গাছের প্রস্থের ধারণার উত্স


61

আমার আজ প্রশ্নটি (যথারীতি) কিছুটা নির্বোধ; তবে আমি আপনাকে দয়া করে এটি বিবেচনা করার জন্য অনুরোধ করব।

আমি গাছের চত্বরের ধারণার পিছনে জেনেসিস এবং / বা অনুপ্রেরণা সম্পর্কে জানতে চেয়েছিলাম। আমি অবশ্যই বুঝতে পারি যে এটি এফপিটি অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত হয়, তবে আমি মনে করি না যে এই কারণটি এই ধারণাটি সংজ্ঞায়িত হয়েছিল।

আমি প্রফেসর রবিন থমাসের ক্লাসে এই বিষয়ে লেখক নোট লিখেছি । আমি মনে করি আমি এই ধারণার কয়েকটি প্রয়োগ বুঝতে পেরেছি (যেমন এটি গাছের পৃথকীকরণের বৈশিষ্ট্যগুলি গ্রাফের পচে যাওয়াতে স্থানান্তরিত করে) তবে কোনও কারণে আমি সত্যিই নিশ্চিত নই যে এই ধারণাটি বিকাশের কারণটি গ্রাফের ঘনিষ্ঠতা পরিমাপ করা ছিল একটি গাছ।

আমি নিজেকে আরও পরিষ্কার করার চেষ্টা করব (আমি নিশ্চিত কিনা আমি পারছি কিনা, প্রশ্নটি পরিষ্কার না হলে দয়া করে আমাকে জানান) আমি জানতে চাই যে গণিতের অন্য কোনও শাখায় এই ধারণাটি "ধার করা" থেকে অন্য কোথাও একই ধরণের ধারণা বিদ্যমান ছিল কিনা। আমার অনুমান টপোলজি হবে - তবে আমার পটভূমির অভাবের কারণে আমি কিছুই বলতে পারি না।

আমি কেন এই সম্পর্কে আগ্রহী তা সম্পর্কে প্রাথমিক কারণটি হ'ল - আমি যখন প্রথমবার এর সংজ্ঞাটি পড়ি, তখন কেন এবং কীভাবে কেউ এটি ধারণ করবে এবং কী পরিণতি পাবে তা নিশ্চিত ছিলাম না। যদি প্রশ্নটি এখনও পরিষ্কার না হয় তবে অবশেষে আমি এটিকে এভাবে বলার চেষ্টা করব - আসুন আমরা গাছের প্রস্থের ধারণার অস্তিত্ব রাখি না। প্রাকৃতিক প্রশ্নগুলি (বা কিছু গাণিতিক উপপাদ্য / ধারণাগুলির বিস্তৃতকরণ )গুলিকে বিচ্ছিন্ন সেটিংসে গাছপালার ডেভিড হিসাবে কোনও সংজ্ঞা (আমাকে জড়িত শব্দটি ব্যবহার করতে দিন) ধারণ করতে পরিচালিত করবে।


2
fyi লেখক নোট লিঙ্ক ত্রুটি 403 নিষিদ্ধ হয়।
vzn

উত্তর:


58

আপনি যদি সত্যিই জানতে চান যে নীল রবার্টসন এবং আমাকে গাছের প্রস্থে নিয়ে গিয়েছিলেন তবে এটি মোটেই অ্যালগরিদম ছিল না। আমরা ওয়েগনারের এই অনুমানটি সমাধান করার চেষ্টা করছিলাম যে কোনও গ্রাফের সীমাহীন সেটগুলিতে তাদের একজনের অপর একজন অপ্রাপ্তবয়স্ক, এবং আমরা শুরুতেই ঠিক ছিলাম। আমরা জানতাম যে এটি সত্য ছিল যদি আমরা কোনও কে-ভার্টেক্স পথ ছাড়াই গ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ রাখি; আমাকে কেন ব্যাখ্যা করতে দিন। আমরা জানতাম যে এই জাতীয় সমস্ত গ্রাফের একটি সাধারণ কাঠামো রয়েছে (আরও সঠিকভাবে, কোনও কে-ভার্টেক্স পাথবিহীন প্রতিটি গ্রাফের এই কাঠামো রয়েছে, এবং এই কাঠামোর প্রতিটি গ্রাফের কোনও 2 ^ কে-ভার্টেক্স পাথ নেই); এবং আমরা জানতাম যে এই কাঠামোর সাথে সমস্ত গ্রাফের অসীম সেটগুলিতে তাদের মধ্যে একটি অপরটির অপ্রাপ্তবয়স্ক ছিল। সুতরাং ওয়েগনারের অনুমানটি তাদের সর্বোচ্চ পাথ দৈর্ঘ্যের উপর আবদ্ধ গ্রাফগুলির জন্য সত্য।

আমরা এটাও জানতাম যে নাবালিক হিসাবে কোনও কে-স্টার না রেখে গ্রাফের পক্ষে এটি সত্য, কারণ এই জাতীয় গ্রাফগুলির জন্য আমাদের কাঠামোর উপপাদ্য ছিল। আমরা আরও সাধারণ অপ্রাপ্তবয়স্কদের সন্ধানের চেষ্টা করেছি যা কাঠামোর তাত্ত্বিকগুলির সাথে সম্পর্কিত ছিল যা আমরা ওয়েগনারের অনুমানকে প্রমাণ করতে ব্যবহার করতে পারি এবং এটি আমাদের পথ প্রস্থে নিয়ে যায়; অপ্রাপ্তবয়স্ক হিসাবে যে কোনও গাছ বাদ দিন এবং আপনি পথের প্রস্থকে সীমাবদ্ধ করেন এবং যদি আপনি পথের প্রস্থকে আবদ্ধ করেন তবে এমন গাছ রয়েছে যা আপনার নাবালিকা হিসাবে থাকতে পারে না। (এটি আমাদের জন্য একটি শক্ত উপপাদ্য ছিল; প্রথম গ্রাফ মাইনার্স পেপারে আমাদের কাছে অত্যন্ত শক্ত প্রমাণ ছিল, এটি পড়বেন না, এটি আরও সহজ করে দেওয়া যেতে পারে।) তবে আমরা সীমানা পথের প্রস্থ সহ গ্রাফগুলির জন্য ওয়াগনারের অনুমানকে প্রমাণ করতে পারি, এবং এর অর্থ এটি কোনও গ্রাফের নাবালিকা হিসাবে কোনও নির্দিষ্ট গাছ না থাকা গ্রাফগুলির পক্ষে সত্য; আমি আগে উল্লেখ করেছি পথ এবং তারা ক্ষেত্রে একটি বড় সাধারণীকরণ।

যাইহোক, এটি সম্পন্ন করে আমরা আরও এগিয়ে যাওয়ার চেষ্টা করেছি। আমরা সাধারণ গ্রাফগুলি করতে পারি না, তাই আমরা প্ল্যানার গ্রাফগুলি নিয়ে ভাবলাম। আমরা প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য একটি কাঠামোর উপপাদ্যটি পেয়েছি যা নাবালিক হিসাবে কোনও স্থির প্ল্যানার গ্রাফ ধারণ করে না (এটি সহজ ছিল); এটি গাছের প্রস্থে আবদ্ধ ছিল। আমরা প্রমাণ করেছি যে কোনও স্থির প্ল্যানার গ্রাফের জন্য, সমস্ত পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলিতে এটি নাবালিকা হিসাবে ধারণ করে না, গাছের প্রস্থকে আবদ্ধ করেছিল। আপনি যেমন কল্পনা করতে পারেন, এটি সত্যিই উত্তেজনাপূর্ণ ছিল; কাকতালীয়ভাবে, প্ল্যানার গ্রাফগুলি বাদ দেওয়ার কাঠামোর উপপাদ্য (বড় প্ল্যানার গ্রাফের অভ্যন্তরে) গাছগুলি বাদ দেওয়ার জন্য কাঠামোর তত্ত্বের একটি সাধারণ মোড় ছিল (সাধারণ গ্রাফের ভিতরে)। আমরা অনুভব করেছি আমরা সঠিক কিছু করছি। এবং এটি আমাদের সমস্ত প্ল্যানার গ্রাফের জন্য ওয়েগনারের অনুমানটি প্রমাণ করি, কারণ আমাদের এই কাঠামোর উপপাদ্য ছিল।

যেহেতু গাছের প্রস্থ বড় প্ল্যানার গ্রাফের মধ্যে প্ল্যানার গ্রাফগুলি বাদ দিয়ে কাজ করেছিল, তাই এটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন ছিল যে এটি প্ল্যানার গ্রাফগুলি নন-পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলিতে বাদ দেওয়ার জন্য কাজ করেছিল কিনা - এটি কি সত্য যে প্রতিটি নির্দিষ্ট পরিকল্পনাকারী গ্রাফের জন্য, সমস্ত গ্রাফগুলিকে এটি হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করে না? নাবালক গাছের প্রস্থে আবদ্ধ ছিলেন? এটি আমরা দীর্ঘ সময়ের জন্য প্রমাণ করতে পারিনি, তবে সাধারণ গ্রাফের গাছের প্রস্থ সম্পর্কে আমরা এভাবেই ভাবতে শুরু করি। এবং একবার আমরা গাছের প্রস্থের ধারণাটি পেয়েছিলাম, এটি বেশ পরিষ্কার ছিল যে এটি অ্যালগরিদমের পক্ষে ভাল। (এবং হ্যাঁ, হালিন গাছের প্রস্থ সম্পর্কে ইতিমধ্যে চিন্তা করেছিলেন বলে আমাদের কোনও ধারণা ছিল না))


18
চেষ্টারিতে আপনাকে স্বাগতম, এবং দুর্দান্ত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ!
সুরেশ ভেঙ্কট

অধ্যাপক সিমুরকে সময় দেওয়ার জন্য অনেক ধন্যবাদ। এই উত্তরটি রিলাইভিং অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে পূর্ণ এবং প্রশ্নটি মূলত যে historicalতিহাসিক অংশটিকে উদ্দেশ্য করে তা কভার করেছে। সুতরাং এটি স্বীকৃত উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করুন :)
আকাশ কুমার

61

আপনি নিজে কীভাবে গাছের প্রস্থের ধারণাটি নিয়ে আসতে পারেন তা এখানে।

মনে করুন আপনি নীচের গ্রাফটিতে স্বতন্ত্র সেটের সংখ্যা গণনা করতে চান।

স্বতন্ত্র সেটগুলি এমন এক জায়গায় বিভক্ত করা যেতে পারে যেখানে শীর্ষ নোড দখল করা আছে এবং যেখানে এটি অনিবন্ধিত

এখন, লক্ষ্য করুন যে শীর্ষ নোডটি দখল করা হয়েছে কিনা তা জেনে আপনি প্রতিটি সাব-প্রবলেমে স্বতন্ত্র সেটগুলির সংখ্যা পৃথকভাবে গণনা করতে পারেন এবং তাদের গুণ করতে পারেন। এই প্রক্রিয়াটির পুনরাবৃত্তি পুনরাবৃত্তি আপনাকে গ্রাফ বিভাজকের উপর ভিত্তি করে স্বাধীন সেট গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম দেয়।

এখন, ধরুন আপনার আর গাছ নেই। এর অর্থ পৃথককারীরা বড়, তবে আপনি একই ধারণাটি ব্যবহার করতে পারেন। নিম্নলিখিত গ্রাফে স্বাধীন সেট গণনা বিবেচনা করুন।

আপনি নিম্নলিখিতটি পৃথককারী হিসাবে সাব-প্রবলেমে সমস্যা ভাঙার একই ধারণাটি ব্যবহার করুন

পূর্ববর্তী উদাহরণের মতো, যোগফলের প্রতিটি পদ বিভাজক জুড়ে দুটি ছোট গণনার কার্যগুলিতে বিভক্ত হয়।

নোট করুন যে পূর্ববর্তী উদাহরণের তুলনায় আমাদের যোগফলগুলিতে আরও শর্ত রয়েছে কারণ আমাদের বিভাজকের সমস্ত কনফিগারেশনের উপরে আমাদের গুনতে হবে, যা বিভাজকের আকারের সাথে স্পষ্টত বাড়তে পারে (এই ক্ষেত্রে আকার 2)।

গাছগুলির পচন হ'ল এই পুনরাবৃত্ত বিভাজনীয় পদক্ষেপগুলিকে নিখুঁতভাবে সঞ্চয় করার জন্য একটি ডেটা-কাঠামো। নিম্নলিখিত গ্রাফ এবং তার গাছের পচন বিবেচনা করুন

এই ক্ষয়টি ব্যবহার করে গণনা করার জন্য আপনি প্রথমে ৩, n নোডে মানগুলি ঠিক করতে চান যা এটিকে ২ টি সাব-প্রবলেমে বিভক্ত করে। প্রথম সাব-প্রবলেমে আপনি অতিরিক্ত নোড 5 সংশোধন করতেন যা এর অংশটিকে দুটি ছোট ছোট উপ-বিভাগে বিভক্ত করে।

একটি সর্বোত্তম পুনরাবৃত্তাকারী পচনতে বৃহত্তম বিভাজকের আকার অবশ্যই গাছের প্রস্থ width বৃহত্তর গণনা সমস্যার জন্য, বৃহত্তম বিভাজকের আকার রানটাইমের উপরে প্রাধান্য দেয়, এই কারণেই এই পরিমাণটি এত গুরুত্বপূর্ণ।

গাছের প্রস্থের পরিমাপ গাছের কাছাকাছি গ্রাফটি কতটা পরিমাপ করা যায় তা পরিমাপ করার ধারণার সাথে সাথে, এটি স্বজ্ঞাত করার একটি উপায় হ'ল গাছের পঁচনের বিকল্প ডেরাইভিশনটি দেখে - কর্ডাল গ্রাফগুলির সাথে চিঠিপত্রের থেকে। প্রথমে প্রতিটি শীর্ষবিন্দুটির সমস্ত "উচ্চতর আদেশিত" প্রতিবেশীকে ক্রমান্বিতভাবে এবং শীর্ষ স্থানে আন্তঃসংযোগ স্থাপন করে গ্রাফটি ত্রিভঙ্গীকরণ করুন।

তারপরে সর্বাধিক চক্র গ্রহণ করে এবং যদি তাদের ছেদটি সর্বাধিক বিভাজক হয় তবে তাদের সাথে সংযোগ স্থাপন করে গাছের পচন রচনা করুন।

পুনরাবৃত্তাকার বিভাজক এবং ত্রিকোণাকুলেশন ভিত্তিক গাছের পচন গঠনের পদ্ধতির সমতুল্য। গাছের প্রস্থ +1 হ'ল গ্রাফের সর্বোত্তম ত্রিভঙ্গীকরণের বৃহত্তম চক্রের আকার বা যদি গ্রাফটি ইতিমধ্যে ত্রিভুজিত হয় তবে বৃহত্তম চক্রের কেবল আকার।

সুতরাং এক অর্থে, গাছের প্রস্থের কর্ডাল গ্রাফগুলি গাছ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যেখানে একক নোডের পরিবর্তে আমাদের আকারের ওভারল্যাপিং ক্লাকগুলি বেশিরভাগ টুই +1 হয়। নন-কর্ডাল গ্রাফগুলি এমন কিছু "চক্র গাছ" যার সাথে কয়েকটি চক্রের প্রান্তটি অনুপস্থিত

এখানে কয়েকটি কর্ডাল গ্রাফ এবং তাদের গাছের প্রস্থ রয়েছে।


12
খুব সুন্দর ব্যাখ্যা ইয়ারোস্লাভ ... অনেক অনেক ধন্যবাদ
আকাশ কুমার

4
একটি তাত্ক্ষণিক প্রশ্ন ইয়ারোস্লাভ..এমন সুন্দর ছবি আপনি কীভাবে আঁকেন? আপনি আমাকে স্মরণ করিয়ে দিয়েছেন যে আমি সংস্থানগুলি ব্যবহার করতে কতটা অক্ষম। কোনও থিওরি ফোরাম :-) এ আপনি দুর্দান্ত জিনিসটি করতে পারেন তা জানতেন না। মাইন্ড শেয়ারিং আপনি কীভাবে এমন আশ্চর্যজনক জিনিসগুলি করেছিলেন? ধন্যবাদ
আকাশ কুমার

5
আমার কাছে এই জাতীয় চিত্র তৈরি করার জন্য ম্যাথামেটিক স্ক্রিপ্টগুলির একটি সংকলন রয়েছে ... নির্দিষ্ট চিত্রের ধরণের কোড পাওয়ার জন্য, এর উদাহরণ yaroslavvb.blogspot.com বা গাণিতিক- বিট.ব্লগস্পট.কম এ খুঁজে পেতে এবং "নোটবুক" লিঙ্কটি অনুসরণ করুন সেই পোস্টটি
ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

6
এই উত্তর তাই দুর্দান্ত। কি দারুন.
টোটো

কর্ডাল গ্রাফে প্রান্ত 7-10 প্রয়োজনীয়?
জে শ্মিড্ট

29

আমি বিশ্বাস করি যে গাছের প্রস্থ নিজেই ইতিমধ্যে দেওয়া রবার্টসন সিমুর কাগজ দিয়ে শুরু করেছিলেন। তবে কিছু পূর্ববর্তী পূর্ববর্তী হিসাবে উপস্থিত হয়:

  • একটি গ্রাফের একটি "মাত্রা" ধারণা যা উম্বের্তো, বার্টেলি থেকে গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের আচরণকে নিয়ন্ত্রণ করবে; ব্রায়োসচি, ফ্রান্সেস্কো (1972), ননসিরিয়াল ডায়নামিক প্রোগ্রামিং

  • পার্সসন, টিডি (1976) থেকে গ্রাফগুলিতে অনুসরণ-ফাঁস গেমসের ধারণা। "একটি গ্রাফে সাধনা-বিচ্যুতি"। থিওরি এবং গ্রাফের প্রয়োগসমূহ । স্প্রিঙ্গের-ভার্ল্যাগ। পৃষ্ঠা 426–441। এর একটি রূপটি অনেক পরে গাছের প্রস্থের সমতুল্য হিসাবে দেখানো হয়েছিল: সিমুর, পল ডি; টমাস, রবিন (1993), "গ্রাফ অনুসন্ধান এবং গাছের প্রস্থের জন্য একটি নূন্যতম সর্বোচ্চ উপপাদ্য", সম্মিলিত তত্ত্বের জার্নাল, সিরিজ বি 58 (1): 22-33, ডয়ি: 10.1006 / jctb.1993.1027

  • প্ল্যানার গ্রাফের জন্য পৃথককারী শ্রেণিবিন্যাস, উঙ্গার থেকে শুরু করে পিটার (1951), "প্ল্যানার গ্রাফগুলির উপর একটি উপপাদ্য", লন্ডন ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির জার্নাল 1 (4): 256, দোই: 10.1112 / জেএলএম / s1-26.4.256 , এবং অবিরত ১৯৯ton-১৯৮০ সালে লিপটন এবং টারজানের বেশ কয়েকটি কাগজপত্র রয়েছে। এই ধরণের শ্রেণিবিন্যাসের বৃহত্তম বিভাজকের আকার গাছের প্রশস্ততার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

এমন সময়ের দিকে এগিয়ে যাওয়া যখন রবার্টসন – সেমোরের ধারণাগুলি ইতিমধ্যে চারপাশে ভাসতে শুরু করেছে, গ্রাফ মাইনার্স II এরও আগে একটি কাগজ রয়েছে যা স্পষ্টতভাবে অনুসরণ-বিচ্ছেদ এবং পৃথকীকরণ আইডিয়াগুলিকে সংযুক্ত করে এবং এটি পথের প্রস্থের সমান প্রস্থের ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত করে : এলিস, জেএ; সাদবোরো, আইএইচ; টার্নার, জেএস (1983), "গ্রাফ বিচ্ছেদ এবং অনুসন্ধান নম্বর", প্রক। 1983 অ্যালারটন কনফ। যোগাযোগ, নিয়ন্ত্রণ এবং কম্পিউটিং সম্পর্কিত।


3
আমি মনে করি এটি সত্য নয়: দৃশ্যত হালিন প্রায় দশ বছর আগে ধারণাটি আবিষ্কার করেছিলেন, তবে রবার্টসন এবং সিমুরের পুনরায় আবিষ্কারের আগ পর্যন্ত এটি মূলত নজরে ছিল না। বিস্তারিত জানার জন্য নীচের উত্তর দেখুন।
হারমান গ্রুবার 21

21

গ্রাফ তত্ত্ব সম্পর্কিত তাঁর মনোগ্রাফিতে, রেইনহার্ড ডিয়েস্টাল গাছের প্রস্থ এবং গাছের পচনের ধারণাটি হ্যালিনের 1976 সালের একটি গবেষণাপত্রে ফিরে পেয়েছেন (যদিও এই নামগুলি ব্যবহার না করে)। তিনি এই কাগজটির ফলাফলের জন্য এই ফলাফলকেও দায়ী করেন যে প্ল্যানার গ্রিড গ্রাফগুলিতে সীমাহীন বৃক্ষের প্রস্থ রয়েছে। অবশ্যই তিনি রবার্টসন এবং সিমুরের পরবর্তী গবেষণাপত্রেরও উল্লেখ করেছেন, যারা "হালিনের কাজ সম্পর্কে স্পষ্টতই অসচেতন ধারণাটি পুনরায় আবিষ্কার করেছিলেন" (দুঃখিত যদি আমার অনুবাদটি খারাপ না হয়)।

  • S
  • রেইনহার্ড ডিয়েস্টেল গ্রাথথিওরি , তৃতীয় জার্মান সংস্করণ, নটিজেন জু কাপিটেল ১০। (বইটির কিছু ইংরেজি সংস্করণ অনলাইনে বিনামূল্যে ডাউনলোডের জন্য উপলব্ধ))

4
বেশ নিখুঁত মনে হচ্ছে। ডিস্টেল তৃতীয় (ইংরেজি) সংস্করণ পিপি ৩৫৪-৩৫৫ থেকে: "গাছ-পচন এবং বৃক্ষের প্রস্থের ধারণাগুলি আর। হ্যালিনের দ্বারা প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল (বিভিন্ন নাম অনুসারে), গ্রাফের জন্য এস-ফাংশন, জে। জ্যামিতি ৮ (1976) অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে হ্যালিন দেখিয়েছিলেন যে গ্রিডগুলি নির্বিচারে বড় আকারের চওড়া প্রস্থ থাকতে পারে K রবার্টসন এবং সিমুর দুটি ধারণা পুনরুদ্ধার করেছিলেন, স্পষ্টতই হালিনের কাগজ সম্পর্কে অবহিত ছিলেন না, কে ওয়াগনার এর সরাসরি উল্লেখের সাথে, ওবার ইইনেজ্যাচাফ্ট ডের ইবেনেন কমপ্লেক্স, গণিত। এ্যানো। 114 (1937), 570–590। (এটি সরল বৃক্ষ-পচনের প্রবর্তনকারী আঞ্চলিক কাগজ ""
আন্দ্রেস সালামন

1
দুঃখিত এই অতি দেরিতে প্রতিক্রিয়া জন্য গ্রুবার। আমি আপনার উত্তরটি অনেক দিন আগে দেখেছি, নিশ্চিত নই যে আমি ইতিমধ্যে উত্তর গ্রহণের পরে আমি অন্য উত্তরগুলি গ্রহণ করতে পারি কিনা। আপনার প্রতিক্রিয়া বেশ নির্ভুল এবং মিঃ সালামনের দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে মৃত দেখাচ্ছে
আকাশ কুমার

16

গাছের প্রস্থের ধারণা [1] (এবং অনুরূপ ধারণা শাখা-প্রস্থ ) রবার্টসন এবং সিউমার গ্রাফ মাইনার্সের উপর তাদের আঞ্চলিক পত্রগুলিতে প্রবর্তন করেছিলেন ।

GH

দেখুন: এন রবার্টসন, পিডি সিমুর। গ্রাফ নাবালিকাগণ ২। গাছের প্রস্থের অ্যালগরিদমিক দিকগুলি । জেটিটি সিরিজ বি (1986)


এই রেফারেন্স আনার জন্য ধন্যবাদ। তবে আমি এই রেফারেন্সটি সম্পর্কে ইতিমধ্যে অবগত ছিলাম (আমি কেবল জানতাম যে এটি রবার্টসন / সিমুরের কিছু কাগজ ছিল - এটি কখনই পড়েনি)। রবার্টসন, সিমুর এই ধারণাটি নিয়ে কী নেতৃত্ব দিয়েছে তা ঠিক নিশ্চিত ছিল না। যে ইশারা জন্য ধন্যবাদ। তবে আমি প্রফেসর এপস্টেস্টিন যা বলেছিলেন তার পংক্তিতে কিছু সন্ধান করছিলাম, তাই এটি গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করবো।
আকাশ কুমার

ওহ, সমস্যা নেই! এই সাইটের লক্ষ্য একটি প্রশ্নের সেরা উত্তর পাওয়া, এবং অধ্যাপক এপস্টিনের উত্তর আরও ভাল মেলে!
ম্যাথিউ চ্যাপেল
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.