থিওরিসিএস-এ পোজেট / ল্যাটিসগুলিতে মেট্রিক স্ট্রাকচারের প্রয়োগ

17

যেহেতু শব্দটি অতিরিক্ত বোঝা, প্রথমে একটি সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞা। একটি পোসেট হ'ল একটি সেট যা আংশিক অর্ডার- সমাপ্ত । দুটি উপাদান দেওয়া , আমরা (জয়েন) কে তাদের সর্বনিম্ন উপরের বাউন্ড হিসাবে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি এবং একইভাবে (মিলন) (জয়েন )কে সর্বনিম্ন নিম্ন সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি । $X$ $\le$ $a,b \in X$ $x \vee y$ $X$ $x \wedge y$

একটি জাল একটি পোসেট যেখানে কোনও দুটি উপাদান একটি অনন্য মিলিত এবং একটি অনন্য যোগদান আছে।

জালিয়াতিগুলি (এই ফর্মটিতে) থিওসিএস-এ (সংক্ষেপে) সাবমডুলারালিটি (সাবসেট ল্যাটিস সহ) এবং ক্লাস্টারিং (পার্টিশন ল্যাটিস) তত্ত্বের পাশাপাশি ডোমেন তত্ত্ব (যা আমি খুব ভাল বুঝতে পারি না) এবং স্থিতিশীল দেখায় বিশ্লেষণ।

তবে আমি অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে আগ্রহী যা ল্যাটিসগুলিতে মেট্রিক স্ট্রাকচার ব্যবহার করে। একটি সহজ উদাহরণ ক্লাস্টারিং থেকে আসে, যেখানে কোনও অ্যান্টিমোনোটোন সাবমডুলার ফাংশন (অ্যান্টিমোনোটোন মানে ) যদি একটি মেট্রিক প্ররোচিত করে $f : X \rightarrow R$ $x \le y, f(x) \le f(y)$

d (x, y) = 2 f (x \land y) - f (x) - f (y)

$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$

কোনও ডেটা সেটের দুটি পৃথক ক্লাস্টারিংয়ের তুলনা করার উপায় হিসাবে এই মেট্রিকটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছে।

মেট্রিক স্ট্রাকচার সম্পর্কে যত্নশীল ল্যাটিক্সগুলির কি অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে? আমি ডোমেন তত্ত্ব / স্থিতিশীল বিশ্লেষণ অ্যাপ্লিকেশনটিতে আগ্রহী হয়েছি, তবে এখনও পর্যন্ত আমি মেট্রিকের কোনও প্রয়োজন দেখিনি ।

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

12

প্রথম, একটি মন্তব্য। আপনার প্রশ্নের ধরণটি জ্যামিতিকভাবে আপনি কীভাবে "মেট্রিক" শব্দের অর্থ বোঝাতে চান তার উপর নির্ভর করে। শব্দার্থবিজ্ঞান এবং স্থিতিশীল বিশ্লেষণে আল্ট্রাসমেট্রিক্স ব্যবহার করা যুক্তিসঙ্গতভাবে সাধারণ, তবে আলট্রামেট্রিক্সের জ্যামিতিক ব্যাখ্যার পরিবর্তে সংমিশ্রণ থাকে। (এটি পর্যবেক্ষণের একটি বৈকল্পিক যে টোমোলজির জ্যামিতিক ব্যবহারের চেয়ে ডোমেন তত্ত্বের সংমিশ্রণের স্বাদ রয়েছে))

এটি বলেছিল, আমি আপনাকে প্রোগ্রামের প্রমাণগুলিতে কীভাবে আসে তার একটি উদাহরণ দেব। প্রথমত, মনে রাখবেন যে কোনও প্রোগ্রামের প্রমাণে, আমরা এটি দেখাতে চাই যে কোনও প্রোগ্রাম বর্ণনা করার সূত্রটি ধারণ করে। সাধারণভাবে, এই সূত্রটি বুলিয়ানদের সাথে ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন হয় না, তবে সত্যের মূল্যবোধগুলির কিছু জালির উপাদানগুলি থেকে আঁকতে পারে। তারপরে একটি সত্য সূত্রটি কেবল একটি যা জালের শীর্ষের সমান।

তদ্ব্যতীত, খুব স্ব-রেফারেন্টাল প্রোগ্রামগুলি নির্দিষ্ট করার সময় (উদাহরণস্বরূপ, এমন প্রোগ্রামগুলি যা স্ব-সংশোধনকারী কোডের ব্যাপক ব্যবহার করে) বিষয়গুলি খুব কঠিন হতে পারে। আমরা সাধারণত প্রোগ্রামটির একটি পুনরাবৃত্ত স্পেসিফিকেশন দিতে চাই, তবে সংজ্ঞাটি ঝুলিয়ে রাখার কোনও সুস্পষ্ট সূচক কাঠামো নাও থাকতে পারে। এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, অতিরিক্ত মেট্রিক কাঠামো দিয়ে সত্য মানের ল্যাটিকে সজ্জিত করা প্রায়শই সহায়ক। তারপরে, আপনি যদি প্রমাণ করতে পারেন যে আপনি যে নির্ধারিত পয়েন্টটি চান তা হ'ল কঠোরভাবে সংক্রামক, আপনি বনচের স্থির বিন্দু তাত্ত্বিকের কাছে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে আবেদন করতে পারেন যে আপনি যে পুনরাবৃত্তি প্রদেশটি চান তা সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে।

যে মামলার সাথে আমি সবচেয়ে বেশি পরিচিত তাকে "স্টেপ-ইনডেক্সিং" বলা হয়। এই সেটিংয়ে, আমরা আমাদের ল্যাটিক্স সত্যের মানগুলির of down এর নীচের দিকে-বন্ধ সাবসেট হিসাবে গ্রহণ করি , যার উপাদানগুলি আমরা "সম্পত্তি যে মূল্যায়নের ক্রমের দৈর্ঘ্য" হিসাবে শিথিলভাবে ব্যাখ্যা করতে পারি। মিট এবং যোগদানগুলি যথারীতি ছেদগুলি এবং ইউনিয়নগুলি হয় এবং ল্যাটিকস সম্পূর্ণ হওয়ায় আমরা হেইটিংয়ের প্রভাবটিকেও সংজ্ঞায়িত করতে পারি। দুটি জাল উপাদানগুলির মধ্যে দূরত্ব দিয়ে জালিকে আল্ট্রাসমেট্রিক দিয়েও সজ্জিত করা যেতে পারে , যেখানে একটি সেটের সবচেয়ে ছোট উপাদান তবে অন্যটি নয়। $\Omega$ $\mathbb{N}$ $2^{-n}$ $n$

তারপরে, বনচের সংকোচনের মানচিত্র থোরেম আমাদের জানায় যে একটি সংকোচনশীল প্রিডিকেট একটি অনন্য নির্দিষ্ট পয়েন্ট রয়েছে। স্বজ্ঞাতভাবে, এটি বলে যে আমরা যদি এমন একটি প্রিকিকেট সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা পদক্ষেপের সাথে ধাপগুলি ধরে রাখে এমন একটি সংস্করণ ব্যবহার করে পদক্ষেপ রাখে , তবে আমাদের কাছে আসলে একটি শিকারীর সংজ্ঞা আছে। যদি আমরা তখন দেখান যে প্রিডিকেটটি সমান হয় , তবে আমরা জানি যে শিকারী সর্বদা প্রোগ্রামটি ধারণ করে। $p : \Omega \to \Omega$ $n+1$ $n$ $\top = \mathbb{N}$

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

আহ আকর্ষণীয়। আপনার প্রশ্নের উত্তরে, আমার কেবলমাত্র যত্নশীল হ'ল মেট্রিকটি কেবল এটি: এটি ত্রিভুজ বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে। সুতরাং আলটমেট্রিক্স পুরোপুরি ঠিক আছে। যাইহোক, (এবং এটি প্রশ্নে আমার ত্রুটি) আমার কাছে মনে হয় যে এখানে মেট্রিকের ব্যবহার কাঠামোগত, যাতে বনচ অ্যাক্সেস পেতে পারে। আপনি নিজেই মেট্রিক সম্পর্কে চিন্তা করেন না (এবং তাই মেট্রিকের কাছাকাছি করা বা এটি গণনার মতো বিষয়গুলি অপ্রাসঙ্গিক)। এটা কি সঠিক ?

— সুরেশ ভেঙ্কট

4

হ্যাঁ, আমরা মেট্রিক সম্পর্কে খুব বেশি যত্ন নেওয়ার ঝোঁক রাখি না। এটি আসলে মেট্রিক বা স্টেপ-ইনডেক্সযুক্ত মডেলগুলির সাথে অস্বস্তির উত্স - আমরা কেন এমন তথ্য ট্র্যাক করছি যা আমরা সত্যই যত্ন করি না? দেখানো হচ্ছে যে কোনও মডেল মেট্রিকের প্রায় অনুমানের ক্লাসের অধীনে স্থিতিশীল ছিল (সম্ভবত সংকোচনের ক্ষেত্রে রক্ষণশীল) এটির সাথে আরাম বাড়িয়ে তুলবে।

— নীল কৃষ্ণস্বামী

9

সর্বাধিক ব্যবহৃত সিপিওগুলির বিকল্প হিসাবে, আর্নল্ড এবং নিভাত ডোনোটেশনাল সিনটিক্সের ডোমেন হিসাবে মেট্রিক স্পেসগুলি (সম্পূর্ণ) অনুসন্ধান করেছেন [1]। তাঁর থিসিস বোনস্যাঙ্গুয়ে [২] এ জাতীয় স্বীকৃতিমূলক শব্দার্থবিজ্ঞান এবং অ্যাক্সিয়োমেটিক শব্দার্থবিদ্যার মধ্যে দ্বৈততাগুলি আবিষ্কার করেছিলেন। আমি এটি এখানে উল্লেখ করেছি কারণ এটি একটি খুব ব্যাপক সামগ্রিক চিত্র দেয় gives

[1]: একটি আর্নল্ড, এম নিভাট: অনন্ত গাছের মেট্রিক ব্যাখ্যা এবং অ নির্ণায়ক পুনরাবৃত্তি প্রোগ্রামগুলির শব্দার্থবিজ্ঞান। Theor। Comput। সী। 11: 181-205 (1980)।
[২]: এমটিসিএসএস, এলজেভিয়ার 1998-এর সেমেন্টিকস ভলিউম 8-তে এমএম বনসঙ্গু টপোলজিকাল ডুয়ালিটি।

— কাই
সূত্র

কল্পনাপ্রসূত - আমি জানতাম না এই থিসিসটি অনলাইনে ছিল!

— নীল কৃষ্ণস্বামী

3

আমি মার্সেলোকে (বনসঙ্গু) জানাতে চাই যে সে সম্পর্কে কথা বলা হচ্ছে। (সম্ভবত তিনি যোগ দেবেন))

— ডেভ ক্লার্ক

5

এখানে একটি (কাকতালীয়ভাবে, আমার পড়ার সারির শীর্ষ):

স্বরত চৌধুরী, সুমিত গুলওয়ানি এবং রবার্তো লুব্লিমারম্যান। প্রোগ্রামগুলির ধারাবাহিকতা বিশ্লেষণ। পিওপিএল ২০১০।

লেখকরা একটি অন্তর্নিহিত পণ্য মেট্রিক স্পেসের মানগুলি থেকে ফাংশন হিসাবে অভিব্যক্তি ব্যাখ্যা করে সাধারণ লুপগুলি সহ একটি অত্যাবশ্যকীয় ভাষার জন্য একটি স্বীকৃতিমূলক শব্দার্থক শব্দ দেন give মূল বিষয়টি হ'ল "যদি" এবং লুপগুলির উপস্থিতিতেও কোন প্রোগ্রামগুলি অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকে প্রতিনিধিত্ব করে তা নির্ধারণ করা। এমনকি তারা ধারাবাহিকতা সম্পর্কে প্রশ্নগুলিকে নির্দিষ্ট ইনপুট এবং আউটপুটগুলিতে সীমাবদ্ধ রাখে। (এটি ডিজকস্ট্রার অ্যালগরিদম বিশ্লেষণের জন্য গুরুত্বপূর্ণ, যা তার পথের দৈর্ঘ্যে অবিচ্ছিন্ন, তবে আসল পথে নয় not)

আমি এখনও কিছু দেখিনি যার জন্য একটি মেট্রিক জায়গা প্রয়োজন - মনে হয় এটি এখন পর্যন্ত সাধারণ টপোলজি ব্যবহার করে করা সম্ভব হয়েছিল - তবে আমি কেবল পৃষ্ঠা 3 এ আছি :)

— নীল টরন্টো
সূত্র

1

পূর্ববর্তী উত্তরের মতো অবশ্যই এখানে কোনও পোসেট বা জাল নেই। এটাই আমি মিস করছি

— সুরেশ ভেঙ্কট

3

অন্য উত্তর যুক্ত করার জন্য দুঃখিত, তবে এটি আমার উপরের অন্যটির সাথে সম্পর্কিত নয়।

কনট্যুরেন্সির শিক্ষার্থীদের বিরক্ত করার জন্য আমি নিয়মিত যে মেট্রিক স্পেস ব্যবহার করি (বা এটি শিক্ষিত?) হ'ল অসীম ট্রেস। এটি টপোলজিটি প্ররোচিত করে যা হ'ল আল্পার্ন এবং স্নাইডার [1] যথাক্রমে সীমাবদ্ধ-বন্ধ এবং ঘন হিসাবে সুরক্ষা এবং প্রাণবন্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত হয়েছিল ।

\begin{array}{rcl} d : Σ^{ω} \times Σ^{ω} & ⟶ & R_{\geq 0} \\ (σ, τ) & \mapsto & 2^{- sup {i \in N | σ |_{i} = τ |_{i}}} \end{array}

$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$

σ |_{i}

$\sigma|_i$

σ

$\sigma$

i

$i$

2^{- \infty} = 0

$2^{-\infty} = 0$

প্রি-স্পেসে আমি বুঝতে পারি যে এই উত্তরটিতে একটি জাল বা পোস কাঠামোর প্রয়োজনীয় উপাদানও নেই। ক্লার্কসন এবং স্নাইডার হাইপারপ্রোপার্টি [২] নামে ডাকে এক স্তর পর্যন্ত সরানোর সময় এ জাতীয় জাল কাঠামো উপস্থিত থাকে । লেখার সময় এটি আমার কাছে অস্পষ্ট যে কীভাবে মেট্রিকটি তুলবেন।

[1] বি আল্পার্ন এবং এফবি স্নাইডার। প্রাণবন্তের সংজ্ঞা দেওয়া হচ্ছে। আইপিএল, 21 (4): 181–185, 1985.
[2] এম আর ক্লার্কসন এবং এফবি স্নাইডার। Hyperproperties। সিএসএফ, p51-65, আইইইই, 2008

— কাই
সূত্র

\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) / 2

$\sum_{k=1}^n k = {n(n+1)}/{2}$

@ এইচসিএচ ধন্যবাদ, আমি সেই অনুযায়ী আমার পোস্টটি সম্পাদনা করেছি এবং বিন্যাসের পরামর্শের জন্য নির্লজ্জ কান্নাটি সরিয়েছি।

— কাই

চমৎকার সূত্র!

— হিসিয়েন-চিহ চাং 之之