ম্যাট্রিক্সের গুণটি

Question

এটি সাধারণত বিশ্বাস করা হয় যে সমস্ত $\epsilon > 0$ জন্য ও ( এন 2 + ϵ ) সময়ে দুটি $n \times n$ ম্যাট্রিককে গুণ করা সম্ভব । কিছু আলোচনা এখানে ।$O(n^{2 + \epsilon})$

আমি এমন কিছু লোককে জিজ্ঞাসা করেছি যারা গবেষণার সাথে আরও বেশি পরিচিত তারা কি মনে করেন যে ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য একটি ও ( এন 2 লগ কে এন ) অ্যালগরিদম রয়েছে এমন $k>0$ এর চেয়ে $n$ আছে কি না এবং তারা অত্যধিকভাবে অন্তর্নিহিত বলে মনে হয়েছে যে উত্তরটি "না" তবে এটি কেন ব্যাখ্যা করতে পারেনি। অর্থাৎ, তারা বিশ্বাস করে যে আমরা এটি ও ( এন 2.001 ) সময়ে করতে পারি , তবে ও ( এন 2 লগ 100 এন ) সময়ে নয়।$O(n^2 \log^k n)$$O(n^{2.001})$$O(n^2 \log^{100} n)$

কোনও স্থির k > 0 এ কোনও $O(n^2 \log^k n)$ অ্যালগরিদম নেই বলে বিশ্বাস করার কী কারণ রয়েছে ?$k>0$

Answer 1

এন 2 পললগ ( এন ) পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপগুলিতে একটি এন 0.12 × এন ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $N \times N^{0.172}$ ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে । প্রধান এটা জন্য ব্যবহৃত পরিচয় কপারস্মিথ এর কাগজ "আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের রাপিড গুণ", কিন্তু কেন এটা বাড়ে জন্য ব্যাখ্যা থেকে আসে এন 2 polylog ( এন ) এর পরিবর্তে এন 2 + + ε উইলিয়ামসের এর পরিশিষ্ট হয় কাগজ , "নতুন অ্যালগোরিদম এবং লিনিয়ার প্রান্তিক গেটগুলি সহ সার্কিটের জন্য নিম্ন সীমানা "।$N^{0.172} \times N$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^{2 + \epsilon}$

এটি কেবলমাত্র কাজ করে কারণ কপারস্মিথের পরিচয়ের কিছু অতিরিক্ত কাঠামো রয়েছে যার সুবিধা আপনি নিতে পারেন এবং আরও সাম্প্রতিক এমএম অ্যালগরিদমগুলি এই কাঠামোটি বলে মনে হয় না। এটি বলেছিল, আমি নিশ্চিত নই যে কেন কেউ এই পদ্ধতির $N \times N \times N$ ম্যাট্রিক্স গুণনের দিকে প্রসারিত করতে পারে না ।

Answer 2

$A_\epsilon$$O(n^{2+\epsilon})$$O(n^2 poly(\log n))$

$O(n^2 poly(\log n))$

Comments

আমি নিশ্চিত না যে কীভাবে কোনও পরিবার থাকার কারণে ও (এন ^ 2 পলি (লগ এন)) এর পক্ষে বুদ্ধিমানভাবে নেতৃত্ব না ঘটে কারণ যেহেতু যদি কেউ পরিবারকে যথেষ্ট ভালভাবে বর্ণনা করতে পারে তবে কেউ আরও বৃহত্তর এন এর জন্য পরিবারের আরও এবং বেশি দক্ষ সদস্য বেছে নিতে পারে। এরপরে কেবল কারণটি হ'ল এটি প্রশংসনীয়ভাবে O (n ^ 2poly (লগ এন)) নয় যে জড়িত ধ্রুবকগুলি সম্ভবত খুব বড় হবে, তবে এটি অবশ্যই স্পষ্ট নয় যে এটি অবশ্যই প্রয়োজন।

— জোশুয়াজেড

$O(n^{2+x})$$\varepsilon > 0$$O(n^{2+\varepsilon})$

@ জোশুয়াজ আমি মনে করি যে অন্য কোনও অযৌক্তিক উপায়ে এটি ব্যর্থ হতে পারে যদি কোনওভাবে কোনও পরিবারের সদস্য বাছাই / বানাতে O (n ^ 2 পলি (লগ এন)) সময়ের চেয়ে বেশি সময় লাগে - সম্ভবত O (1 / e) কোডের প্রয়োজন হয় ও (এন ^ (2 + ই)) অ্যালগরিদম বা কিছু বাস্তবায়ন করুন। বন্য হবে না ??

— ড্যানিয়েল ওয়াগনার

Answer 3

জোশ আলমান এমএম এর কয়েকটি দুর্দান্ত নিম্ন ফলাফল দেখিয়েছিল, যা সিসিসি 2019 সেরা ছাত্রের পেপারের পুরস্কার জিতেছে! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf

Comments

$O(n^2 poly(log n))$

@ জোশুয়াগ্রো এই সমস্যাটি দেখানোর জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— রুপি Xu