বহু-আকারের সিএফজি রয়েছে যা এই সীমাবদ্ধ ভাষাটি বর্ণনা করে?

Question

অস্তিত্ব আছে একাধিক বিন্যাসন কি এবং বহুপদী আকার (মধ্যে ) প্রসঙ্গ বিনামূল্যে ব্যাকরণ যে সসীম ভাষা বর্ণনা বর্ণমালা ধরে ?$\pi_1,\pi_2$$|w|=n$$\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$$\{0,1\}$

আপডেট: এক ক্রমানুসারে এটি সম্ভব। হল বিপরীতটির বিপরীত বা অপেক্ষাকৃত ছোটখাট পরিবর্তন।$\pi$$\pi$

Comments

গণিত.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে জিজ্ঞাসাও করা হয়েছে। তার অর্থ যা হ'ল: অনুক্রম মতো রয়েছে যে ভাষাগুলি pol বহুতল আকারের সিএফজি রয়েছে? $\pi_1^n,\pi_2^n \in S_n$$L_n = \{w \pi_1(w) \pi_2(w) : w\in \{0,1\}^n\}$

— যুবাল চলচ্চিত্র

math.stackexchange.com/questions/22361/…

— Tsuyoshi Ito

আমরা কি জানি যে জন্য কোনও সিএফজি রয়েছে কিনা ? $L = \bigcup_n L_n$

— কাভেঃ

@ কাভেঃ: উত্তরগুলির কোনও অনুক্রমের উত্তর নেই no যদি আপনার ভাষা প্রসঙ্গ-মুক্ত ছিল, তবে এটির পাম্পিং দৈর্ঘ্যের । ডাব্লু সম্পর্কিত স্ট্রিংয়ে সিএফজির জন্য পাম্পিং লেমাকে প্রয়োগ করুন । CFGs জন্য পাম্পিং থিম এছাড়াও এর আমাদের বলে, যদি OQ একটি ইতিবাচক উত্তর আছে, তারপর জন্য CFG দিন অন্তত ব্যবহার করা আবশ্যক ভেরিয়েবল, যেহেতু আমরা প্রয়োজন পাম্পিং দৈর্ঘ্যের তুলনায় কম হতে , যাতে জন্য আমাদের সিএফজি দৈর্ঘ্যের কোনও স্ট্রিং গ্রহণ করে না । ওকিউর ইতিবাচক উত্তরটি অস্বীকার করতে কীভাবে এটি ব্যবহার করবেন তা আমি এখনও দেখছি না, তবে এটি সম্ভবত সম্ভব হতে পারে। $L$$p$$w = 0^p 1^p$$L_n$$\Omega(n / \log n)$$3n$$L_n$$> 3n$

— জোশুয়া গ্রোচো

@ কাভেঃ (এছাড়াও, যদি পারমসের ক্রমটি নির্বিচারে চয়ন করা যায়, তবে আপনার ভাষা গণনা করার দরকার নেই ... ওকিউ অন্তর্নিহিতভাবে অ-অভিন্ন বলে মনে হচ্ছে))$L$

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 1

চমস্কি স্বাভাবিক ফর্ম

যদি একমাত্র উত্পাদন ফর্ম হয় তবে সিএফজি সিএনএফ (চমস্কি স্বাভাবিক ফর্ম) এ থাকে $A \rightarrow a$ এবং $A \rightarrow BC$; ব্যাকরণটি কেবল চতুষ্কোণ ব্লোআপ দিয়ে সিএনএফ এ আনা যেতে পারে।

ব্যাকরণ জন্য $G$সিএনএফ-তে, আমাদের সুন্দর সাবওয়ার্ড লেমমা রয়েছে: যদি$G$ একটি শব্দ উত্পন্ন $w$, তারপর প্রতিটি জন্য $\ell \leq w$, একটি সাবওয়ার্ড আছে $x$ এর $w$ দৈর্ঘ্যের $\ell/2 \leq |x| < \ell$ যা কিছু অ টার্মিনাল দ্বারা উত্পাদিত হয় $G$। প্রুফ: (বাইনারি) সিনট্যাক্স ট্রিটি বর্ধন করুন, সর্বদা সেই সন্তানের কাছে যান যা দীর্ঘতর শব্দটি তৈরি করে। আপনি যদি কমপক্ষে আকারের সাব-ওয়ার্ড দিয়ে শুরু করেন$\ell$, আপনি নীচে যেতে পারবেন না $\ell/2$।

সমাধান

সাধারণতা ক্ষতি ছাড়াই, আমরা ধরে নিতে পারি যে এটির জন্য একটি ব্যাকরণ $L_n$ (নির্দিষ্ট সঙ্গে একটি ভাষা $\pi_1,\pi_2 \in S_n$) চমস্কি নরমাল ফর্মে রয়েছে। ভাষা$L_n$ শব্দ নিয়ে গঠিত $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ সবার জন্য $x \in \{0,1\}^n$।

সাবম্যাড লেমমা ব্যবহার করে প্রত্যেকের জন্য $w(x)$ আমরা একটি সাবস্ট্রিং খুঁজে পেতে পারেন $s(x)$ দৈর্ঘ্যের

$$\frac{n}{2} \leq |s(x)| < n$$ কিছু প্রতীক দ্বারা উত্পাদিত $A(x)$ এবং অবস্থানে ঘটছে $p(x)$।

হটাত যদি $p(x) = p(y)$ এবং $A(x) = A(y)$। থেকে$|s(x)|<n$, সাবওয়ার্ড $s(x)$ উভয়কে ছেদ করতে পারে না $x$ অংশ এবং $\pi_2(x)$ অংশ বিশেষ $w(x)$; আমরা ধরে নিতে পারি যে এটির কাছ থেকে বিরক্তি রয়েছে$x$অংশ। এইভাবে$w(x)$ ফর্ম হয় $x \alpha s(x) \beta$। এটা ব্যাখ্যা করে যে$A(x)$ ঠিক একটি স্ট্রিং উত্পন্ন করে, যথা $s(x)$। অতএব$s(x) = s(y)$।

এখন $s(y)$ ছেদ হয় $\pi_1(y)$ অথবা $\pi_2(y)$ অন্তত $n/4$ স্থান এবং এইভাবে অন্তত নির্ধারণ করে $n/4$ বিট $y$। সর্বাধিক$2^{3n/4}$ স্ট্রিং $y \in \{0,1\}^n$ পেতে পারি $p(x) = p(y)$ এবং $A(x) = A(y)$। যেহেতু সর্বাধিক আছে$3n$ সম্ভাবনা $p(y)$, আমরা পেয়েছি যে কমপক্ষে আছে

$$\frac{2^{n/4}}{3n}$$ ব্যাকরণে বিভিন্ন নন-টার্মিনালগুলি।

মন্তব্য: একই প্রমাণ কাজ করে যদি $\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$অর্থাত্ সকলের সেটে নির্বিচারে অনুমতি দেওয়া হয় $n$-বাইট শব্দ। প্রদত্ত$n/4$ বিট $\pi_i(y)$ঠিক আছে $2^{3n/4}$ preimages $y$।

আরও উদাহরণ

একই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে প্রতিটি অক্ষর হুবহু দ্বিগুণ প্রদর্শিত হয় এমন ভাষাটির বর্ণমালার আকারে ক্ষতিকারক-আকারের সিএফজি প্রয়োজন। আমরা কোনও উপসেটের সাথে "দুবার" প্রতিস্থাপন করতে পারি$\mathbb{N}$ চারটি তুচ্ছ ব্যতীত (উপেক্ষা করে) $0$, হয় কোনটি সমন্বিত $\mathbb{N}_{\geq 1}$ বা এটি সমস্ত)।

আমি এই প্রমাণ পদ্ধতির জন্য একটি রেফারেন্স প্রশংসা করব।

Comments

ইউভাল, আপনি দয়া করে সমাধানটি এখানে অনুলিপি করতে পারেন।

— কাভেহ

ধন্যবাদ ইউভাল যদি আপনার পদ্ধতিটি সঠিক এবং উপন্যাস হয় তবে আমি সীমাবদ্ধ বা অসীম ভাষার জন্য পলিসাইজ সিএফজিতে ইতিবাচক বা নেতিবাচক ফলাফল সহ আরও সাধারণ ক্ষেত্রে তদন্তকারী একটি নিবন্ধটি পড়তে পেরে আনন্দিত হব।

— jerr18

এই লেখার ব্যবস্থা আছে: cs.toronto.edu/~yuvalf/cfg.pdf ।

— যুবাল ফিল্মস

আমি মনে করি ব্যতিক্রম দ্বারা $N_{\geq 1}$আপনার অর্থ "টার্মিনালের কমপক্ষে একটি ঘটনা"। এর অর্থ কি আপনি ছেদ করে সমস্ত অনুমতিগুলি তৈরি করতে পারবেন?$\Sigma^{|\Sigma|}$?

— jerr18

সম্পর্কিত প্রশ্নটি দেখুন cstheory.stackexchange.com/q/5014 যেখানে ইউভাল একটি প্রকাশিত রেফারেন্স সহ উত্তর পোস্ট করেছে।

— আন্দ্রে সালামন