তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য প্রয়োজনীয় অ্যাক্সিমস

এই প্রশ্নটি ম্যাথওভারফ্লোতে প্রয়োগিত গণিত সম্পর্কিত একই প্রশ্ন দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল এবং এই উত্তেজনাপূর্ণ ধারণা ছিল যে পি বনাম এনপি-র মতো টিসিএসের গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নগুলি জেডএফসি (বা অন্যান্য সিস্টেমগুলি) থেকে স্বতন্ত্র থাকতে পারে। সামান্য ব্যাকগ্রাউন্ড হিসাবে, বিপরীত গণিত একটি নির্দিষ্ট গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজনীয় অক্ষগুলি সন্ধানের প্রকল্প। অন্য কথায়, আমরা সত্যের প্রত্যাশার তত্ত্বগুলির একটি সেট থেকে শুরু করি এবং 'প্রাকৃতিক' অ্যাকোরিয়ামগুলির ন্যূনতম সেটটি অর্জন করার চেষ্টা করি যা সেগুলি করে।

আমি ভাবছিলাম যে টিসিএসের কোনও গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যে বিপরীত গণিতের পদ্ধতির প্রয়োগ হয়েছে কিনা। বিশেষত জটিলতা তত্ত্বের কাছে। টিসিএসে অনেকগুলি মুক্ত প্রশ্নে অচলাবস্থার সাথে জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক বলে মনে হয় "আমরা কী ধরণের অক্ষর ব্যবহারের চেষ্টা করি নি?" বিকল্পভাবে, টিসিএসে কোনও গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্নকে দ্বিতীয়-আদেশের পাটিগণিতের কিছু সাধারণ সাবসিস্টেমগুলির থেকে আলাদা বলে দেখানো হয়েছে?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— আর্টেম কাজনাটচিভ
সূত্র

দুটি সম্ভাব্য অক্ষর যা স্বতন্ত্র নাও হতে পারে: 1) 3-স্যাট এর জন্য

সময় প্রয়োজন। 2) সন্তুষ্টিজনক 3 এসএটি সূত্র দেওয়া, প্রতিটি দক্ষ অ্যালগরিদম ক্লজগুলির সর্বাধিক

অংশে সন্তুষ্ট করে । এছাড়াও, দুটি সমতুল্য আকারের গুণাগুণকে উল্টানো (দক্ষতার সাথে) শক্ত।

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

এই কাগজটি প্রাসঙ্গিক: হ্যারি বুহরম্যান, ল্যান্স ফোর্টনউ, লেন টোরেনভালিট, "একটি উপপাদ্যের সন্ধানে ছয় অনুমান," সিসিসি, পিপি 2, কম্পিউটারের জটিলতার উপর বারোবার আইইইই সম্মেলন (সিসি'9), 1997

— মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তানী

নীচের প্রশ্নটি সম্পর্কিত: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… বেশিরভাগ টিসিএস আরসিএতে আনুষ্ঠানিকভাবে নেওয়া যেতে পারে। গ্রাফ গৌণ উপপাদ্য একটি বিরল ব্যতিক্রম। নীল যেমন জোর দিয়েছিলেন, আপনি যদি নতুন ধারণা চান, তবে নতুন আইডিয়া সন্ধান করুন; নতুন axioms জন্য চেহারা না। দুজন একদম এক নয়।

— টিমোথি চৌ চৌ

আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি কেন

বা

তে বিবৃতি দেওয়ার মতো ফলাফল বলা হচ্ছে। আমার প্রথম টিসিএস লেকচারে, আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং তাদের উপর কিছু প্রাথমিক ফাংশন দিয়ে শুরু করেছি। বাকিগুলি অনুসরণ করে। স্পষ্টতই আমি প্রশ্নটি বুঝতে পারি না।

P

$P$

N P

$NP$

— রাফেল

আমি এটি কেবল লক্ষ্য করেছি, তবে স্পষ্টতই লিপটন এই পোস্টে একটি অনুরূপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছেন: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/… , উদ্ধৃত করার জন্য: "আমি অবাক হই যে আমাদের কাছে যে PA এরও বেশি ধারণাগুলি জড়িত এমন প্রমাণ কৌশল রয়েছে কিনা? ব্যবহৃত হয়নি এবং যা কিছু গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা ভাঙতে সহায়তা করবে we আমরা কি পিএ ছাড়িয়ে পড়া গণিতের ক্ষেত্রগুলি থেকে আমাদের স্নাতক শিক্ষার্থীদের পদ্ধতি শিখিয়েছি? " (পিএ =

— পিওনো

উত্তর:

হ্যাঁ, বিষয়টি প্রুফ জটিলতায় অধ্যয়ন করা হয়েছে। একে বাউন্ডেড বিপরীত গণিত বলা হয় । কুক এবং এনগুইনের বই " প্রুফ কমপ্লেক্সটির লজিকাল ফাউন্ডেশনস ", ২০১০- এর পৃষ্ঠা 8 তে কিছু বিপরীত গণিতের ফলাফলযুক্ত একটি সারণী আপনি খুঁজে পেতে পারেন Ste স্টিভ কুকের পূর্ববর্তী কিছু শিক্ষার্থী অনুরূপ বিষয়ে যেমন কাজ করেছেন, যেমন: ন্যুগেইনের থিসিস, " বাউন্ডেড বিপরীত গণিত " , টরন্টো বিশ্ববিদ্যালয়, ২০০৮।

আলেকজান্ডার রাজবরোভ (এছাড়াও অন্যান্য প্রুফ জটিলতা তাত্ত্বিকরা) সার্কিট জটিলতার কৌশলগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে আনতে এবং সার্কিট জটিলতা লোয়ারবাউন্ড প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজনীয় দুর্বল তত্ত্বগুলির কিছু ফলাফল রয়েছে। তিনি দুর্বল তত্ত্বগুলির জন্য কিছু অপ্রতিরোধ্য ফলাফল পেয়েছেন তবে তত্ত্বগুলি খুব দুর্বল হিসাবে বিবেচিত হয়।

এই সমস্ত ফলাফল প্রমাণযোগ্য (বিপরীত গণিতের সিম্পসনের বেস থিওরি), সুতরাং আফাইক আমাদের শক্তিশালী তত্ত্ব থেকে স্বাধীনতার ফলাফল পায় না (এবং প্রকৃতপক্ষে নীল যেমন উল্লেখ করেছে তেমন স্বাধীনতার ফলাফলের দৃ strong় পরিণতি হবে, দেখুন বেন দেখুন -David এর কাজ (এবং সংশ্লিষ্ট ফলাফল) স্বাধীনতার উপর থেকে যেখানে একজন এক্সটেনশান )। $RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— Kaveh
সূত্র

এই জাতীয় স্বাধীনতার ফলাফলগুলি বড় সাফল্য হবে, তবে আমি মনে করি না তাদের তাত্ক্ষণিক শক্ত পরিণতি হয়েছে; নীলের উত্তর সম্পর্কে আমার মন্তব্য দেখুন।

— টিমোথি চৌ চৌ

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

আপনার চূড়ান্ত প্রশ্নের ইতিবাচক উত্তর হিসাবে, বহুগুণিত ল্যাম্বডা ক্যালকুলির সাধারণীকরণের প্রমাণ যেমন ক্যালকুলাস নির্মাণের জন্য কমপক্ষে উচ্চতর-অর্ডের গাণিতিক প্রয়োজন হয় এবং শক্তিশালী সিস্টেমগুলি (যেমন ইন্ডাকটিভ নির্মাণের ক্যালকুলাস) জেডএফসির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং আরও অনেক দুর্গম দুর্গম।

$P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

আরও দার্শনিকভাবে, কোনও বিমূর্ততার শক্তির সাথে ধারাবাহিকতা শক্তির সাথে সমীকরণের ভুল করবেন না।

কোনও বিষয় সংগঠিত করার সঠিক উপায়ে আপাতদৃষ্টিতে বন্য সেট-তাত্ত্বিক নীতিগুলি জড়িত থাকতে পারে, যদিও এটি ধারাবাহিকতার শক্তির ক্ষেত্রে কঠোরভাবে প্রয়োজনীয় নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দৃ strong় সংগ্রহের নীতিগুলি অভিন্নতা বৈশিষ্ট্যগুলি উল্লেখ করার জন্য খুব দরকারী - উদাহরণস্বরূপ, বিভাগের তাত্ত্বিকরা সব দলের বিভাগের মতো জিনিসগুলিকে হস্তান্তর করার জন্য দুর্বল বড় কার্ডিনাল অ্যাকোয়িয়ামগুলি অর্জন করতে চায় তবে তারা বস্তু ছিল। সর্বাধিক বিখ্যাত উদাহরণটি হল বীজগণিত জ্যামিতি, যার বিকাশ গ্রোথেনডিক মহাবিশ্বের বিস্তৃত ব্যবহার করে, তবে যার প্রয়োগগুলি (যেমন ফার্মার লাস্ট থিওরেম) স্পষ্টতই তৃতীয়-অর্ডের গাণিতিকের মধ্যে রয়েছে। আরও তুচ্ছ উদাহরণ হিসাবে, নোট করুন যে জেনেরিক পরিচয় এবং রচনা ক্রিয়াকলাপগুলি কার্যকারিতা নয়, যেহেতু সেগুলি পুরো বিশ্বজুড়ে সেট করা হয়।

$\sigma$ $X$ $X$

সম্পাদনা: লজিক্যাল সিস্টেম এ-এর সিস্টেম বি-এর তুলনায় বৃহত্তর ধারাবাহিকতা রয়েছে, যদি এ এর ধারাবাহিকতা বি-এর ধারাবাহিকতা বোঝায় উদাহরণস্বরূপ, জেডএফসিতে পেনো পাটিগণিতের তুলনায় বৃহত্তর ধারাবাহিকতা রয়েছে, কারণ আপনি জেডএফসিতে পিএর ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারেন। এ এবং বি এর সামঞ্জস্যপূর্ণ শক্তি একই থাকে। উদাহরণস্বরূপ, হেইটিং (গঠনমূলক) গাণিতিক হলেই পেনো পাটিগণিত সুসংগত।

আইএমও, যুক্তি সম্পর্কে সবচেয়ে আশ্চর্যজনক তথ্য হ'ল যে ধারাবাহিকতা শক্তিটি এই প্রশ্নটিতে ফোটে যে "আপনি এই যুক্তিতে মোটামুটি প্রমাণ করতে পারবেন দ্রুততম বর্ধনীয় ফাংশনটি কী?" ফলস্বরূপ, বহু শ্রেণীর যুক্তিবিদ্যার ধারাবাহিকতা রৈখিকভাবে আদেশ করা যেতে পারে! আপনার দুটি লজিকস মোট প্রদর্শন করতে পারে দ্রুততম ক্রমবর্ধমান ফাংশনগুলি বর্ণনা করতে সক্ষম যদি আপনার কাছে একটি অরডিনাল স্বরলিপি থাকে তবে আপনি ট্রাইকোটমির মাধ্যমে জানেন যে হয় যে কোনও একটি অন্যটির সামঞ্জস্যতা প্রমাণ করতে পারে, বা সেগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ।

তবে এই বিস্ময়কর সত্যটি হ'ল গাণিতিক বিমূর্ততা সম্পর্কে কথা বলার জন্য কেন ধারাবাহিকতা শক্তি সঠিক সরঞ্জাম নয়। এটি কোডিং ট্রিকস সহ একটি সিস্টেমের আক্রমণকারী এবং একটি ভাল বিমূর্ততা আপনাকে কৌশলগুলি ছাড়াই একটি ধারণা প্রকাশ করতে দেয় । তবে এই ধারণাটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করার জন্য আমরা যুক্তি সম্পর্কে যথেষ্ট জানি না।

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

'ধারাবাহিকতা শক্তি' কী?

— সুরেশ ভেঙ্কট

বেন-ডেভিড এবং হালেভী যা প্রমাণ করেছিলেন তা নয়। "বর্তমানে উপলব্ধ কৌশলগুলি ব্যবহার করে" আপনি তাদের গুরুত্বপূর্ণ চালকটিকে উপেক্ষা করেছেন। আমি তাদের কাগজটির ব্যাখ্যা করি যে আমাদের বর্তমান প্রমাণ কৌশলগুলি কতটা দুর্বল তা জোর দিয়ে P = NP প্রশ্ন সম্পর্কে বলার অপেক্ষা রাখে না।

— টিমোথি চৌ চৌ