পি-তে রানটাইম সীমা কি নির্ধারণযোগ্য? (উত্তর: না)

Question

নিম্নলিখিত প্রশ্নটি সিদ্ধান্তগ্রহণযোগ্য কিনা তা জিজ্ঞাসিত প্রশ্নটি:

সমস্যা   একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া এবং টুরিং মেশিন পি হতে প্রতিশ্রুত, এর রানটাইম হয় ইনপুট দৈর্ঘ্য সম্মান সঙ্গে ?এম এম ও ( এন কে ) $k$$M$$M$ ${O}(n^k)$$n$

"হ্যাঁ", "না" বা "উন্মুক্ত" এর একটি সংকীর্ণ উত্তর গ্রহণযোগ্য (তথ্যসূত্র, প্রমাণ স্কেচ, বা বর্তমান জ্ঞানের পর্যালোচনা সহ), তবে বিস্তৃত উত্তরগুলিও খুব স্বাগত।

উত্তর

ইমানুওয়েল ভায়োলা একটি প্রমাণ পোস্ট করেছে যে প্রশ্নটি অনিবার্য (নীচে দেখুন)।

পটভূমি

আমার জন্য, লুকা তেভিসানের প্রশ্নের উত্তর ভাগ করে নেওয়ার ক্ষেত্রে এই প্রশ্নটি স্বাভাবিকভাবেই উত্থিত হয়েছিল পি এর জন্য রানটাইমসের জন্য কি এক্সপি সংস্থানগুলি উপরের দিকে আবদ্ধ হওয়া দরকার? … কংক্রিটের উদাহরণ কি জানা যায়?

প্রশ্নটি ম্যাথওভারফ্লো প্রশ্নটির সাথেও সম্পর্কিত: গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় টিউরিং অনস্বীকার্য সমস্যাগুলি কী কী? , এমন একটি প্রকরণে যেখানে "গণিত" শব্দটি "ইঞ্জিনিয়ারিং" তে পরিবর্তিত হয়, স্বীকৃতি হিসাবে রানটাইম অনুমান একটি সর্বব্যাপী ইঞ্জিনিয়ারিং সমস্যা (উদাহরণস্বরূপ) নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব এবং সার্কিট ডিজাইনের সাথে যুক্ত।

সুতরাং, এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসার বিস্তৃত উদ্দেশ্য হ'ল আরও ভাল প্রশংসা / অন্তর্দৃষ্টি লাভ করা যা জটিলতা ক্লাস পিতে রানটাইম অনুমানের ব্যবহারিক দিকগুলি সম্ভব (যা অনুমান করার জন্য পিতে গণনা মূলক সংস্থান প্রয়োজন), বনাম অক্ষম (যা, অনুমানের জন্য এক্সপিতে গণ্য সংস্থান প্রয়োজন), আনুষ্ঠানিকভাবে অনস্বীকার্য us

--- সম্পাদনা (উত্তর-উত্তর) ---

আমি ম্যাথওভারফ্লো এর সম্প্রদায়ের উইকিতে " আকর্ষক টিউরিং -অবিঘ্নিত সমস্যা" ভায়োলার উপপাদ যুক্ত করেছি । এটি জটিলতার ক্লাস পি এর সাথে সম্পর্কিত উইকের প্রথম অবদান; এটি ভায়োলার উপপাদ্যের অভিনবত্ব, প্রাকৃতিকতা এবং বিস্তৃত ক্ষেত্রের সত্যতা দেয় (এবং এর সৌন্দর্যও আইএমএইচও)।

--- সম্পাদনা (উত্তর-উত্তর) ---

জুরিস হার্টম্যানিসের মনোগ্রাফ সম্ভাব্য গণনা এবং প্রমাণযোগ্য জটিলতার বৈশিষ্ট্য (1978) ইমানুওয়েল ভায়োলার প্রমাণ হিসাবে একই উপাদানটির অনেকগুলি অংশ জুড়ে।

Comments

"কম্পিউটার বিজ্ঞানের 75 বছর" শীর্ষক অধীনে ল্যান্স ফোর্টনো এবং বিল গ্যাসারচের ওয়েবলগে উত্থাপিত প্রশ্নের জবাবে "আমি প্রায়শই ইচ্ছে করেছিলাম যে টুরিং সুচিন্তিতভাবে জিজ্ঞাসা করেছিলেন:" যাচাইযোগ্য প্রক্রিয়াগুলি কোনটি কম্পিউটারে করা যেতে পারে? সংখ্যা? "... টিউরিংয়ের পরিবর্তে দুর্ভাগ্যজনকভাবে কঠিন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা:" একটি সংখ্যার গণনা করার জন্য যে প্রক্রিয়াগুলি সম্পন্ন করা যেতে পারে সেগুলি কী? ", পরের প্রশ্নটি হবে (আনুমানিক)" টুরিং মেশিনগুলি কি বিদ্যমান যা প্রমাণযোগ্য? এনপিতে, পি-তে কার সদস্যপদ অনস্বীকার্য? "এই আমি এখনও এটি নিয়ে ভাবছি তা দেখানোর জন্য! :)

— জন সিডলস

যদিও আমি ইমানুওয়েল ভায়োলার

— অ্যালেক্স টেন ব্রিং

এই থ্রেডের বেশ কয়েকটি উত্তর এবং ধারণা প্রবন্ধ / প্রশ্ন সেটের সাথে প্রাসঙ্গিক প্রমাণিত হয়েছিল যে ডিক লিপটন তাঁর ওয়েবলগে গডেলের লস্ট লেটারে পোস্ট করেছেন ; সেই প্রবন্ধ / প্রশ্ন সেটটি হ'ল "পি = এনপি এর সাথে বেস করা"। ইউআরএল: rjlipton.wordpress.com/2011/07/04/getting-on-base-with-pnp

— জন সিডলস

যদিও পি এর সীমানা অনস্বীকার্য, এটি চেষ্টা থেকে কোনওটি থামায় না (নিজেকে আরও সীমাবদ্ধ করে)। উদাহরণস্বরূপ যদি এই চিস্ত্রি উত্তর

— আর্টেম কাজনাটচিভ

এই প্রশ্নটি নিম্নলিখিত নিবন্ধটি অনুপ্রাণিত করেছে: arxiv.org/abs/1307.3648

— ডেভিড জি

Answer 1

সমস্যাটি অনস্বীকার্য। বিশেষত, আপনি নীচে এটি থামানোর সমস্যা হ্রাস করতে পারেন। থামার সমস্যার একটি উদাহরণ , একটি নতুন মেশিন যা নীচের মত কাজ করে: দৈর্ঘ্য ইনপুটগুলিতে , এটি পদক্ষেপের জন্য উপর অনুকরণ করে । যদি গ্রহণ করে, পদক্ষেপের জন্য লুপ করুন এবং থামুন; অন্যথায় পদক্ষেপের জন্য লুপ এবং স্টপ।এম ′ এন এম এক্স এন এম এন 2 এন $(M,x)$$M'$$n$$M$$x$$n$$M$$n^2$$n^3$

তাহলে উপর স্থগিত এটা যাতে না পদক্ষেপ, এত রান টাইম হবে । তাহলে তারপর কখনো থামিয়ে এর রান টাইম কমপক্ষে ।x টি = ও ( 1 ) এম ′ ও ( এন 2 ) এম এম ′ n $M$$x$$t=O(1)$$M'$$O(n^2)$$M$$M'$$n^3$

অত: পর যদি আপনি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন গ্রহণ সিদ্ধান্ত দ্বারা যদি এর রান টাইম হয় বা ।এক্স এম ′ ও ( এন 2 ) ও ( এন 3$M$$x$$M'$$O(n^2)$$O(n^3)$

Comments

কেন ও (1) পদক্ষেপে এমকে x (যদি এটি হয়) থামাতে হবে?

— সুরেশ ভেঙ্কট

এক্স $M$ এবং পৃথক স্থির করা হয়েছে । $x$$n$

— মানু

খুব চতুর প্রমাণ, এটি কিছু সুপরিচিত ফলাফলের ভিন্নতা বা আপনি কেবল এটি তৈরি করেছিলেন?

— আন্তোনিও ই পোরেরকা

@ রাফেল: এটি একটি স্পর্শকাতর অঞ্চল, যা আমি মনে করি না যে আমরা সমাধান করেছি। কিছু স্ট্যাকএক্সচেঞ্জ সাইট অন্যের উত্তর সম্পাদনা করতে উত্সাহ দেয়। এর বিরুদ্ধে আমাদের কোনও নীতি নেই, তবে, ব্যবহারিক বিষয় হিসাবে, আমি এটি প্রায় কখনও দেখিনি। একটি প্রযুক্তিগত বিষয়: যদি কোনও উত্তর খুব বেশি সম্পাদনা করা হয় তবে এটি সম্প্রদায়ের উইকিতে পরিণত হয় এবং তারপরে উত্তরটি উত্সাহিত করা হলে @ ইমানুয়েল আর কোনও রেপ পয়েন্ট পাবেন না। আমি মনে করি অতিরিক্ত ব্যাখ্যা নির্মল সাহায্য করবে একটি করুন: @John Sidles প্রাথমিকভাবে চিন্তা প্রতিশ্রুতি ব্যবহৃত হচ্ছে না করা হয়, কিন্তু প্রমাণ একটি ব্যবহার শক্তিশালী প্রতিশ্রুতি: রান বা , শুধু পিn 2 এন $M'$$n^2$$n^3$

— হারুন স্টার্লিং

@ জন: যতক্ষণ কোনও প্রকাশিত রেফারেন্স দেওয়া না হয় ততক্ষণ এই গাইডলাইনটি বিবেচনা করুন ।

— রাফেল

Answer 2

এটি আরও বোধগম্য হওয়ার লক্ষ্যটির সাথে ইমানুওয়েল ভায়োলার উত্তরটির পুনর্বিবেচনা।

আমরা দেখি যে প্রদত্ত সমস্যা তার মধ্যে সাধারণ থামার সমস্যা এটিকে হ্রাস করে অনির্ধারিত ।$P$$H$

যাক বিরাম সমস্যা কোন দৃষ্টান্ত হতে, যে আমরা খাসি সিদ্ধান্ত নিতে হয় ( উপর স্থগিত )। নিম্নলিখিত হিসাবে কাজ করে এমন একটি ট্যুরিং মেশিন follows :$(M, x)$$M(x)\downarrow$$M$$x$$M^*$

M*(y) = {
  n := |y|
  Simulate M(x) for n steps
  if ( M(x) has halted )
    Execute n*n arbitrary steps
  else
    Execute n*n*n arbitrary steps
}

এখন আমরা নিম্নলিখিত প্রভাবগুলি পর্যবেক্ষণ করি:

$\begin{align*} M(x) \downarrow \quad &\Rightarrow \exists n_0 \in \mathbb{N} : M \text{ halts on } x \text{ after at most } n_0 \text{ steps} \\ &\Rightarrow \forall y : n \geq n_0 \Rightarrow M^*(y) \text{ executes } n^2 \text{ arbitrary steps} \\ &\Rightarrow T_{M^*}(n) \in \mathcal{O}(n^2) \end{align*}$

এবং

$\begin{align*} M(x) \uparrow \quad &\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N} : M \text{ does not halt on } x \text{ in less than } n \text{ steps} \\ &\Rightarrow \forall y : M^*(y) \text{ executes } n^3 \text{ arbitrary steps} \\ &\Rightarrow T_{M^*}(n) \in \Omega(n^3) \end{align*}$

অতএব, । ধরে নেওয়া যাক algorithmicaly নির্ধার্য ছিল, তাই হবে , যা একটি অসঙ্গতি উৎপাদ। $H(M,x) \Leftrightarrow P(M^*,2)$$P$$H$$\square$

Answer 3

ইতিবাচক দিক, এটি নির্ধার্য হল একটি অন্যতম টেপ টুরিং মেশিন সময় রান কিনা দেওয়া , দেখুন:$n \mapsto C \cdot n + D$$C, D \in \mathbb{N}$

ডেভিড গাজার: ওয়ান-টেপ নন-নির্ধারিত$Cn+D$ টিউরিং মেশিন টাইম -তে চলছে কিনা তা যাচাই করা হচ্ছে , আরএক্সিভি: 1312.0496

Comments

স্বল্প সময়ের ওয়ান-টেপ টিএম দ্বারা অস্বাভাবিক আচরণের কোনও অভাব নেই। :)

— কাভেহ

Answer 4

সমস্যাটি আমার নিবন্ধ " রাইসের উপপাদ্যের অন্তর্নিহিত সামগ্রী " পিওপিএল'2008- এও সমাধান করা হয়েছিল , যেখানে আমি প্রমাণ করি যে কোনও "জটিলতা চক্র" সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়। একটি জটিলতা চক্র হ'ল এক শ্রেণীর প্রোগ্রাম যা একই রকম আচরণ এবং জটিলতার সাথে বন্ধ ক্লিষ্ট প্রোগ্রাম । আমি আধা-নির্ধারণযোগ্য বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাদি সরবরাহ করি।

ও (এন ^ কে) এ চলমান প্রোগ্রামগুলি উপরের অর্থে একটি জটিল চক্র, সুতরাং সেটটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়।

ফলটি সম্প্রতি ম্যাথিউ হোয়ারুপ দ্বারা সাবক্রাক্সিভ সেটিংসে (যেমন পি) প্রসারিত করা হয়েছে: সাবক্রিসিভ ফাংশনের ( আইসিএএলপি 2016) এর নির্ধারিত বৈশিষ্ট্য ।

Answer 5

পূর্ববর্তী উত্তরগুলিতে যোগ করার জন্য, এই সমস্যাটি কেবল নয় তবে সম্পূর্ণ। সুতরাং, সিদ্ধান্ত নেওয়া স্থগিতকরণ সমস্যার জন্য যদি একটি সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী থাকে তবে এটি অনস্বীকার্য। $Σ^0_2$

সম্পূর্ণতা স্পষ্ট করার জন্য, পি-টাইম প্রতিশ্রুতি , একটি নির্ধারণযোগ্য সেট রয়েছে যে এর সমস্ত মেশিন বহুবর্ষের সময় এবং প্রশ্নটি সম্পূর্ণ ।$Σ^0_2$$S$$S$$O(n^2)$$Σ^0_2$$S$

এই প্রমাণ করার জন্য, একটি চয়ন সম্পূর্ণ , সঙ্গে গণনীয় বহুপদী সময় (বাইনারি সংখ্যার জন্য)।$Σ^0_2$$φ$$φ(x) ⇔ ∃k ∀m \, ψ(x,k,m)$$ψ$

তারপরে ধরে রাখে যদি নীচের মেশিনটি যেখানে ইনপুট দৈর্ঘ্য হয় (মেশিনটি কেবল ইনপুট দৈর্ঘ্যের যত্ন করে):$φ(x)$$O(n^2)$$n$

0 থেকে এর জন্য :     যদি : # লুপ         থামার সাহায্যে পরীক্ষা করা হয় ধাপ থামার     জন্য অপেক্ষা করুনএন ∀ এম < $k$$n$
এন $∀m<n \, ψ(x,k,m)$

$n^2$

মনে রাখবেন যে খুব অল্প-ছোট , কোনও প্রোগ্রাম সর্বদা বন্ধ থাকে কিনা (উদাহরণস্বরূপ) পদক্ষেপগুলি , তবে শক্তিশালী উপায়ে সীমানা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করলে দেয় ।≤ n 2 + c Π 0 1 Σ 0 $c$$≤n^2+c$$Π^0_1$$Σ^0_2$

Answer 6

জটিলতা তত্ত্বের জন্য "অ্যালগরিদমিক যাচাইযোগ্যতা" ধারণা এবং একটি ধানের মতো থিম অ্যানালগ প্রবর্তন করে এখানে এই প্রশ্ন ও সম্পর্কিত সম্পর্কিত আরও নতুন পদ্ধতিগত বিশ্লেষণ / কোণ / ফলাফল রয়েছে। বিমূর্ত থেকে একটি প্রাসঙ্গিক বিভাগ নিম্নলিখিত এবং পি বনাম এনপি ইত্যাদির প্রবণতা সম্পর্কিত আরও অনেক সম্পর্কিত উপপাদ্য রয়েছে

• কেন গণ্য জটিলতার ধারণাটি যাচাইযোগ্য গণিত / হার্মকোভিকের পক্ষে শক্ত

  প্রথমত, আমরা অভাবনীয়তার জন্য রাইসের উপপাদ্যকে প্রমাণ করি, দাবি করে যে প্রোগ্রামগুলি সম্পর্কে প্রতিটি স্বতঃস্ফূর্তভাবে অভিজাত সমস্যা প্রায় সব জায়গাতেই অ্যালগোরিদমিকভাবে যাচাইযোগ্য "এভি" -মেটিমেটিক্সে সমাধানযোগ্য নয়। এটি ব্যবহার করে, আমরা দেখাই যে এখানে অনেকগুলি অ্যালগরিদম রয়েছে (প্রোগ্রামগুলি যা সম্ভবত অ্যালগরিদম হয়) যার পক্ষে প্রমাণ নেই যে তারা বহুবর্ষীয় সময়ে কাজ করে বা বহু-কালীন সময়ে তারা কাজ করে না। ...

  মনে রাখবেন যে, পি! = এনপি যদি এভি-গণিতে প্রমাণযোগ্য হয় তবে প্রতিটি অ্যালগোরিদম এ এর ​​পক্ষে প্রমাণযোগ্য যে "এ স্যাটিশফিলিটি সমাধান করে না বা এ বহুবর্ষের সময় কাজ করে না"। মজার বিষয় হল, আমরা শেষ পর্যন্ত দেখিয়েছি যে অ্যালগোরিদম রয়েছে যার জন্য এটি প্রমাণযোগ্য নয় যে তারা বহুবর্ষে কাজ করে না, বা তারা সন্তুষ্টি সমাধান করে না। তদুপরি, তাত্পর্যপূর্ণ সমাধানের একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যার জন্য এভি-গণিতে কেউ প্রমাণ করতে পারে না যে এটি বহু-কালীন সময়ে কাজ করে না।

  তদতিরিক্ত, আমরা দেখাই যে পি = এনপি অ্যালগরিদম এক্স এর অস্তিত্বকে বোঝায় যার জন্য "এক্স বহুভুজের সময়ে সন্তুষ্টি সমাধান করে" দাবিটি এভি-গণিতে প্রযোজ্য নয়।

Answer 7

ভায়োলা থেকে সমাধানটি চলমান সময়ে (পলি ছাড়িয়ে) সাধারণ করা যেতে পারে: আপনি নীচে থামার সমস্যাটিকে এটিকে হ্রাস করতে পারেন। থামার সমস্যার একটি উদাহরণ (এম, এক্স) দেওয়া, একটি নতুন মেশিন এম const তৈরি করুন যা নিম্নরূপে কাজ করে: দৈর্ঘ্য এন এর ইনপুটগুলিতে, এটি এম (এফ) (এন) পদক্ষেপের জন্য এম বা এম স্টল অবধি সিমুলেট করে যেখানে f (n) ) হ'ল এন এর যেকোন স্বেচ্ছাচারী ক্রমবর্ধমান ক্রিয়া (ধ্রুবকের চেয়ে বড়)। (ওবস: এম ′ রৈখিক সময় নষ্ট না করার জন্য ধীরে ধীরে ইনপুটটি পড়ছে [ও (এন)] অনাবশ্যকভাবে সমস্ত ইনপুট পড়তে, যদি এটি যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় এবং এম থামে))

এম যদি x এ থামায় এটি টি = হে (1) ধাপে এটি করে, সুতরাং এম ′ এর রান সময়টি ও (1) হবে। যদি এম কখনও না থামায় তবে এম ′ এর রান সময় হ'ল ও (এন ^ 2 * চ (এন))।

সুতরাং M of এর রান সময় O (1) বা O (n ^ 2 * f (n)) হয় কিনা তা স্থির করেই আপনি x কে গ্রহণ করে তা স্থির করতে পারেন।

তারপরে, রাফেলের সহায়তার কোড অনুসারে সাধারণ করা যেতে পারে:

(এম, এক্স) হোল্টিং সমস্যার যে কোনও উদাহরণ হয়ে উঠুক, এটিই আমাদের সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে এক্সটি এমতে থাকা বন্ধ রয়েছে কিনা। নিম্নলিখিত হিসাবে কাজ করে এমন একটি ডিটারমিনিস্টিক ট্যুরিং মেশিন (ডিটিএম) এম * তৈরি করুন:

1. এম * (ইনপুট) = {
2. এন: = 0
3. ইনপুট থেকে প্রথম প্রতীকটি পড়ুন
4. লুপ:
5. n: = n + 1
6. এম (এক্স) কে চ (এন) পদক্ষেপের জন্য বা এম (এক্স) স্টল অবধি সিমুলেট করুন
7. ইনপুট থেকে পরবর্তী প্রতীকটি পড়ুন
8. শেষ_মো_পুট পর্যন্ত বা এম (এক্স) থামানো না হওয়া পর্যন্ত লুপ
9. }

এখন আমরা নিম্নলিখিত প্রভাবগুলি পর্যবেক্ষণ করি:

এম x এর পরে সর্বাধিক কে (ধ্রুবক) পদক্ষেপগুলি => টি (এম *) = ও (1) এবং

এম কখনই x => T (M *) = O (n ^ 2 * f (n)) এ থামে না

সুতরাং, এমনকি যদি সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় যে কোনও স্বেচ্ছাসেবক ডিটিএমের চলমান সময়টি ধ্রুবকের চেয়ে সহজতর হয় কিনা তা হ্যালটিং সমস্যার মতোই শক্ত। □

Comments

1) দয়া করে লটেক্স ব্যবহার করুন। 2) এই প্রশ্নে নতুন অবদান কী? 3) আপনার যুক্তি ত্রুটিযুক্ত। সিমুলেটিং সময় লাগে ইতিমধ্যে, অবশ্যই ধ্রুবক সময় চলতে পারে না। ও ( এন ) এম $M$$\mathcal{O}(n)$$M*$

— রাফেল

বড় পরিমাণে এন এর জন্য, যদি এম (এক্স) বন্ধ হয়ে যায় তবে এর সিমুলেশনটিও বন্ধ হয়ে যায় এবং এন * (ধ্রুবক) পদক্ষেপের মধ্যে এম * এ ফিরে আসে।

— আন্দ্রে লুইজ বার্বোসা