কোয়ান্টির অর্ডার বিপরীত করার কৌশলগুলি

Question

এটি সুপরিচিত যে সাধারণভাবে, সর্বজনীন এবং অস্তিত্বের পরিমাণের ক্রমটি বিপরীত হতে পারে না। অন্য কথায়, একটি সাধারণ যৌক্তিক সূত্র for ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

অন্যদিকে, আমরা জানি ডান হাতটি বাম-হাতের চেয়ে বেশি সীমাবদ্ধ; অর্থাৎ, $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ ।

এই প্রশ্নটি (ora ফোরাল এক্স) (\ বিদ্যমান y) \ ফাই (এক্স, ওয়াই) \ রাইটারো (\ বিদ্যমান y) (ora ফোরাল এক্স) \ ফাই (এক্স, ওয়াই) প্রাপ্ত করার কৌশলগুলিতে কেন্দ্রীভূত হয়েছে $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$, যখনই এটি \ ফাই রাখে (\ cdot, \ cdot)$\phi(\cdot,\cdot)$ ।

ডায়াগোনালাইজেশন এমন একটি কৌশল। আমি প্রথম কাগজে diagonalization এই ব্যবহার দেখতে এর Relativizations $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ প্রশ্ন (এছাড়াও দেখুন কাট্স দ্বারা সংক্ষিপ্ত নোট )। সেই কাগজে লেখকরা প্রথমে প্রমাণ করেছেন:

যে কোনও নির্বিচারে, বহু-কালীন ওরাকল মেশিন এম এর জন্য, L_B \ Ne L (M ^ B) এর মতো একটি ভাষা বি রয়েছে $L_B \ne L(M^B)$।

তারপরে তারা প্রমাণের জন্য কোয়ানটিফায়ারগুলির ক্রমটি বিপরীত করে ( তির্যক ব্যবহার করে ):

একটি ভাষা বি রয়েছে যেমন সমস্ত , পলি-টাইম এম এর জন্য আমাদের কাছে ।$L_B \ne L(M^B)$

এই কৌশলটি অন্যান্য কাগজপত্রগুলিতে যেমন [সিজিএইচ] এবং [এএইচ] ব্যবহার করা হয় ।

আমি [আইআর] এর থিয়েরেম 6.3 এর প্রমাণে অন্য কৌশলটি পেয়েছি । এটি পরিমাপ তত্ত্ব এবং পায়রা-গর্ত নীতি একটি সংমিশ্রণ কোয়ান্টিফায়ার ক্রম বিপরীত ব্যবহার করে।

আমি জানতে চাই যে কম্পিউটার বিজ্ঞানে অন্যান্য কী কী কৌশল ব্যবহৃত হয়, সর্বজনীন এবং অস্তিত্বের কোয়ান্টিফায়ারগুলির ক্রমকে বিপরীত করতে?

Comments

বাহ, এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন। কেবল এটি পড়ার ফলে আমাকে "পরিচিত" অবজেক্টগুলিকে অন্যরকমভাবে নজর দেওয়া হয়েছিল। ধন্যবাদ!

— মার্ক রিটব্ল্যাট

Answer 1

কোয়ান্টিফায়ারগুলির বিপরীত হওয়া একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি যা প্রায়শই সুপরিচিত উপপাদ্যের পিছনে থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, বিশ্লেষণে মধ্যে পার্থক্য এবং পয়েন্টওয়াইজ এবং অভিন্ন ধারাবাহিকতার মধ্যে পার্থক্য । একটি সুপরিচিত উপপাদ্য বলেছেন যে প্রতিটি পয়েন্টওয়াইজ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রটি সমানভাবে অবিচ্ছিন্ন থাকে তবে শর্ত থাকে যে ডোমেনটি দুর্দান্ত, যেমন কমপ্যাক্ট ।$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

আসলে, সংক্ষিপ্ততা কোয়ান্টিফায়ার বিপরীত কেন্দ্রে। এবং দুটি দুটি ডেটাটাইপ বিবেচনা করুন যার মধ্যে ছাড়িয়ে গেছে এবং কমপ্যাক্ট (এই শর্তাবলীর ব্যাখ্যার জন্য নীচে দেখুন), এবং এবং মধ্যে একটি আধাআধি সম্পর্কযুক্ত হতে দিন । বিবৃতি নিম্নরূপ পড়া যেতে পারে: যে বিন্দু মধ্যে কিছু দ্বারা আচ্ছাদিত করা হয় । যেহেতু সেটগুলি " খোলা" (semidecidable) এবং$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$কমপ্যাক্ট রয়েছে একটি সীমাবদ্ধ সাবকভার আছে। আমরা প্রমাণ করেছি যে বোঝায় প্রায়ই আমরা সসীম তালিকা অস্তিত্ব কমে যায় একটি একক থেকে । উদাহরণস্বরূপ, যদি রৈখিকভাবে অর্ডার দেওয়া হয় এবং অর্ডারটির সাথে একঘেয়ে থাকে তবে আমরা কে এর বৃহত্তম হতে পারি ।

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

এই নীতিটি কোনও পরিচিত ক্ষেত্রে কীভাবে প্রয়োগ করা হয় তা দেখতে, আসুন আমরা বিবৃতিটি দেখি যে a একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। বাইরের ইউনিভার্সাল কোয়ান্টিফায়ার সম্পর্কে বিভ্রান্ত না হওয়ার জন্য আমরা We কে একটি মুক্ত পরিবর্তনশীল হিসাবে রাখি: কারণ কমপ্যাক্ট এবং বাস্তবের তুলনাটি semidecidable, বিবৃতি সেমিডেসিডেবল। ইতিবাচক বাস্তবগুলি ছাড়িয়ে গেছে এবং কমপ্যাক্ট, সুতরাং আমরা নীতিটি প্রয়োগ করতে পারি: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ যেহেতু এ mon ডেল্টা_1, d এলডটস, ta ডেল্টা_-এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট একটি তাই ইতিমধ্যে আমাদের কেবল একটি : আমরা যা পেয়েছি তা অভিন্ন ধারাবাহিকতা ।$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

অস্পষ্টভাবে বলতে, একটি ডাটাটাইপ হয় কম্প্যাক্ট যদি এটি একটি গণনীয় সার্বজনীন কোয়ান্টিফায়ার এবং আছে প্রত্যক্ষ যদি এটি একটি গণনীয় অস্তিত্ববাদের কোয়ান্টিফায়ার হয়েছে। (অ-নেতিবাচক) পূর্ণসংখ্যাগুলি overt ছাড়িয়ে গেছে কারণ সেমিডিসাইড করার জন্য আছে কিনা , semidecidable সহ, আমরা dovetailing দ্বারা প্যারালেল অনুসন্ধান সম্পাদন করি । ক্যান্টর স্পেস comp কমপ্যাক্ট এবং ছাড়িয়ে গেছে, যেমন পল টেলরের অ্যাবস্ট্রাক্ট স্টোন ডুয়ালিটি এবং মার্টিন এসকার্ডোর "সিনেট্যাটিক টপোলজি অফ ডেটাটাইপস এবং ক্লাসিকাল স্পেসস " ( অনুসন্ধানযোগ্য জায়গাগুলির সম্পর্কিত ধারণাটিও দেখুন ) দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে।$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

আপনার উল্লিখিত উদাহরণটিতে নীতিটি প্রয়োগ করুন। বুলিয়ান মানগুলির জন্য আমরা একটি নির্দিষ্ট বর্ণমালা থেকে (সীমাবদ্ধ) শব্দ থেকে একটি ভাষা মানচিত্র হিসাবে দেখি। যেহেতু সীমাবদ্ধ শব্দগুলি পূর্ণসংখ্যার সাথে গণনাযোগ্য বাইজিকিক চিঠিপত্রের মধ্যে থাকে আমরা কোনও ভাষাটিকে বুলিয়ান মানগুলির পূর্ণসংখ্যার থেকে মানচিত্র হিসাবে দেখতে পারি। এটি হ'ল, সমস্ত ভাষার ডেটাটাইপ হ'ল গণনাযোগ্য আইসোমরফিজম অবধি, সঠিকভাবে ক্যান্টোর স্পেসে nat -> boolবা গাণিতিক স্বরলিপিটিতে , যা কমপ্যাক্ট। একটি বহুপাক্ষিক-সময় টুরিং মেশিনটি তার প্রোগ্রাম দ্বারা বর্ণিত হয়, যা একটি সীমাবদ্ধ স্ট্রিং, সুতরাং সমস্ত (স্থানের প্রতিনিধিত্ব) ট্যুরিং মেশিনের স্থান বা হিসাবে গ্রহণ করা যেতে পারে , যা ছাড়িয়ে যায়।$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

একটি ট্যুরিং মেশিন এবং একটি ভাষা , the যে বক্তব্যটি "ভাষা দ্বারা প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে " অর্ধনমিতযোগ্য কারণ এটি সত্যই নির্ধারণযোগ্য: কেবল ইনপুট দিয়ে চালান এবং দেখুন কী এটা করে. আমাদের নীতির জন্য শর্তগুলি সন্তুষ্ট! "প্রতিটি ওরাকল মেশিন এর একটি ভাষায় রয়েছে যা দ্বারা স্বীকৃত নয় " " as হিসাবে প্রতীকীভাবে লেখা হয়েছে কোয়ান্টিফায়ারগুলির বিপরীত হওয়ার পরে আমরা পাই $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ ঠিক আছে, তাই আমরা চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি ভাষাতে নেমে এসেছি। আমরা কি তাদের একক একত্রিত করতে পারি? আমি এটি একটি অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দেব (নিজের এবং আপনার জন্য!)।

কীভাবে রূপান্তর করা যায় তার সামান্য সাধারণ আপনি আগ্রহী হতে পারেনof ফর্মের সমতুল্য বিবৃতিতে , বা বিপরীতে। এটি করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• স্কোলিম স্বাভাবিক ফর্ম ,
• হারব্র্যান্ড সাধারণ ফর্ম ,
• গডেলের কার্যকরী ব্যাখ্যা ।

Comments

এটি একটি খুব সাধারণ শর্ত (একটি স্থান অবশ্যই ওভারটেক্ট হওয়া উচিত, অন্যটি কমপ্যাক্ট, এবং সম্পর্কটি উন্মুক্ত), তবে এটি একটি কৌশলও: যদি আপনি শর্তগুলি পূরণ করে এমন টপোলজগুলি খুঁজে পেতে পারেন তবে আপনি কোয়ানটিফায়ারগুলিকে উল্টাতে পারেন।

— আন্দ্রেজ বাউর

@ আন্দ্রেজ, আপনার উত্তরটি সত্যিই ভাল এবং শিক্ষামূলক। কমপ্যাক্টনেস এবং বিপরীত কোয়ান্টিফায়ারগুলির মধ্যে কোনও সম্পর্ক নেই, এই পোস্টটি উপস্থিত না হওয়া পর্যন্ত আমি কখনই জানতাম না। আমি আলোকিত বোধ করি।

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之

কি আশ্চর্য উত্তর।

— সুরেশ ভেঙ্কট 22'11

আমি দুশ্চিন্তাগ্রস্ত. আমি আশা করি আরও বেশি লোক যুক্তি, গণনা এবং টপোলজির মধ্যে অন্তরঙ্গ সংযোগ সম্পর্কে জানতেন।

— আন্দ্রেজ বাউর

@ আন্দ্রেজ: "যুক্তি, গণনা এবং টপোলজির মধ্যে অন্তরঙ্গ সংযোগ" সম্পর্কে একটি ভাল রেফারেন্স (বিশেষত একটি বই বা একটি বক্তৃতা নোট) আছে?

— এমএস দৌস্তি

Answer 2

ইম্পাগলিয়াজোর হার্ড-কোর সেট লেমা আপনাকে গণনা-কঠোরতা অনুমানের প্রসঙ্গে কোয়ান্টিফায়ারগুলিকে স্যুইচ করতে দেয়। আসল কাগজ এখানে । গুগলিংয়ের মাধ্যমে আপনি প্রচুর সম্পর্কিত কাগজপত্র এবং পোস্টগুলি পেতে পারেন।

থিম বলছেন যে যে জন্য অ্যালগরিদম একটি অস্তিত্ব আছে ইনপুট বৃহৎ সেট যার ওপর ভিত্তি করে গনা একটি নির্দিষ্ট ফাংশন f ব্যর্থ হয়, তারপর আসলে অস্তিত্ব আছে ইনপুট বৃহৎ সেট যার উপর যে অ্যালগরিদম 1 পাসে সম্ভাব্যতা সঙ্গে চ গনা করতে ব্যর্থ / 2।

এই লেমমাটি ন্যূনতম সর্বাধিক উপপাদ্য বা বুস্টিং (গণনামূলক শিখন তত্ত্বের একটি কৌশল) ব্যবহার করে প্রমাণিত হতে পারে, উভয়ই কোয়ান্টিফায়ার স্যুইচিংয়ের উদাহরণ।

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত পয়েন্ট।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 3

আমার কাছে, কার্প-লিপটন উপপাদ্যের "ক্যানোনিকাল" প্রমাণ (যে ) এর স্বাদ রয়েছে। তবে এখানে এটি প্রকৃত তাত্ত্বিক বিবৃতি নয় যেখানে কোয়ান্টিফায়ারগুলি বিপরীত হয়, বরং এর ছোট সার্কিট রয়েছে এমন অনুমানটি ব্যবহার করে "কোয়ান্টিফায়ার্স" পরিবর্তিত গণনার মডেলটির মধ্যে বিপরীত হয় ।$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

আপনি ফর্মের একটি গণনা অনুকরণ করতে চান

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

যেখানে একটি বহু-কালীন ভবিষ্যদ্বাণী is সন্তুষ্টিযোগ্যতার জন্য একটি ছোট সার্কিট অনুমান করে আপনি এটি করতে পারেন , পরিবর্তন করে যাতে এটি নিজে পরীক্ষা করে এবং যখন এর ইনপুটটি সন্তুষ্ট হয় তখন একটি সন্তোষজনক অ্যাসাইনমেন্ট তৈরি করে। তারপরে সকল জন্য একটি SAT উদাহরণ যা এর সমতুল্য এবং এটি সমাধান করুন। সুতরাং আপনি ফর্মের সমতুল্য গণনা তৈরি করেছেন$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ অনুসারে সন্তুষ্টিযোগ্য ।$C]$

Comments

বিশিষ্ট! এটি অনুমান-ভিত্তিক কোয়ান্টিফায়ার স্যুইচিংয়ের একটি উদাহরণ।

— এমএস দৌস্তি

যদিও এটি পুরোপুরি সঠিক, আমি পরিবর্তে লেখার পরামর্শ দিতে চেয়েছিলাম , যেহেতু এনপি কখনও পি / পলির সমান করতে পারে না। $NP \subset P/poly$$NP \subseteq P/poly$

— এমএস দৌস্তি

Answer 4

সম্ভাব্য পদ্ধতিতে আবদ্ধ ইউনিয়নের প্রাথমিক ব্যবহারকে কোয়ান্টিফায়ারগুলির ক্রমকে বিপরীত করার উপায় হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদিও ইনি ইতিমধ্যে প্রশ্নটিতে স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয়েছে কারণ ইম্পাগলিয়াজো এবং রুডিচের প্রমাণটি এর উদাহরণ, তবে আমি মনে করি এটি আরও স্পষ্ট করে বলার অপেক্ষা রাখে না।

ধরুন যে এক্স সসীম এবং যে প্রতি জন্য এক্স ∈ এক্স , আমরা জানি না শুধুমাত্র যে কিছু Y ∈ ওয়াই সন্তুষ্ট φ ( এক্স , Y ) কিন্তু এছাড়াও অনেক পছন্দের Y ∈ ওয়াই সন্তুষ্ট φ ( এক্স , Y )। আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরুন যে আমরা জানি ( ∈ x ∈ X ) PR _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | এক্স | ওয়াই সম্পর্কে কিছু সম্ভাব্যতা পরিমাপের জন্য। তারপর আবদ্ধ ইউনিয়ন উপসংহারে Pr পারবেন _{Y ∈ ওয়াই} [(∃ এক্স ∈ এক্স ) ¬ φ ( এক্স , Y )] <1, যা (∃ সমতূল্য Y ∈ ওয়াই ) (∀ এক্স ∈ এক্স ) φ ( এক্স , Y )।

এই যুক্তির বিভিন্নতা রয়েছে:

1. তাহলে এক্স অসীম, আমরা পারি কখনও কখনও discretize এক্স উপর উপযুক্ত মেট্রিক বিবেচনা করে এক্স এবং ε এটি -net। এক্সকে বিবেচনা করার পরে , আমরা উপরের মতো ইউনিয়ন সীমাবদ্ধ ব্যবহার করতে পারি।

2. ঘটনা যখন φ ( এক্স , Y ) বিভিন্ন মানের জন্য এক্স প্রায় স্বাধীন, আমরা ব্যবহার করতে পারেন Lovász স্থানীয় থিম আবদ্ধ ইউনিয়নের পরিবর্তে।

Comments

সোসোশি, এটি অত্যন্ত মারাত্মক বিষয় নয়, তবে নিজেকে মডারেটর হিসাবে মনোনীত করার সময় এসেছে :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 5

আমি আরও কয়েকটি কৌশল যুক্ত করতে চাই। যদিও প্রথম দুটি কৌশল হ'ল সর্বজনীন এবং অস্তিত্বের কোয়ান্টিফায়ারগুলির ক্রমটিকে বিপরীত করার জন্য নয় তবে তাদের খুব স্বাদযুক্ত গন্ধ রয়েছে। অতএব, আমি তাদের এখানে বর্ণনা করার সুযোগ নিয়েছি:

গড় গড় লেমা: এবং আরও অনেক আকর্ষণীয় উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয় । অনানুষ্ঠানিকভাবে , যে অনুমান কিছু লাইব্রেরিতে গ্রাহক সেট উল্লেখ করে, লাইব্রেরিতে বই সেট উল্লেখ করে, এবং এবং , প্রতিজ্ঞা সত্য iff "গ্রাহক বইটি পছন্দ করে । " গড় থিম যে: প্রতিবার যদি , অস্তিত্ব আছে কমপক্ষে 2/3 's যেমন যে ঝুলিতে, তারপর সেখানে একটি একক বিদ্যমান$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, এই ধরনের কমপক্ষে 2/3 যে 's , প্রতিজ্ঞা ঝুলিতে। (এটি সহজেই কমানোর বিজ্ঞাপন অবিশ্বাস্য এবং একটি গণনা যুক্তির মাধ্যমে প্রমাণিত হতে পারে ))$s$$S$$\phi(s,b)$

এখন let এবং কে পিপিটি মেশিনে পরিণত করুন যা সিদ্ধান্ত দেয় । ধরুন এর চলমান সময়টি বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ । তারপরে, কোনও , এবং কমপক্ষে 2/3 এর এর জন্য, , এটি ধারণ করে । এখানে, হল মেশিন যা র্যান্ডমনেস ব্যবহার করে এবং বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশন । গড় লিমাটি তখন যে কোনও for এর জন্য দেখানোর জন্য ব্যবহৃত হয়$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$, একটি একক রয়েছে , যেমন এর দৈর্ঘ্যের , এর কমপক্ষে 2/3 এর জন্য । এই একক পরামর্শ হিসাবে কাজ করে এবং তাই ।$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

থিম সোয়াপিং: Zachos এবং জার্মান নাত্সীদের নেতা হিটলার চালু একটি নতুন সম্ভাব্য কোয়ান্টিফায়ার (যা মোটামুটিভাবে মানে হলো "বেশিরভাগ")। তারা প্রমাণ করেছেন যে (বিশদ বিবরণ বাদ দিয়ে):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

মনে রাখবেন এটি দ্বিতীয়-আদেশের যুক্তিযুক্ত উপপাদ্য।

অদলবদল লেমা ব্যবহার করে তারা বিপিপি-উপপাদ্য এবং বাবাইয়ের উপপাদ্যের মতো কয়েকটি আকর্ষণীয় উপপাদ্য প্রমাণ করেছেন । আমি আপনাকে আরও তথ্যের জন্য মূল কাগজ রেফারেন্স।$MA \subseteq AM$

রায়ান উইলিয়ামস পোস্টে উল্লিখিত কার্প-লিপটনের উপপাদ্যের অনুরূপ একটি উপপাদ্য : ।$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$

Comments

নিতপিকিং: আমি লক্ষ করতে চাই যে বিপিপিপি / পলির প্রকৃত প্রমাণের জন্য এখানে যা লেখা আছে তার চেয়ে একটু বেশি প্রয়োজন, কারণ একটি পরামর্শের স্ট্রিং যা উদাহরণস্বরূপ কেবল 2/3 ভগ্নাংশের জন্য কাজ করে। তবে আমি মনে করি যে এই উত্তরের প্রথমার্ধের গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল বিপিপিপি / পলির প্রমাণটিকে কোয়ান্টিফায়ার রিভার্সালের অনুরূপ কিছু হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা পুরোপুরি বৈধ।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশি: আপনি ঠিক বলেছেন। তবে প্রমাণের বাকী অংশটি ক্রমানুসারে পুনরাবৃত্তি এবং চেরনফকে আবদ্ধ করে, এমন একটি এর অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য যা ইনপুটগুলির তাত্পর্যপূর্ণ ছোট ভগ্নাংশ ব্যতীত সকলের জন্য কাজ করে; এবং যেমনটি আপনি বলেছিলেন, এটি কোয়ান্টিফায়ার রিভার্সালের সাথে সম্পর্কিত নয়, তাই আমি এটি বাদ দিয়েছি। $r$

— এমএস দৌস্তি

আপনি আমার বক্তব্য পেলেন কিনা তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই। আমার বক্তব্যটি হ'ল "অ্যাভারেজিং লেমমা" এর বিবৃতি বিপিপিপি / পলি প্রমাণ করতে যথেষ্ট নয়। আপনার কিছুটা সূক্ষ্ম প্রাক্কলন প্রয়োজন, অর্থাত্ প্রত্যাশিত সম্ভাবনা E_b [pr_s φ (s, b)] এর সর্বাধিক অনুমানের পরিবর্তে সর্বোচ্চ_বি [প্র_স φ (গুলি, বি)]

— সোসোশি ইতো

@ শুয়োশি: আমি ভয় করি যে আমি আপনাকে পেলাম না। পূর্ববর্তী মন্তব্যে, আমি লক্ষ করেছি যে আমরা প্রথমে 1/3 ত্রুটি প্রসারিত করি এবং তারপরে গড় লিমা প্রয়োগ করি। এখানে গোল্ডরিচের বই থেকে নেওয়া একটি পূর্ণ-প্রমাণিত প্রমাণ রয়েছে। আমি কিছু অনুপস্থিত করছি? $2^{-|x|}$

— এমএস দৌস্তি

ধন্যবাদ! আমি আপনার মন্তব্য ভুল বোঝাবুঝি ছিল। আমি জানতাম না যে বিপিপিপি / পলিটি প্রথমে ত্রুটি হ্রাস করে এবং তারপরে গড়ের লেমাকে প্রয়োগ করে প্রমাণ করা যায় (আমি বিপরীত ক্রমের কথা ভাবছিলাম)।

— সোসোশি ইটো