সবচেয়ে স্বল্পতম পথ সমস্যার "আত্মীয়"

Question

অ নেতিবাচক প্রান্ত ওজন সঙ্গে একটি সংযুক্ত undirected গ্রাফ বিবেচনা করুন এবং দুটি বিশিষ্ট ছেদচিহ্ন $s,t$ । নীচে কয়েকটি পথের সমস্যাগুলি নীচে দেওয়া সমস্ত রূপ রয়েছে: একটি $s-t$ পাথ সন্ধান করুন, যেমন পথের প্রান্তের ওজনের কিছু কাজ ন্যূনতম। এই অর্থে তারা সবাই সংক্ষিপ্ত পথ সমস্যার "আত্মীয়"; পরবর্তীকালে ফাংশনটি কেবল যোগফল হয়।

দ্রষ্টব্য: আমরা সরল পাথগুলি খুঁজছি, এটি কোনও পুনরাবৃত্তি বিন্দু ছাড়াই। যেহেতু আমি সাহিত্যে এই সমস্যার জন্য মানক নামগুলি পাইনি, সেগুলি আমি নিজেই রেখেছি।

সর্বনিম্ন ওজনের ব্যবধান সহ পাথ: একটি $s-t$ পাথ সন্ধান করুন, যেমন পাথের বৃহত্তম এবং বৃহত্তমতম ওজনের মধ্যে পার্থক্য সর্বনিম্ন।

স্মুটেস্ট পাথ: একটি $s-t$ পাথ সন্ধান করুন, যেমন পথের বৃহত্তম ধাপের আকার সর্বনিম্ন, যেখানে একটি ধাপের আকার হ'ল একটানা দুটি প্রান্তের মধ্যে ওজনের পার্থক্যের পরম মান ।

সর্বনিম্ন উচ্চতা সহ পাথ: আসুন আমরা পথের ধাপের মাপের সমষ্টি দ্বারা একটি পথের উচ্চতা নির্ধারণ করি (উপরের ধাপের সংজ্ঞাটি দেখুন)। এই একটি $s-t$ ন্যূনতম উচ্চতা সঙ্গে পথ।

ন্যূনতম প্রাথমিক ওজনযুক্ত পথ: ধরে নিলে যে সমস্ত প্রান্তের ওজনগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার, একটি $s-t$ পাথ সন্ধান করুন, যেমন এর ওজন একটি প্রাথমিক সংখ্যা। যদি এমন কোনও পথ থাকে, তবে সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্যতম ওজনযুক্ত একটি সন্ধান করুন।

প্রশ্ন: এই পথের সমস্যাগুলি সম্পর্কে কী জানা যায়? (এবং অন্যান্য যে ওজনগুলির একটি ভিন্ন ক্রিয়াকলাপ প্রয়োগ করে একই রকমের চেতনায় ধারণা করা যেতে পারে)) সাধারণভাবে, কোনও দিকনির্দেশনা আছে যে প্রান্তের ওজনগুলির কোনটি বহুপদী সময়ে হ্রাস করা যেতে পারে, এবং কোনগুলি এনপি-হার্ড?

$s$$t$$s-t$

Answer 1

এখানে প্রথম সমস্যার উত্তর দেওয়া হল:

সর্বনিম্ন ওজনের ব্যবধান সহ পাথ: একটি এস - টি$s-t$

১৯৮৪ সালের একটি কাগজ দেখায় যে যখনই আমরা বহুবর্ষীয় সময়ে কিছু সংশ্লেষিত অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য সম্ভাব্যতা (অচেতন ক্ষেত্রে কোনও সমাধানের সমাধান করতে পারি) সিদ্ধান্ত নিতে পারি, তখন আমরা বহুবর্ষীয় সময়েও একটি সমাধান খুঁজে পেতে পারি যা বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতমের মধ্যে পার্থক্যকে হ্রাস করে ব্যয় সহগ (ওজনযুক্ত ক্ষেত্রে):

এস মার্টেলো, ডব্লিউআর পুল্লিব্ল্যাঙ্ক, পি। টোথ, ডি ডি ওয়েরা
ব্যালেন্সড অপটিমাইজেশন সমস্যা
অপারেশনস রিসার্চ লেটারস 3, 1984, পৃষ্ঠা 275-278

এটি আপনার প্রশ্নের বহুত্বপূর্ণ সময়ের অ্যালগোরিদমকে বোঝায়।

Comments

এটি সর্বাধিক এবং মিনিট এবং তাদের অর্ডার / ওরিয়েন্টেশন গঠন করতে পারে এমন সমস্ত জোড় প্রান্তের উপর একটি নিষ্ঠুর বল অনুসন্ধান দ্বারাও করা যেতে পারে।

— যোনাতন এন

Answer 2

$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$এমনকি বাইনারি ওজনের জন্যও: প্রতিটি বিন্দুতে বহুলোকের অনেকগুলি ( উপর নির্ভরশীল ) সর্বনিম্ন পথের ওজনের ট্র্যাক রাখা যথেষ্ট । যাইহোক, প্রধান ওজন সহ, আমাদের ওজনের পার্থক্যের বিভাজনগুলি (কেবলমাত্র সর্বনিম্ন ওজনের উপর নজর রাখার পরিবর্তে) আলাদা করতে হতে পারে এবং এটি যথেষ্ট কিনা তা পরিষ্কার নয়।$S$

দ্রুততম পথ: এনপি সম্পূর্ণ। যদি আমরা স্ব-ছেদগুলিকে অনুমতি দিয়ে থাকি তবে এটি সময় sol তিলদে মধ্যে সমাধানযোগ্য হবে তবে স্ব-ছেদ ছাড়াই সংস্করণের জন্য এখানে ভেরিয়েবলের সাথে 3-স্যাট থেকে হ্রাস রয়েছে । উল্লম্ব , এবং প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য একটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। প্রতিটি ভেরিয়েবল ( ) এর জন্য, থেকে to পর্যন্ত একটি মসৃণ পথ (যা প্রয়োজনে অতিরিক্ত ব্যবহার করে) যোগ করুন যা ধনাত্মক উপস্থিতি সহ সমস্ত ধারাগুলির মধ্য দিয়ে যায় এবং সহ ধারাগুলির জন্য একটি অনুরূপ পথ$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$। প্রতিটি পাথের প্রথম এবং শেষ প্রান্তের ওজন 1 (বা অন্য ধ্রুবক) এ সেট করুন, তবে অন্যথায় এমন ওজন চয়ন করুন যাতে অন্য কোনও পাথ মসৃণ হয় না। অবশেষে, সমস্ত অনুচ্ছেদ এবং সংলগ্ন প্রান্তগুলি নকল করুন; এইভাবে প্রতিটি ধারাটি দু'বার পরিদর্শন করা যেতে পারে যা 3-স্যাট-এর পক্ষে যথেষ্ট suff

Comments

আমি মনে করি, নিম্নলিখিত রূপান্তরের কারণে স্মুটেস্ট পাথ পি-তে রয়েছে। যাক ডিগ্রী একটি প্রান্তবিন্দু হতে । এর আকারের একটি চক্রের সাথে প্রতিস্থাপন করুন , যেমন প্রতিটি কিনারা যা মূলত সংলগ্ন ছিল এখন চক্রের পৃথক মেরু এ শেষ হয় । যদি এর মতো দুটি মূল প্রান্ত হয় তবে ওজন নির্ধারণ করুন assign চক্রের প্রান্তেপ্রতিটি ভার্টেক্স জন্য এই রূপান্তরটি করুন এবং মূল গ্রাফ প্রান্তগুলিতে 0 ওজন নির্ধারণ করুন। তারপরে একটি সর্বনিম্ন ওজন$v$$d$$v$$d$$e$$v$$v_e$$e,f$$|w(e)-w(f)|$$(v_e,v_f)$$v\neq s,t$$s-t$নতুন গ্রাফের পাথটি রূপান্তরটিকে পূর্বাবস্থায় ফেলার পরে মূলটিতে একটি অতি দ্রুত পথ দেয়।

— আন্দ্রেস ফারাগো

@ আন্দ্রেস ফারাগো আপনার যুক্তিটির সাথে সমস্যাটি হ'ল বর্ধিত গ্রাফের কিছু সাধারণ পাথগুলি মূল গ্রাফটিতে বারবার উল্লম্ব করে। আমি পছন্দ করি যে স্মুটেস্ট পাথ সমস্যাটি ছদ্মবেশী সহজ দেখাচ্ছে।

— Dmytro তারানভস্কি

@ ডমিট্রো তারানভস্কি মনে হচ্ছে, আপনি ঠিক বলেছেন, সত্যিকার অর্থেই ঘটতে পারে যে আসল গ্রাফটিতে ফিরে আসার পরে আমরা পথে বারবার অনুচ্ছেদ পেতে পারি (তবে কোনও পুনরাবৃত্ত প্রান্ত নেই)। তবে মূল গ্রাফের প্রতিটি ডিগ্রি যদি সর্বোচ্চ 3 হয় তবে কোনও পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে না। এর মানে, smoothest পথ সমস্যা সর্বাধিক ডিগ্রী অর্জন গ্রাফ জন্য অন্তত পি হয় । $\leq 3$

— Andras Farago

দুঃখিত, রূপান্তরিত গ্রাফের জন্য আমাদের ক্ষুদ্রতম ওজনের চেয়ে সর্বনিম্ন সর্বাধিক ওজন (যা পিতেও রয়েছে) সহ একটি পথ খুঁজে বের করতে হবে। মোট ওজন ন্যূনতম উচ্চতা সহ একটি পথের দিকে নিয়ে যায় (সর্বোচ্চ ডিগ্রি সহ গ্রাফগুলিতে , যাতে পুনরাবৃত্তি উল্লম্বগুলি বাদ থাকে)। $\leq 3$

— আন্দ্রেস ফারাগো