শীর্ষস্থানীয় কভারগুলির সংখ্যা গণনা: কখন শক্ত?

Question

প্রদত্ত গ্রাফ এর শীর্ষবিন্দুগুলির সংখ্যা গণনার # পি-সম্পূর্ণ সমস্যাটি বিবেচনা করুন ।$G = (V, E)$

আমি জানতে চাই যে কোনও ফলাফলের কিছু পরামিতি (উদাহরণস্বরূপ, ।) সাথে এই জাতীয় সমস্যাটির কঠোরতা কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা দেখায় কিনা তা জানতে চাই ।$G$$d = \frac{|E|}{|V|}$

আমার সংবেদনটি হ'ল স্পার্স থাকাকালীন এবং যখন ঘন হয় তখন সমস্যাটি উভয়ই সহজ হওয়া উচিত , যখন "মাঝখানে" থাকাকালীন এটি শক্ত হওয়া উচিত । আসলেই কি এই ঘটনা?$G$$G$$G$

Comments

আপনি কি সমস্ত ভার্টেক্স কভার, বা সমস্ত ন্যূনতম কার্ডিনালিটি ভার্টেক্স কভারগুলি গণনা করতে চান? নোট করুন প্রথম সমস্যাটি কিছু ক্ষেত্রে আরও সহজ হতে পারে, কারণ এটি আপনাকে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধানে অগত্যা সহায়তা করে না।

— রায়ান উইলিয়ামস

হাই রায়ান, হ্যাঁ আমি সমস্ত ভার্টেক্স কভারগুলি গণনা করতে চাই। আপনি কেন বলছেন "এটি প্রয়োজনীয়ভাবে আপনাকে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধানে সহায়তা করে না" ? যদি এটি # পি-সম্পূর্ণ হয় তবে এটি কেন আমাকে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধানে সহায়তা করে না?

— জর্জিও ক্যামেরানী

@ ওয়াল্টার, প্রদত্ত 2 এসএটি সূত্রে সন্তুষ্ট যে পরিবর্তনশীল অ্যাসাইনমেন্টগুলি # পি-সম্পূর্ণ তবে 2SAT পি-তে রয়েছে

— মোহাম্মদ আল-তুর্কিস্তান

@ তুরস্কিস্তানি: হ্যাঁ আমি ইতিমধ্যে তা জানি ...

— জর্জিও ক্যামেরানি

@ তুরস্কিস্তানি: ... তবে তবে? আমার এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা যাই হোক না কেন, আমি এটিকে স্যাট, তারপরে স্যাটকে # এসএটি, তারপর # এস্যাটকে # মনোোটোন -2 এসএটি (যা গণনা মূলকোষ হিসাবে ঠিক একই) রূপান্তর করতে পারি। তাহলে কেন আমি ভার্টেক্স কভারগুলি গণনা করার ক্ষমতা দিয়ে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি সমাধান করতে পারছি না?

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 1

প্রদত্ত গ্রাফের ভার্টেক্স কভারের সংখ্যা গণনা করার # ভিসি সমস্যা 3-নিয়মিত গ্রাফের জন্য # পি-হার্ড থাকে; উদাহরণস্বরূপ দেখুন [গ্রিনহিল, 2000]।

যে #VC সমস্যা সর্বাধিক সঙ্গে গ্রাফ জন্য # পি-কঠিন রয়ে দেখাতে $c\cdot n$ প্রান্ত, যেখানে $n$ ছেদচিহ্ন সংখ্যা এবং $0<c<3/2$ , একটি বৃহৎ যথেষ্ট যোগ করে 3-নিয়মিত মামলা থেকে কমাতে স্বতন্ত্র সেট (রৈখিক আকারের)। আপনি যদি একটি স্বাধীন সেট যোগ করেন তবে ভারটেক্স কভারগুলির সংখ্যা একই থাকবে।

একইভাবে, দেখাতে হবে যে #VC সমস্যা অন্তত গ্রাফ জন্য # পি-কঠিন রয়ে $c\cdot n^2$ প্রান্ত, যেখানে $n$ ছেদচিহ্ন সংখ্যা এবং $0<c<1/2$ , একটি বৃহৎ যথেষ্ট যোগ করে #VC থেকে কমাতে চক্র উপাদান (রৈখিক আকারের)। আপনি যদি কোনও গ্রাফে আকারের পি এর একটি চক্র যুক্ত করেন তবে ভার্টেক্স কভারের সংখ্যা $p+1$ দ্বারা গুণিত হবে ।$p$

ক্যাথরিন এস গ্রিনহিল: বিরল গ্রাফ এবং হাইপারগ্রাফে রঙিন এবং স্বতন্ত্র সেট গণনা জটিলতা । গণনামূলক জটিলতা 9 (1): 52-72 (2000)

Comments

সুতরাং ছাড়টি হ'ল কিউবিক গ্রাফের জন্য # ভিসি # পি-সম্পূর্ণ কারণ # আইআইএস # পি-সম্পূর্ণ?

— মুছে দিন 1000

Answer 2

ইয়ারোস্লাভের উত্তর অনুসরণ করে লবি এবং ভিগোদা প্রথম ঘনত্বের শর্তে # আইআইএস-এর জন্য প্রথম একটি এফপিআরএস দেখিয়েছিলেন (সর্বাধিক ডিগ্রি 4, যা আমি ভাইটসের ফলাফলের চেয়ে দুর্বল বলে মনে করি), যখন ডায়ার, ফ্রেইজ এবং জের্রাম দেখিয়েছিলেন যে এখানে কোনও এফপিআরএস নেই। # আইপি যদি আরপি = এনপি না হয় তবে গ্রাফের সর্বাধিক ডিগ্রি 25 হয়।

তথ্যসূত্র:

মার্টিন ডায়ার, অ্যালান ফ্রিজ এবং মার্ক জের্রাম। বিরল গ্রাফগুলিতে স্বাধীন সেট গণনা করা On FOCS 1999।

মাইকেল লবি এবং এরিক ভিগোদা। আনুমানিক চার পর্যন্ত গণনা। স্টক 1997।

জেরামের ETH লেকচার নোটগুলি, "গণনা, নমুনা এবং একীকরণ: অ্যালগরিদম এবং জটিলতা" দেখুন।

Comments

বিটিডাব্লু, অ্যালান স্লাই সর্বাধিক ডিগ্রি = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

@ ইয়ারোস্লাভ: রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ। দেখে মনে হচ্ছে ভালো পড়া!

— আরজেকে

Answer 3

$n$$d$$d$$f(d,\epsilon)\cdot n$$\exp(\epsilon n)$$d$$2$-স্যাট (যা স্বতন্ত্র সেট গণনা এবং শীর্ষ প্রান্ত গণনা করার সমতুল্য)।

$n$$\exp(o(n))$

Comments

আপনার চূড়ান্ত মন্তব্য সম্পর্কে: ETH এর অর্থ হ'ল স্যাটকে subexponential সময় সমাধান করা যায় না, যা মানক হ্রাস দ্বারা বোঝা যায় যে স্বতঃসংশ্লিষ্ট সময়ে স্বতন্ত্র সেটটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যাবে না। এটি তাত্ক্ষণিক যে ETH সূচিত করে স্বতঃসংশ্লিষ্ট সময়ে স্বতন্ত্র সেটগুলি গণনাও করা যায় না।

— আন্দ্রেস সালামন

$\exp(o(n/\log^3 n))$

Answer 4

সেটটি একটি ভার্টেক্স কভার হয় যদি এর পরিপূরকটি একটি স্বাধীন সেট হয়, সুতরাং এই সমস্যাটি স্বাধীন সেটগুলি গণনার সমতুল্য।

সীমাবদ্ধ চৌম্বকীয় চক্র-প্রস্থের গ্রাফের জন্য স্বতন্ত্র সেটের বীজগণিত গণনা এফপিটি। উদাহরণস্বরূপ, কুরসেলের "এ মাল্টিভারিয়েট ইন্টারলেস বহুবর্ষ এবং সীমিত চক্র-প্রস্থের গ্রাফগুলির জন্য এর গণনা" দেখুন, যেখানে তারা স্বাধীনতা বহুবর্ষের একটি সাধারণীকরণ গণনা করে। স্বাধীনতা বহুবর্ষের সহগ যোগ করা স্বাধীন সেটগুলির সংখ্যা দেয়।

সর্বোচ্চ ডিগ্রি 3 সহ গ্রাফগুলিতে আনবাউন্ডেড চক্র-প্রস্থ থাকতে পারে।

$d$$\lambda$

$$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$$

_{(উত্স: yaroslavvb.com )}

$\lambda=1$

$d$$\lambda$$d$

Comments

ভিসির পরিবর্তে আইএস এর সাথে কাজ করার ক্ষেত্রে সমস্যাটি হ'ল পরিপূরক গ্রাফগুলি যে কোনও দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য হারাতে পারে: উদাহরণস্বরূপ, "সর্বাধিক কে" "কমপক্ষে ডি কে" ডিগ্রি সহ "সীমাবদ্ধ হয়", যা এখন উদাহরণ আকারের উপর নির্ভরশীল। এটি প্রাসঙ্গিক বা নাও থাকতে পারে।

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেস এটি শীর্ষ প্রান্তটি নয়, কিন্ত সেটটি জটিল হয়ে উঠছে।

— টাইসন উইলিয়ামস