটিতে একটি পদক্ষেপ বেছে নিতে হবে, ধরে নিই যে পদক্ষেপটি তে । তারপরে অ্যালিস ( এবং পদগুলিকে উপেক্ষা করে ) মূলধন বাকী রয়েছে এবং এই পরিমাণের চেয়ে ববের টির কম রয়েছে।$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• অ্যালিসকে অবশ্যই ধারা জন্য ব্যয় করে কমপক্ষে একটি পদক্ষেপ নির্বাচন করতে হবে :$l_{j3}$$C_j$ যদি সে না করে তবে তার জন্য ব্যয় (আবার নিম্ন-আদেশের শর্তাদি) , এবং বব কাউন্টারপ্লেয়ের জন্য পর্যাপ্ত মূলধনের চেয়ে বেশি রয়েছে has$\le 3b^5$
• বলেন, সরানো খোয়াতে পদক্ষেপ খোয়াতে হতে হবে :$l_{j3}$$l_{i3}$ এটি একটি পদক্ষেপ খোয়াতে হতে পারে না জন্য , অন্যথায় এই পরিবর্তনের একা খরচ যা এলিসের অবশিষ্ট বাজেটের চেয়ে বেশি। যদি এটি জন্য , তবে বাকী বাজেটের সীমান্তের মেয়াদ শেষ করার জন্য অ্যালিসের দ্বারা খরচের পদক্ষেপটিও বেছে নেওয়া উচিত। কিন্তু তারপর উভয় ক্ষেত্রেই বব এর অবশিষ্ট বাজেট বা -order মেয়াদ -order মেয়াদ ক্লান্ত পেতে না, তাই বব handily ধিক্কার জানাই।$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$$b^2$$b^2$

একই আর্গুমেন্ট স্থাপন করা উচিত যে এলিস প্যাচসমূহ খোয়াতে নির্বাচন করতে হবে এবং । যদি ববের সত্যের দায়িত্ব সন্তুষ্ট , তবে এই কৌশলটিও কার্যকর হয় না, যেহেতু বব তার ভিত্তিক ব্যয়গুলির একটিতে পায় যে তার খোলার পরে তার যে কম মূলধন রয়েছে তার জন্য ব্যয় হয় ।$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

---

আমার পূর্ববর্তী উত্তরের একটি মন্তব্য: এটাতো স্পষ্টতই স্পষ্ট যে, বহু-গেমের টেবিল-গেমের রূপটির জন্য আমি উত্তরটির মন্তব্যে সংজ্ঞায়িত করেছি, কোন খেলোয়াড়ের বিজয়ী কৌশল রয়েছে তা নির্ধারণ করার জন্য একটি ন্যাপস্যাক-স্টাইলের ডিপি যথেষ্ট। আপনি তর্ক করতে পারেন যে বব এর সেরা কৌশল হ'ল সর্বনিম্ন বিনিয়োগের সাথে প্রদত্ত গেম টেবিলে হারানো রাজ্যের কাছে সর্বদা প্রতিক্রিয়া জানানো (এটি ববের জন্য পরবর্তী পদক্ষেপটি কেটে ফেলতে পারে না যা তার অন্যথায় থাকবে), এবং সেখান থেকে আদেশটি অ্যালিসের চালচলনের কোনও বিষয় নেই। এটি তখন গেমসের মধ্যে অ্যালিসের মূলধনের বিভাজন বাছাইয়ের বিষয় হয়ে দাঁড়ায় যে এই গেমগুলির সাথে বব এর ন্যূনতম জয়ের প্রতিক্রিয়াগুলির যোগফল তার বাজেটকে ছাড়িয়ে যায়, যা ন্যাপস্যাক-স্টাইল সমস্যা হিসাবে প্রত্যাখ্যান করা যেতে পারে, যা বহু-সময়কালীন ডিপি রয়েছে ব্যয়ের অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনা। (আমার পুনরাবৃত্তি আসলে '

এটি প্রমাণিত হয়েছে যে প্রতিটি গেমের জন্য এমনকি একটি সাধারণ গাছের কাঠামো, ধ্রুবক গভীরতা এবং প্রতি খেলায় সত্যিকার অর্থে কেবলমাত্র একটি অর্থপূর্ণ কাঁটাচামচ (যিনি শুরুতে ববকে সত্যের কার্যনির্বাহী নির্বাচন করতে বাধ্য করেন) এনপি-কঠোরতা পেতে যথেষ্ট। সেই প্রাথমিক কাঁটাচামচ থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য আমার কিছু ধারণা ছিল, যা কোনওভাবেই অলিসকে এই গেমগুলির আগাম প্রস্তুতি না নিয়ে গেমসে তুলনামূলকভাবে বড় পরিমাণের মূলধন বিনিয়োগ করতে বাধ্য করেছিল , তবে স্পষ্টতই যেহেতু টেবিল-গেমটি রয়েছে পি এটি কাঁটাচামচ ছাড়া সম্ভব নয়।$n$

ইউপিডি 3 থেকে আপনার বিশেষ কেস সম্পর্কে আমি খুব বেশি ভাবিনি । আমার সন্দেহ হয় এটি এনপি-হার্ডও বটে, কারণ আমার ভেরিয়েবল গ্যাজেটগুলি এক নজরে মনে হয় যেমন তারা এই সীমাবদ্ধতার সাথে খাপ খাইয়ে নিতে পারে তবে আমি সম্ভবত এটি আরও পরে দেখব না।

Answer 2

আপডেট: সম্ভবত ভুল, একটি এভিনিউ অন্বেষণ করার রেকর্ড হিসাবে আপ ছেড়ে। মন্তব্য দেখুন।

আপডেট 2: অবশ্যই ভুল।

(বি) -1-> (এ) -1-> (বি), অর্থাৎ গ্রাফটি বিবেচনা করুন , যেখানে , , 1, 2, 3 শীর্ষে যথাক্রমে বি, এ, বি লেবেলযুক্ত এবং প্রান্তগুলি 1 এর জন্য নির্ধারিত ব্যয়।$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

, নির্ধারণ করে মাল্টি-গেমের একটি 3-গেমের উদাহরণটি সংজ্ঞায়িত করুন তিনটি গেমটি দিয়ে শুরু হবে স্পষ্টতই এলিস এই গেমটি জিততে পারে না।$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

তবে নীচের পুনরাবৃত্তিটি জন্য ব্যর্থ হয়েছে : প্রথম দুটি গেম এবং তৃতীয় গেমের মধ্যে তহবিলের সমস্ত বিভাজন এর মধ্যে তহবিল এর কোনও বিভাজন নেই , উভয় এবং । যদি বা , তবে ; এবং যদি তবে ।$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

আমি এই পদ্ধতির উদ্ধার করার জন্য তাত্ক্ষণিক উপায় দেখছি না। এবং এর পরিমাণ নির্ধারণের ক্রমটিকে বিপরীত করা পুনরাবৃত্তিটি প্রশ্ন পোস্টের আপডেট 2 এ উদাহরণটিতে ব্যর্থ করে তোলে।$u$$v$

---

একটি -গেমের উদাহরণ দেওয়া হয়েছে$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

Precompute

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

সমস্ত গেম এবং সমস্ত , ।$x \le m_A$$y \le m_B$

দ্বারা চিহ্নিত বহু-GAME এর বিজয়ী যদি উদাহরণস্বরূপ প্রথম অবধি সীমিত থাকবে গ্রাফ এবং তহবিল , । ( যদি বব জয়ী হয়, অন্যথায়$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

এবং

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

, অন্যথায় "না" আউটপুট ।$M[n, m_A, m_B] = A$

Comments

আপনার অ্যালগরিদম ভুল। আমার পোস্টে চিত্রের গ্রাফটি বিবেচনা করুন। এই জাতীয় দুটি গ্রাফ সহ বহু-গেমটি বিবেচনা করুন। এখানে ডাব্লু [1,0,2] = ডব্লু [2,0,2] = বি এবং ডাব্লু [1,1,3] = ডব্লু [2,1,3] = বি। যাইহোক, m_A = 1 এবং m_B = 5 দিয়ে মাল্টি-গেমের জন্য অ্যালিস জিতেছে

— আলেক্সি

উফ। Univerally পরিমাণে চেষ্টা পুনরাবৃত্তি হবে? আমি এর মধ্যে এটি পরীক্ষা করব। $u$

— gdmclellan

কোয়ান্টিফায়ারগুলিতে পরিবর্তন সহ @ অ্যালেক্সি মিলোভানভকে উদাহরণটি হিসাবে দেখা উচিত। তবে আপনি এই পদ্ধতির বিষয়ে আমার মনে সন্দেহ পোষণ করেছেন। দেখে মনে হচ্ছে এটির জন্য ববকে এমন একক তহবিল বিতরণ করতে হবে যা অ্যালিসের দ্বারা সমস্ত বিতরণকে পরাজিত করতে পারে। এটি বলেছিল, আমি নিশ্চিত নই যে আমাকে এখানে মূল ধারণা থেকে সরিয়ে দেওয়া হয়েছে: এই সমস্যাটি আসলে খেলা সম্পর্কে নয়। সম্পর্কিত সমস্যা সম্পর্কে কিছু জানা যায় যেখানে প্রতিটি গেইম উদাহরণটি একটি সাধারণ টেবিল দ্বারা উপরে লা ডাব্লু দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়?

— gdmclellan

টেবিল ডাব্লু বিজয়ীর সংজ্ঞা দেয় না। আমি জানি না যে এটি অন্য কোনও টেবিলের জন্য সত্য ...

— আলেক্সি মিলোভানভ

@ অ্যালেক্সি মিলোভানভ সংজ্ঞা অনুসারে টেবিল ডাব্লু কোনও গেমের ইনপুট গ্রাফকে বিচ্ছিন্ন করে গেমের উদাহরণগুলির বিজয়ীকে নির্ধারণ করে। আমি নিশ্চিত নই আপনি কেন অন্যথায় বলবেন। আমি আমার জবাবটি একটি পাল্টা নমুনা দিয়ে আপডেট করেছি যদিও, যদি কোনও ভুল স্থির থাকে যে এটি ভুল ছিল।

— gdmclellan

Answer 3

উপরের আমার মতামত অনুসারে, এখানে একটি হ্রাস যা আমি মনে করি সমস্যাটি পিএসপিএসিই-হার্ড (এবং সম্ভবত সম্পূর্ণরূপে) হতে দেখায় shows নোডের সাথে , Let নম্বরযুক্ত , সমস্ত জন্য নোড থেকে সাথে একটি লিঙ্ক সহ গ্রাফ , নোড জন্য চিহ্নিত ব্যতীত অন্য সমস্ত নোড হতে দিন বি জন্য চিহ্নিত, এবং চিট প্রাথমিকভাবে উপর সন্তুষ্ট । (এখানে সমস্ত প্রান্তের দাম 1)। এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে বি জিতেছে যদি তাদের কাছে ডলার থাকে। (যদি প্রয়োজন হয় তবে আমরা বাদে প্রতিটি নোড থেকে ইউনিট-কাস্ট প্রান্ত দিতে পারি$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$নিজের কাছে, যেহেতু A সর্বদা চিটটিকে যতটা সম্ভব থেকে দূরে রাখতে চান এবং বি সর্বদা এটি আরও কাছাকাছি নিয়ে যেতে চাইবে; প্রকৃতপক্ষে, যদি স্ব-লিঙ্কগুলি অনুমোদিত না হয় তবে আমরা লাইনটি দুটি অনুলিপিতে 'দ্বিগুণ' করতে পারি, দ্বিদ্বামী লিঙ্কগুলির সাথে একটি মই গঠন করি।$0$

এখন, গ্রাফ দুটি অতিরিক্ত নোডের সাথে বিবেচনা করুন এবং : নোড সাথে কিছু এবং , এবং নোড সাথে এবং (ধারণা করুন যে এলটি) )। এই লিঙ্কগুলির সমস্তটির দাম শূন্য। (হ্রাসের জন্য এটি কঠোরভাবে প্রয়োজনীয় নয়, তবে এটি সুবিধাজনক)) এবং উভয়ই এ জন্য চিহ্নিত করা হয়েছে Clear বি থেকে স্পষ্টতই বি যেতে চাইবে যেখানে ক যেতে চাইবে$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$(এ মোটেও চলাফেরা করতে পছন্দ করবে না, তবে খ এর জন্য ব্যয় আরও বাড়িয়ে তোলার জন্য যাওয়ার উপযুক্ত হতে পারে ))। একইভাবে, এটি বিন্যাস করা যেতে পারে যে বি কখনই এ যেতে চায় না এবং এ সবসময় চায়। তারপর খেলা-তাত্ত্বিক এইসব অবস্থান মান । তবে এটি জানা যায় যে এই ধরণের একটি গেমের সমষ্টি (অর্থাত্ গ্রাফ) এর মূল্য নির্ধারণ করা PSPACE- সম্পূর্ণ; এটি লরা জো ইয়েদহের মাস্টার্স থিসিসে প্রদর্শিত হয়েছিল । সুতরাং আপনার সমস্যা কমপক্ষে PSPACE- হার্ড।$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$

Comments

থিসিসের প্রমাণগুলি গেমগুলিতে আই, জে এবং কে এর বড় মান ব্যবহার করে। নোট করুন যে এখানে সমস্ত ওজন বেশিরভাগ খেলোয়াড়ের রাজধানী হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে, যা এককভাবে উপস্থাপিত হয়েছিল।

— অ্যান্টি রাইস্কি

@ আন্টিরিস্কেö আমাকে তার প্রমাণটি আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখতে হবে; আমি বিশ্বাস করি গো এন্ডগেমগুলির পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণতার উপর ফলাফল থিসিস ফলাফলটি ব্যবহার করে এবং অবিচ্ছিন্ন গণনাও ধরে নেয় (যেহেতু, আমি / জে / কে বোর্ড অঞ্চলগুলির আকার থেকে আসে)।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

এটি অস্পষ্ট: এখানে বা প্রান্ত রয়েছে ? যদি সমস্ত ( বাদে ) নোডগুলি এ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় তবে অ্যালিস সরবে না ...β $\alpha$$\beta$$0$

— আলেক্সি মিলোভানভ

@AlexeyMilovanov ওহো, এটি আমার দোষ - এছাড়াও সংযুক্ত থাকবে । এছাড়াও, অ্যালিস এখনও এমন একটি অবস্থান থেকে সরে যেতে চাইতে পারে; কেসটি কল্পনা করুন যেখানে আমাদের কেবলমাত্র লিঙ্ক সহ একটি নোড, , এবং ববকে ডলার রয়েছে। তারপরে অ্যালিস ববকে থেকে সরানো এবং অবশেষে বিজয়ী রাখার জন্য চলে যাবে । β α [ i ] > [ জে ] জে ১ + [ আই ] [ জে $\alpha$$\beta$$\alpha$$[i] \gt [j]$$j+1$$[i]$$[j]$

— স্টিভেন স্টাডনিকি

@ স্টিভেনস্টাডনিকি এটি চুরি করা অস্পষ্ট: দীক্ষা নোড থেকে বা অর্জন করা সম্ভব ? এছাড়াও যদি সমস্ত চিপস বি তে না থাকে তবে ববকে যেতে হবে, সুতরাং আপনার খেলায় বব সমস্ত গ্রাফে একটি অর্জন করবে (এবং জিতবে) অথবা বব যথেষ্ট পরিমাণে পাবে না এবং হারাবে। β $\alpha$$\beta$$n$

— আলেক্সি মিলোভানভ