আমরা কীভাবে সম্পূর্ণ অবিস্মরণীয় পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রামটি দ্রুত সমাধান করতে পারি?

Question

(এই একটি ফলো-আপ এই প্রশ্নের এবং তার উত্তর ।)

আমার কাছে নিম্নলিখিত সম্পূর্ণ আনমোডুলার (টিইউ) পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রাম (আইএলপি) রয়েছে। এখানে ইনপুট অংশ হিসেবে দেওয়া সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। X i j ভেরিয়েবলের একটি নির্দিষ্ট উপসেটটি শূন্যে সেট করা আছে, এবং বাকিগুলি ইতিবাচক অবিচ্ছেদ্য মানগুলি নিতে পারে:$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

কমান

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

বিষযে:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের সহগ ম্যাট্রিক্স হ'ল - ( 1 , 0 , 1 ) এন্ট্রি সহ একটি ম্যাট্রিক্স ।$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

এই জাতীয় আইএলপি সমাধান করে বহুবর্ষ-সময়ের অ্যালগোরিদমগুলির চলমান সময়ের জন্য পরিচিত সেরা সর্বোপরি সীমাগুলি কী কী? আপনি এই সম্পর্কে কিছু রেফারেন্স আমাকে নির্দেশ করতে পারেন?

আমি কিছু অনুসন্ধান করেছি, তবে বেশিরভাগ জায়গায় তারা এই বলে থামিয়ে দিয়েছিল যে এলপির জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম ব্যবহার করে একটি টিইউ আইএলপি বহুবর্ষে সমাধান করা যায়। প্রতিশ্রুতিবদ্ধ মনে হচ্ছিল একটি জিনিস ১৯৮6 এর তার্ডোসের একটি কাগজ [১] যেখানে তিনি প্রমাণ করেছেন যে এই জাতীয় সমস্যাগুলি সহগ ম্যাট্রিক্সের আকারে বহুবর্ষে সমাধান করা যায়। যতদূর আমি কাগজটি থেকে বের করতে পারি, তবে, এলগোরিদমের চলমান সময়টি এলপি সমাধানের জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদমের চলমান সময়কে পালটে নির্ভর করে।

এলপি সমস্যা সমাধানকারী সাধারণ অ্যালগরিদমের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে এই বিশেষ কেস (টিইউ আইএলপি-র) সমাধান করে এমন অ্যালগরিদমগুলি কী আমরা জানি?

যদি না,

এলপির জন্য কোন অ্যালগরিদম এই জাতীয় আইএলপি সবচেয়ে দ্রুত সমাধান করতে পারে (অ্যাসিপটোটিক অর্থে)?

[1] সংযুক্তি রৈখিক প্রোগ্রামগুলি সমাধান করার জন্য একটি দৃ strongly়ভাবে বহুপদী আলগোরিদম, ইভা তারদোস, অপারেশনস গবেষণা 34 (2), 1986

Comments

আপনি আপনার আগের পোস্টটিতে যে উত্তরের উল্লেখ করেছেন তাতে নির্দেশিত হিসাবে, আপনার সমস্যাটি পরিবহন সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যার ফলে ন্যূনতম-ব্যয় প্রবাহের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছে। এই দুটি সমস্যার জন্য দ্রুত অ্যালগরিদম জিজ্ঞাসা করা পোস্টগুলির জন্য এখানে এবং এখানে দেখুন ।

— নিল ইয়ং

Answer 1

আমি বিশ্বাস করি ইন্নাকাকিস দ্বারা সম্পূর্ণ ইউনিমোডুলার ম্যাট্রিক্সের ক্লাসে, টিইউ আইএলপি-র একটি বিশেষ ক্ষেত্রে (যখনই কোনও সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স হিসাবে গুণমানের ম্যাট্রিক্স দেখে প্রাপ্ত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফে কোনও বিজোড় চক্র নেই) আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়।

সেই কাগজে লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলির এক শ্রেণির জন্য পলিনোমিয়াল অ্যালগরিদমগুলির একটি উল্লেখ রয়েছে , যা সমস্ত সম্পূর্ণ ইউনিমোডুলার ম্যাট্রিক্স পরিচালনা করে বলে মনে হয় তবে এলপিগুলির জন্য জেনেরিক অ্যালগরিদমের সাথে তুলনামূলকভাবে এটি আরও কতটা দক্ষ তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই।

Answer 2

$O([n^3/\ln n]L)$

Answer 3

এটি দেখানো হয়েছে যে সম্পূর্ণ অ-নিয়মিত এলপিটি একটি "ডিজেনরেসি অনুমান" এর অধীনে দৃ pol়ভাবে বহুপদী সময়ে দ্রবণযোগ্য - এখানে লিঙ্ক করুন (সুতরাং যদি আইএলপিতে একই অনুমানের সাথে একটি সম্পূর্ণ ইউনিমোডুলার (টিইউ) গঠন থাকে তবে এই অ্যালগরিদম টিউ আইএলপি সমাধান করবে, ইন শক্তিশালী বহুবর্ষের সময়।এটি টার্ডোসের পদ্ধতিগুলি থেকে বিকাশ, এবং টিউ (টোটালি ইউনিমোডুলার) আইএলপি গঠনের আরও কঠোর সীমাটি বোঝায়।