সর্বোচ্চ -3 এস্যাট সম্পর্কে কোনও তথ্য গণনা করা হচ্ছে

একটি 3CNF সূত্রের জন্য $C$ দিন $M(C)$ কোনো কার্যভার সন্তুষ্ট ক্লজ সর্বোচ্চ সংখ্যা হতে $C$ । জানা যায় ম্যাক্স-3SAT (পি ≠ দ্বারা NP সাপেক্ষে), অর্থাৎ কোন polytime অ্যালগরিদম যার ইনপুট একটি 3CNF সূত্র হয় আনুমানিক কঠিন $C$ , যার আউটপুট হলে সংখ্যা $M'$ যেমন যে $M(C)$ একটি মধ্যে গুণনশীল ফ্যাক্টর $1+c$ থেকে $M'$ , যেখানে $c>0$ একটি পরম ইতিবাচক ধ্রুবক।

$M(C) \bmod p$ $p$ $C$ $N$ $\log_2 N-B$ $M(C)$ $B$ $B$ $M(C)$

যদি প্রশ্নের সুপরিচিত উত্তর থাকে তবে আমি ক্ষমাপ্রার্থী, কারণ আমি ব্যাকগ্রাউন্ডের দ্বারা জটিলতা তাত্ত্বিক না।

cc.complexity-theory sat

— বরিস বুখ
সূত্র

সাধারণত একটি "পরামর্শ" কেবলমাত্র ইনপুটটির দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করতে পারে। আমি বিশ্বাস করি যে আপনার অভিপ্রায়টি হ'ল এখানে একটি "পরামর্শ" ইনপুটটির উপরই নির্ভর করতে পারে। আমি এই ধারণার জন্য কোনও মানক পরিভাষা জানি না।

— Tsuyoshi Ito

এটি একটি খুব আকর্ষণীয় প্রশ্ন। নিশ্চিত যে প্রকৃতপক্ষে কম্পিউট কঠিন, এক নোট করতে পারে কুকের উপপাদ্য প্রমাণ একটি উত্পাদন করে -variable সূত্র যে হয় Satisfiable বা এই ধরনের যে ।

M (C) mod p

$M(C)\bmod p$

m

$m$

F

$F$

M (F) = m - 1

$M(F) = m-1$

— লুকা ট্রেভিসান

প্রশ্নটি নিম্নলিখিত উপায়ে পুনরায় পুনঃস্থাপন করা যেতে পারে: এমন কোনও বহুপাক্ষিক সময়ের অ্যালগোরিদম কি হতে পারে যে, ভেরিয়েবল সহ 3 সিএনএফ সূত্র , সংখ্যার একটি তালিকা তৈরি করে যেমন এই সংখ্যার মধ্যে একটি ?

F

$F$

m

$m$

m / 2^{B}

$m/2^B$

M (F)

$M(F)$

— লুকা ট্রেভিসান

হ্যাঁ, উপরে মন্তব্যে ক্লজ সংখ্যা হওয়া উচিত।

m

$m$

— লুকা ট্রেভিসান 21

এটি সমতুল্য কারণ পোস্টটিতে বর্ণিত হিসাবে যদি আপনার কাছে অ্যালগরিদম থাকে তবে আপনি সম্ভাব্য পরামর্শের স্ট্রিংয়ের প্রতিটিটিতে অ্যালগরিদম চালাতে পারেন, পেতে পারেন (বা কম হলে) সংঘর্ষের উত্তর রয়েছে) এবং এর মধ্যে একটি সঠিক। আপনার উপরে আমার মতামত অনুসারে যদি একটি অ্যালগরিদম থাকে তবে, পরামর্শ বিটগুলি নির্দিষ্ট করার জন্য যথেষ্ট যে সঠিক উত্তরটি অ্যালগরিদমের আউটপুটগুলির মধ্যে -th বৃহত্তম, কিছু ।

2^{\log_{2} m - B} = m / 2^{B}

$2^{\log_2 m - B} = m/2^B$

\log_{2} m - B

$\log_2 m - B$

i

$i$

i

$i$

— লুকা ট্রেভিসান 21

উত্তর:

এখানে একটি যুক্তি রয়েছে যে আপনি যদি এম-ক্লজ উদাহরণে ম্যাক্স 3 স্যাট সমাধান করতে পারেন তবে ধ্রুবক পরামর্শের বিট দেওয়া হয়, তবে বহুপদী স্তরক্রমটি ধসে পড়বে।

একটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধান করুন এল। কুকের উপপাদ্য থেকে, আমরা এল এর জন্য ইনপুট এক্স এর একটি রূপান্তর f () জানি 3SAT সূত্রে f (x) তে, যাতে

1) যদি তবে $x\in L$ $M(f(x)) = m$

2) যদি তবে $x\in L$ $M(f(x)) = m-1$

যেখানে হ'ল এর ধারাগুলির সংখ্যা । $m$ $f(x)$

আমাদের একটি রয়েছে , যা বলে যে, যদি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার ইনপুটগুলিকে হয়, আপনার একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে যা একটি এনপি কোয়েরি করে এবং নির্ধারণ করে এনপি সমস্যার সঠিক উত্তর , তারপরে বহুত্ববর্ণের স্তরক্রমটি ধসে পড়ে। $k$ $x_1,\ldots,x_k$ $\leq k-1$ $k$ $x_i \in ? L$

মনে করুন আমাদের কাছে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা পরামর্শের কে বিট দেওয়া এম-ক্লজ ইনপুটগুলিতে স্যাক্স স্যাট সলভ করে। কাদিনের উপপাদ্যের পূর্ববর্তী হিসাবে একটি অ্যালগরিদম তৈরি করতে আমরা হস্তাদের ফলাফল ব্যবহার করব।

থেকে শুরু ইনপুট সমস্যার । তাদের প্রত্যেককে কুকের উপপাদ্য প্রয়োগ করুন। কিছুটা সাধারণীকরণের পরে (যা ক্লোজের ওজন নির্ধারণের মাধ্যমে করা যেতে পারে, বা আমরা ওজন ব্যবহার করতে না চাইলে সেগুলি নকল করে), আমরা সূত্রগুলি যেখানে নির্দিষ্ট : $K=2^k+1$ $x_1,\ldots,x_K$ $L$ $K$ $F_1,\ldots,F_K$ $m$

1) যদি এবং অন্যথায় $M(F_1)= m-1$ $x_1 \in L$ $M(F_1) = m-2$

2) যদি এবং অন্যথায় $M(F_2) = m\cdot (m-1)$ $x_2 \in L$ $M(F_2) = m\cdot (m-2)$

...

কে) যদি এবং অন্যথায় $M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-1)$ $x_K\in L$ $M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-2)$

এখন সূত্রগুলির ইউনিয়ন নিন, যা ভেরিয়েবল সেটগুলিকে পৃথক করে তৈরি করা হয়েছিল এবং এটিকে কল করুন । সুতরাং আমাদের কাছে , এবং আমরা সমস্যাগুলির উত্তরটি "পড়তে" পারি এর বেস- উপস্থাপনাটি দেখে । যদি আমরা প্রদত্ত বিটসকে পরামর্শ দিতে পারি তবে এর অর্থ হ'ল আমরা মান খুঁজে পেতে পারি মধ্যে একটি । এরপরে আমরা নন-অভিযোজিতভাবে একটি এনপি ওরাকল জিজ্ঞাসা করতে পারি যে প্রার্থী প্রতিটি values এর জন্য মান দেয় কিনা? $F$ $M(F) = M(F_1) + \cdots + M(F_k)$ $K$ $x_i \in? L$ $m$ $M(F)$ $M(F)$ $k$ $2^k$ $M(F)$ $M(F) \geq n_i$ $n_1,\ldots,n_{2^k}$ আমরা উত্পন্ন। সুতরাং আমরা এনপি-এরাকলকে -অ-অভিযোজিত প্রশ্ন তৈরি করে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার উদাহরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হয়েছি , যা বোঝায় যে বহুবর্ষীয় শ্রেণিবদ্ধের পতন ঘটে। $2^k+1$ $2^k$

Hastad এর পরিবর্তে উপপাদ্য কুকের উপপাদ্য ব্যবহার করে এটা মাপ ধাক্কা সম্ভব করার এর পরিবর্তে , তাই এটি ধাক্কা সম্ভব করার , এবং পরামর্শ বিট সংখ্যা । আপনাকে পরামর্শ বিট দেওয়া হলে কী হয় তা বোঝা সত্যিই কঠিন বলে মনে হচ্ছে। $F$ $O(1)^k \cdot m$ $m^k$ $k$ $\log m$ $\log\log m$ $\log m - O(1)$

Krentel: যোগ করার জন্য সম্পাদিত ( অপ্টিমাইজেশান সমস্যা জটিলতা । জে comput Syst সী 36 (3):।।। 490-509 (1988) ) প্রমাণিত কম্পিউটিং সর্বাধিক উপদল সমস্যার সর্বোত্তম মান জন্য সম্পূর্ণ যে , সাথে বহুবর্ষীয় সময়ে গণনাযোগ্য ফাংশনগুলির শ্রেণি একটি এনপি ওরাকল অনুসন্ধান করে। সম্পূর্ণতাটি "একটি ক্যোয়ারী হ্রাস," এর অধীনে রয়েছে যার মধ্যে ফাংশন ফ ফাংশন জি-তে হ্রাসযোগ্য যদি কোনও বহুবর্ষের সময় গণনাযোগ্য এবং জন্য লিখতে পারে তবে সম্ভবত একই সত্য is ম্যাক্স ক্লকের পক্ষে। এখন, যদি ম্যাক্স ক্লকের একটি বহুবর্ষীয় সময় অ্যালগোরিদম থাকে যা of এর একটি তালিকা তৈরি করে $FP^{NP[O(log n)]}$ $O(log n)$ $f(x) = r_1(g(r_2(x))$ $r_1$ $r_2$ $m^{o(1)}$ সম্ভাব্য মানগুলি, এটি be এ থাকবে , কারণ আপনি বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার করতে পারেন তালিকার আকারের লগ হওয়া বেশ কয়েকটি ক্যোয়ারী সহ সর্বোত্তম সন্ধান করতে। $FP^{NP[o(logn)]}$

এখন, যদি আমাদের তবে অবশ্যই আমাদের , যা বহুগুণীয় শ্রেণিবিন্যাসকে ভেঙে দেওয়ার জন্য ওয়াগনার (কাদিনের ফলশ্রুতি যা স্থির সংখ্যক প্রশ্নের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য) উন্নত করে তা সিদ্ধান্তগত সমস্যার জন্য বিশেষ ক্ষেত্রে known তবে আমি মনে করি এটি পরিচিত হতে পারে যে actually আসলে পি = এনপি বোঝায়। তবে যে কোনও ক্ষেত্রে ক্রেন্টেল এবং কাদিন-ওয়াগনারের ফলাফল অ্যান্ডি ড্রকারের ফলাফলের আরেকটি প্রমাণ দেওয়ার জন্য যথেষ্ট হওয়া উচিত। এখন আমি অবাক হয়েছি এটি আসলে একই প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হয়, অর্থাত্ যদি ফোর্টনো-ভ্যান মেলকিবিকের ফলাফলটি "কম এনপি কোয়েরিগুলির সাথে সিমুলেটিং এনপি কোয়েরিগুলি" যুক্তির মাধ্যমে সুস্পষ্ট বা স্পষ্টভাবে কাজ করে। $FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$ $P^{NP[O(log n)]} = P^{NP[o(log n)]}$ $FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$

একটি ভাল জরিপ পত্রিকা যা অপ্টিমাইজেশন সমস্যা এবং সীমাবদ্ধ ক্যোয়ারী ক্লাসগুলির সাথে কী চলছে তা ব্যাখ্যা করে:

http://www.csee.umbc.edu/~chang/papers/bqabh/npfsat.pdf

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

এই সমস্যাটির এনপি-কঠোরতা প্রমাণ করা কেন কঠিন তা আমি একটি কারণ বলতে চাই।

এই প্রশ্নের একটি মন্তব্যে, লুকা ট্রেভিসান সমস্যাটি পুনরুদ্ধার করার জন্য একটি দুর্দান্ত উপায় দিয়েছেন: প্রতিটি ধ্রুবক কে জন্য নিম্নলিখিত সমস্যাটি বহুপদী সময়ে সমাধানযোগ্য ? একটি CNF সূত্র দেওয়া সি সঙ্গে মি সর্বাধিক ক্লজ, আউটপুট মিটার / ট পূর্ণসংখ্যার অতএব তাদের ব্যাপারে যে এক সমান এম ( সি )। এখানে ট সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত বি দ্বারা ট = 2 ^বি ।

যাইহোক, আরও দাবি করা যাক। যথা, আমরা নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করি: একটি সিএনএফ সূত্র সি দেওয়া , দুটি পূর্ণসংখ্যা আউটপুট দেয় যাতে তাদের মধ্যে একটি এম ( সি ) এর সমান হয় । আমরা এই সমস্যাটিকে Π দ্বারা চিহ্নিত করি Π সমস্যা least কমপক্ষে মূল সমস্যার মতোই কঠিন, তাই যদি মূল সমস্যাটি এনপি-হার্ড হয় Π তবে অবশ্যই এনপি-হার্ড হতে হবে।

মনে রাখবেন যে Π একটি সম্পর্কের সমস্যা। সবচেয়ে সহজ কমানোর একটি হ্রাস যা কিছু সমস্যা হ্রাস করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে কোনও সম্পর্কের সমস্যার সাথে এল a এটি বহু-কালীন লেভিন হ্রাস, যা বহু-কাল-কাল টুরিং হ্রাসের একটি বিশেষ ঘটনা যেখানে হ্রাস কেবলমাত্র ওরাকলকে ডাকে calls একদা.

আমরা দাবি করি যে পি ^{Π [1]} = পি। এটি সুস্পষ্টভাবে সূচিত করে যে NP⊈P ^{Π [1]} পি = এনপি না হলে, Π পি = এনপি না থাকলে বহুবর্ষ -কাল লেভিন হ্রাসের অধীনে এনপি-হার্ড নয়।

প্রুফ । যাক এল ∈P ^{Π [1]} , অথবা অন্য কথায়, সেখান থেকে একটি লেভিন হ্রাস বিদ্যমান এল Π করতে। এই উপায়ে একজোড়া (অস্তিত্ব আছে যে চ , ছ একটি বহুপদী টাইম গণনীয় ফাংশনের) চ : {0,1} ^* → {0,1} ^* যা প্রতিটি উদাহরণস্বরূপ মানচিত্র এক্স সমস্যার এল কিছু CNF সূত্রে চ ( এক্স ) এবং একটি বহুবর্ষীয় সময়ের গণনীয় প্রিডিকেট জি : {0,1} ^* × ℕ × ℕ → {0,1} যেমন জি ( এক্স , আই , জে ) = এল( x ) যদি i বা j উভয়ই M ( f ( x )) এর সমান হয় । (এখানে এল ( এক্স ) = 1 হ'ল এক্স হ'ল- এল এবং এল ( x ) = 0 হ'ল এক্স যদি কোনও উদাহরণ নয়))

আমরা একটি বহুপদী টাইম অ্যালগরিদম গঠন করা এল এই অনুসরণ করে না। এক্স একটি ইনপুট হতে দিন ।

যাক সি = চ ( এক্স ), এবং দিন মি মধ্যে ক্লজ সংখ্যা হতে সি ।
একটি আই ∈ {0,…, মি Find সন্ধান করুন যেমন মান জি ( x , i , j ) জে ∈ {0,…, মি } থেকে স্থিরভাবে স্বতন্ত্র থাকে }
এই ধ্রুবক জি আউটপুট ( x , i , 0)।

পদক্ষেপ 2-এ, আমি সর্বদা উপস্থিত থাকি কারণ i = M ( f ( x )) শর্তটি সন্তুষ্ট করে। তদুপরি, এই অ্যালগরিদম একটি ভুল উত্তর আউটপুট করতে পারে না কারণ g ( x , i , M ( f ( x ))) অবশ্যই সঠিক উত্তর হতে পারে। অতএব, এই অ্যালগরিদম এলকে সঠিকভাবে সমাধান করে । Qed ।

যদি আমার ভুল না হয় তবে একই ধারণাটি পি P ^{[ কে ( এন )]} ⊆ডটাইম [ এন ^{ও ( কে ( এন ))} ] প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে । এর অর্থ হলো NP⊈P ^{Π [ ট ]} কোনো ধ্রুবক জন্য ট NP⊈P যদি না পি = দ্বারা NP এবং যে ^{Π [polylog]} যদি না NP⊆DTIME [2 ^polylog ]। তবে একাকী এই ধারণাটি সম্ভবত সম্ভাব্যতা অস্বীকার করে বলে মনে হয় না যে pol বহু-কালীন সময়ে টুরিং হ্রাসযোগ্যতার অধীনে এনপি-হার্ড।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

আপনি ডানার উত্তরের একটি লিঙ্ক সরবরাহ করতে পারেন?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান

@ তুরস্কিস্তানি: আমি এই উত্তরটির প্রথম সংশোধন পোস্ট করার পরে সে তার উত্তরটি মুছে ফেলেছিল। আমি এই উত্তর থেকে স্রেফ এটির একটি রেফারেন্স সরিয়েছি।

— Tsuyoshi Ito

আমি বিশ্বাস করি যে আমরা প্রদর্শন করতে পারি:

দাবি করুন। নিম্নলিখিত মানটি সত্য বলে একটি মান । মনে করুন একটি নির্জনবাদী বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে যা একটি ক্লাস 3-স্যাট উদাহরণ , সর্বাধিক মানগুলির একটি তালিকা আউটপুট করে ; যেমন ; ; তারপরে বহুবর্ষীয় শ্রেণিবিন্যাস ভেঙে যায়। $0 < c < 1$ $m$ $\phi$ $S$ $m^c$ $M(\phi) \in S$

প্রমাণটি তাদের কাগজ http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf থেকে উদাহরণস্বরূপ সংকোচনের অসম্ভবতা সম্পর্কে ফোর্টনউ এবং সান্থানামের ফলাফলগুলি ব্যবহার করে

বিশেষত, তাদের থিম 3.1 এর প্রমাণটি দেখে, আমি বিশ্বাস করি যে কেউ নিম্নলিখিতটি বের করতে পারে (আমি শীঘ্রই এটি পুনরায় পরীক্ষা করব):

"উপপাদ্য" [এফএস]। নীচের ক্ষেত্রে সত্যটি পূর্ণসংখ্যার । ধরুন, নির্জনবাদী বহু-সময়কালে, কেউ বুলিয়ান সূত্রগুলিতে (দৈর্ঘ্যের প্রতিটি , এবং ভেরিয়েবল-সেটগুলি বিচ্ছিন্ন করে) একটি OR এর সূত্রে রূপান্তর করতে পারে (আবার পরিবর্তনশীল-বিচ্ছিন্ন এবং দৈর্ঘ্যের ), ওআর এর সন্তুষ্টি / অসন্তুষ্টি রক্ষা করা। তারপরে এবং শ্রেণিবদ্ধের পতন ঘটে। $0 < d' < d$ $n^d$ $\leq n$ $n^{d'}$ $\leq n$ $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP/poly}$

আমাদের দাবির প্রমাণ হ'ল উপরের উপপাদ্য [এফএস] তে উল্লিখিত ওআর-সংক্ষেপণ কার্য থেকে তালিকা-কম্পিউটিং এর সমস্যা থেকে হ্রাস । ধরুন এমন সূত্রগুলির একটি তালিকা যাঁর ওআর আমরা সংক্ষেপণ করতে চাই। $M(\phi)$ $\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$

প্রথম পদক্ষেপ: বহু-আকারের সার্কিটের সংজ্ঞা দিন input ইনপুট স্ট্রিংগুলিতে । এখানে স্ট্রিং an তে একটি অ্যাসাইনমেন্ট এনকোড করে , এবং এবং মধ্যে একটি নম্বর এনকোড করে । $\Gamma$ $(v, y_1, \ldots, y_{n^d})$ $y_i$ $\psi_i$ $v \in \{0, 1\}^{d \log n + 1}$ $0$ $n^d$

আমাদের কাছে যদি হয় তবে , বা । $\Gamma$ $v = 0$ $\psi_v(y_v) = 1$

এখন সর্বাধিক মান বোঝাতে দিন যেমন সীমাবদ্ধ সার্কিট সন্তোষজনক। (এই পরিমাণটি সর্বদা সর্বনিম্ন 0 হয়)। $M^*(\Gamma)$ $v$ $\Gamma(v, \cdot, \ldots, \cdot)$

মনে করুন আমরা দক্ষতার সাথে জন্য সম্ভাব্য মানের একটি তালিকা তৈরি করতে পারি । তারপরে দাবিটি হ'ল আমাদের তালিকায় , আমরা সমস্ত away ফেলে দিতে পারি যার জন্য ; ফলাফলের তালিকায় যদি একটি আসলটি করে তবে একটি সন্তুষ্ট সূত্র রয়েছে। আমি আশা করি এটি পরিদর্শন দ্বারা পরিষ্কার হয়। $S$ $M^*(\Gamma)$ $\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$ $\psi_i$ $i \notin S$

উপসংহার: পলি হায়ারার্কিটি ভেঙে ফেলা না পারলে আমরা নির্ভরযোগ্যভাবে সম্ভাব্য মানগুলির of এর তালিকা তৈরি করতে পারি না । $S$ $\leq n^{d'}$ $M^*(\Gamma)$

দ্বিতীয় পদক্ষেপ: আমরা তালিকা-কম্পিউটিং থেকে 3-স্যাট উদাহরণ -র জন্য তালিকা-কম্পিউটিং মধ্যে কমিয়ে । $M^*(\Gamma)$ $M(\phi)$ $\phi$

এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে 3-স্যাট উদাহরণ আকারের পেতে কুকের হ্রাস run উপর চালিত করি । কিছু সহায়ক ভেরিয়েবলের সাথে মতো একই ভেরিয়েবল-সেট রয়েছে। আমাদের উদ্দেশ্যগুলির জন্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ, যদি সন্তুষ্ট হয় তবে সন্তুষ্টযোগ্য। $\Gamma$ $\phi_1$ $m = poly(n^d)$ $\phi_1$ $\Gamma$ $\phi_1(v, \cdot)$ $\Gamma(v, \cdot)$

আমরা কে `শক্তিশালী প্রতিবন্ধকতা ' বলি । আমরা এই প্রতিবন্ধগুলির প্রতিটিকে 2 ওজন দিয়েছি (সদৃশ সীমাবদ্ধতা যোগ করে)। $\phi_1$ $2m$

তারপর আমরা `দুর্বল সীমাবদ্ধতার 'একটি সেট যোগ যা সূচক জন্য একটি পক্ষপাত যোগ (ধাপ 1 সংজ্ঞায়িত) সম্ভব হিসাবে হিসাবে উচ্চ যাবে। প্রতিটি বিট জন্য এক বাধ্যতা হয় এর , যথা । আমরা দিন -th অধিকাংশ গুরুত্বপূর্ণ বিট ওজন বাধ্যতা আছে । যেহেতু দৈর্ঘ্যের , তাই এই ওজনগুলি অবিচ্ছেদ্য করা যায় ( 2 এর শক্তি হতে আমাদের কেবল প্যাড করা দরকার )। $\phi_2$ $v$ $v_t$ $v$ $[v_t = 1]$ $t$ $v$ $m/2^{t-1}$ $v$ $d \log n + 1$ $m$

শেষ আমাদের হ্রাসের আউটপুট হোক। $\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$

বিশ্লেষণ করতে , আগের মত সহ এর চলক-সেট হয়ে । প্রথম দ্রষ্টব্য যে যে কোনও অ্যাসাইনমেন্ট দেওয়া হয়েছে তার পরিমাণ ( দ্বারা সন্তুষ্ট total কনট্রেন্টের মোট ওজন থেকে এর মান নির্ধারণ করতে পারে । এটি সীমাবদ্ধতা-ওজনের হায়ারার্কিকাল ডিজাইন থেকে অনুসরণ করে (একইভাবে লুসার উত্তর থেকে কোনও কৌশল হিসাবে)। একইভাবে, সর্বাধিক অর্জনযোগ্য মান একটি সেটিংস যা সমস্ত শক্তিশালী বাধাগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং যেখানে (এর অধীন) $\phi$ $(v,z)$ $\phi$ $v$ $(v, z)$ $v$ $N(v, z) =$ $\phi$ $v, z$
$M(\phi)$ $(v, z)$ $v$ যতটা সম্ভব বড়। এই হ'ল বৃহত্তম সূচক যার জন্য সন্তুষ্টযোগ্য, । (দ্রষ্টব্য, সবসময় শক্তিশালী বাধা মেটাতে অল -0 সেট করে সর্বদা সম্ভব, যেহেতু সন্তুষ্টযোগ্য)) $v$ $\Gamma(v, \cdot)$ $M^*(\Gamma)$ $v =$ $\Gamma(v, \cdot)$

এটি অনুসরণ করে যে, যদি আমাদের এর সম্ভাব্য মানের একটি তালিকা দেওয়া হয় , আমরা একটি তালিকা বের করতে পারি can এর সম্ভাব্য মান । এভাবে আমরা থাকতে পারি না যতক্ষণ না পলি হায়ারার্কিটি ভেঙে যায়। এই দাবি দেয়, যেহেতু । $S$ $M(\phi)$ $|S|$ $M^*(\Gamma)$ $|S| \leq n^{d'}$ $n^{d'} = m^{\Omega(1)}$

— অ্যান্ডি ড্রাগার
সূত্র