ps -কাটা আদর্শের সাথে সম্মান জানায়

প্রকৃত ম্যাট্রিক্স The এর কাটা আদর্শ সর্বাধিক quantity quantity পরিমাণের। $||A||_C$ $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$ $I \subseteq [n], J \subseteq [n]$ $\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

দুটি ম্যাট্রিক্সের মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ এবং হতে $A$ $B$ $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

ক্ষুদ্রতম এর cardinality কি মেট্রিক স্থান -net ? $\epsilon$ $([0,1]^{n\times n}, d_C)$

অর্থাত্ ক্ষুদ্রতম উপসেট আকার যেমন all সমস্ত জন্য , বিদ্যমান রয়েছে যেমন যে । $S \subset [0,1]^{n\times n}$ $A \in [0,1]^{n\times n}$ $A' \in S$ $d_C(A, A') \leq \epsilon$

(সম্পাদনা: আমি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি, তবে আমি ম্যাথকল with - সহ যদি "অ-যথাযথ" ps নেটগুলিতেও আগ্রহী - যেমন -net আছে এন্ট্রি [0,1] এর বাহিরে, এছাড়াও মজার যে।) $\epsilon$ $S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$ $\epsilon$

আমি উভয় উপরের সীমানা এবং নিম্ন সীমাতে আগ্রহী।

নোট কাটা sparsifier কৌশল যে পরোক্ষভাবে -nets কাটা মান, কিন্তু দিতে কিছু শক্তিশালী চেয়ে আমি প্রয়োজন জন্য - তারা দিতে একটি -net যার জন্য আপনি দক্ষতার সঙ্গে একটি জানতে পারেন কোনো ম্যাট্রিক্স থেকে -close বিন্দু কেবল যে থেকে স্যাম্পলিং দ্বারা ম্যাট্রিক্স। এক কল্পনা করা হতে পারে বিদ্যমান আছে যে অনেক ছোট -nets যার জন্য আপনি কেবল একটি খুঁজে না নমুনা পারেন একটি অবাধ ম্যাট্রিক্স থেকে -close বিন্দু। $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$

আমি প্রথমে এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা এখানে mathoverflow উপর।

— হারুন রথ
সূত্র

যেহেতু A এর কাটা নিয়ম A এর প্রতিটি প্রবেশের নিখুঁত মানের চেয়ে বড় বা সমান, এটি স্পষ্ট যে একটি ε- নেট এর অবশ্যই কমপক্ষে (1 / (2ε)) ^ (n ^ 2) এর আকার থাকতে হবে। কাটা স্পারসিফায়ার কৌশল থেকে প্রাপ্ত উপরের আবদ্ধটি কী? (এটি সম্ভবত একটি বোবা প্রশ্ন, তবে আমি সেই কৌশলটি জানি না))

— সোসোশি ইতো

কেবলমাত্র নিশ্চিত করার জন্য, আমি আমার আগের মন্তব্যের প্রথমার্ধটিকে একটি উত্তরে পরিণত করেছি (এবং এটিতে একটি উপরের আবদ্ধ) added আমি এখনও কাটা স্পারসিফায়ার কৌশল থেকে প্রাপ্ত উপরের সীমানায় আগ্রহী।

— সোসোশি ইটো

উপরের কৌশলটি পরিবর্তে এন্ট্রি সহ ম্যাট্রিক্স দেয় । আমি পোস্টে এটি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি, কিন্তু আমি এই ধরনের আগ্রহী -covers।

{0, m | | A | |_{1}}

$\{0, m||A||_1\}$

[0, 1]

$[0,1]$

ϵ

$\epsilon$

— অ্যারন রথ

-net আপনি কাটা sparsification থেকে পেতে আসলে না থাকা না । নির্দেশিত গ্রাফের প্রান্তগুলির উপরে ম্যাট্রিক্সকে সম্ভাব্যতা বন্টন হিসাবে ব্যাখ্যা করুন এবং বন্টন থেকে নমুনা প্রান্তগুলি। দ্বারা প্রতিটি প্রান্ত ওজন । ভিসি-মাত্রা যুক্তি দ্বারা (বা কেবল কাটনের উপর আবদ্ধ একটি ইউনিয়ন), কোনও কাটাতে সর্বাধিক সংযোজনীয় ত্রুটি হ'ল হ'ল ps এপসিলন । তাই এই যে বোঝা উপর (উপযুক্তভাবে পরিমেয়) গ্রাফ সেট যে প্রান্ত গঠন একটি -net, যার জন্য অ তুচ্ছ হয় ।

ϵ

$\epsilon$

[0, 1]^{n \times n}

$[0,1]^{n×n}$

m = \tilde{O} (n / ϵ^{2})

$m=\tilde{O}(n/\epsilon^2)$

| | A | |_{1} / m

$||A||_1/m$

O (ϵ n^{2})

$O(\epsilon n^2)$

n^{5} / ϵ^{2}

$n^5/\epsilon^2$

ϵ

$\epsilon$

ϵ > n^{3 / 2}

$\epsilon>n^{3/2}$

— অ্যারন রথ

এখানে একটি সহজ অনুমান করা হয়। এখানে আমরা একটি সেট কল এস ⊆ এক্স একটি ε -net একটি মেট্রিক স্থান এক্স যখন প্রত্যেক পয়েন্টের জন্য এক্স ∈ এক্স , অস্তিত্ব আছে একটি বিন্দু গুলি ∈ S যেমন যে মধ্যে দূরত্ব এক্স এবং গুলি হল সর্বাধিক ε । আপনি সংজ্ঞা কঠোর বৈষম্য চান ε -net, আপনি এর মান বদলাতে পারেন ε সামান্য।

এটি ধরে রেখেছে || এ || _। ≤ || এ || _সি ≤ এন ² || এ || _Where , যেখানে || এ || _∞ একটি এর entrywise সর্বোচ্চ-আদর্শ উল্লেখ করে এন × এন ম্যাট্রিক্স একটি ।

এটা তোলে গঠন করা একটি সহজ ε মেট্রিক স্থান -net ([0,1] ^এন , ঘ _∞ ) আকার সঙ্গে ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^এন , এবং এটি দেখাতে হবে যে এই মাপের সর্বনিম্ন কঠিন নয়। (সর্বনিম্নতা দেখানোর জন্য, ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N পয়েন্টগুলি বিবেচনা করুন যার স্থানাঙ্কগুলি 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉ এর গুণক এবং দেখান যে এই বিন্দুগুলির কোনও দুটির মধ্যে দূরত্ব 2 এর চেয়ে বেশি ε ।) সেটিং দ্বারা এন = ঢ ² কাটা আদর্শ এবং সর্বোচ্চ-আদর্শ, একটি ন্যূনতম cardinality মধ্যে উপরোক্ত তুলনা এবং মিশ্রন এই ε- কাটা আদর্শের ক্ষেত্রে নেট কমপক্ষে ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^{n ²} এবং সর্বাধিক ⌈ n ² / (2 ε ) ⌉ ^{n ²} ।

আপডেট : যদি আমার গণনাটি সঠিক হয় তবে ভলিউমের আর্গুমেন্টের মাধ্যমে আরও ভাল নিম্ন বাউন্ড Ω ( n / ε ) ^{n ^{2 পাওয়া}} যাবে। এটি করার জন্য, আমাদের কাটা আদর্শের সাথে শ্রদ্ধার সাথে একটি ball- বলের ভলিউমের উপরের একটি আবদ্ধ আবশ্যক ।

প্রথমে আমরা একটি একক ভেক্টরের "কাটা আদর্শ" বিবেচনা করি, যা ইতিবাচক উপাদানগুলির যোগফল এবং নেতিবাচক উপাদানগুলির উপেক্ষিত যোগফলের মধ্যে সর্বাধিক। এটি দেখানো কঠিন নয় যে এই "কাটা আদর্শ" এর সাথে ℝ ^{n এর} মধ্যে একটি an -ball এর আয়তন সমান

ε^{এন} \underset{আমি \subseteq {1, ..., এন}}{Σ} \frac{1}{| আমি |!} \cdot \frac{1}{(এন - | আমি |)!} = ε^{এন} Σ_{R = 0}^{এন} (\binom{এন}{R}) \frac{1}{R! (এন - R)!}

$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$

= \frac{ε^{এন}}{এন!} Σ_{R = 0}^{এন} {(\binom{এন}{R})}^{2} = \frac{ε^{এন}}{এন!} (\binom{2 এন}{এন}) = \frac{(2 এন)! ε^{এন}}{(এন!)^{3}} ।

$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$

এর পরে, যেহেতু একটি কাটা আদর্শ এন × এন ম্যাট্রিক্স একটি মহান কম বা প্রতিটি সারির কাটা আদর্শ, একটি পরিমাণের সমান ε ℝ মধ্যে -ball ^{এন × এন} সর্বাধিক হয় এন ম একটি ভলিউম শক্তি ball -বল ইন ℝ ⁿ । অতএব একটি আকার ε -net এর [0,1] ^{এন × এন} অন্তত হওয়া আবশ্যক

\frac{(এন!)^{3 এন}}{(2 এন)!^{এন} ε^{{এন}^{2}}} = {(Ω (\frac{এন}{ε}))}^{{এন}^{2}},

$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$

যেখানে সর্বশেষ সাম্যতা একটি বিরক্তিকর গণনা যেখানে আমরা স্ট্র্লিংয়ের সূত্রটি ব্যবহার করি : ln n ! = n এলএন এন - এন + ও (লগ এন )।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

প্রশ্নের সম্পাদনার (পুনর্বিবেচনা 4) প্রতিক্রিয়া হিসাবে, এই উত্তরে বর্ণিত নীচের সীমাটি "অ-যথাযথ"-নেটগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

— সোসোশি ইটো

সঠিক দেখাচ্ছে, সুন্দরভাবে সম্পন্ন হয়েছে!

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之

@ হিসিয়েন-চিহ: ধন্যবাদ যে অংশটি আমি সবচেয়ে বেশি পছন্দ করি তা হ'ল ℝ ^ n এর একটি ε-বলের ভলিউমের গণনায় দ্বিপদী সহগের ব্যবহার ℝ

— Tsuyoshi Ito

আমি সন্দেহ করি যে জালের আকারের নীচের দিকে আবদ্ধ (সমতুল্যভাবে, ভলিউমের উপরের উপরের আবদ্ধ) উন্নত করা যেতে পারে। আমি ম্যাথওভারফ্লোতে একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি।

— সসুওশি ইতো