সীমানা অতিক্রমকারী নম্বরটির অঙ্কন অঙ্কন

Question

ফ্যোরির উপপাদ্যটি বলেছে যে একটি সাধারণ প্ল্যানার গ্রাফ ক্রসিং ছাড়াই আঁকতে পারে যাতে প্রতিটি প্রান্তটি একটি সরলরেখার অংশ।

আমার প্রশ্নটি সীমানা ক্রসিং নম্বরের গ্রাফগুলির জন্য কোনও উপমা প্রপঞ্চ আছে কিনা । বিশেষত, আমরা কি বলতে পারি যে ক্রসিং নম্বর কে সহ একটি সাধারণ গ্রাফ আঁকতে পারে যাতে অঙ্কনটিতে কে ক্রসিং থাকে এবং যাতে প্রতিটি প্রান্তটি কিছু ফাংশনের জন্য সর্বাধিক চ (কে) ডিগ্রি বক্ররেখা হয়?

সম্পাদনা: ডেভিড এপস্টিন মন্তব্য করার সাথে সাথে এটি সহজেই দেখা যায় যে ফ্যোরির উপপাদ্যটি ক্রম সংখ্যা কে সহ একটি গ্রাফের অঙ্কনকে বোঝায় যাতে প্রতিটি প্রান্তটি বেশিরভাগ কে বাঁকানো একটি বহুভুজ শৃঙ্খলে থাকে। আমি এখনও আগ্রহী যদিও প্রতিটি কিনারা সীমানা ডিগ্রি বক্ররেখা দ্বারা আঁকা যায় কিনা। হিশিয়েন-চিহ চ্যাং নির্দেশ করে যে চ (কে) = 1 কে যদি 0, 1, 2, 3 এবং অন্যথায় চ (কে)> 1 হয়।

Answer 1

যদি কোনও গ্রাফটি সীমানা সংখ্যার সাথে সংযুক্ত করে থাকে তবে এটি পললাইন মডেলটিতে (যেমন প্রতিটি প্রান্তটি বহুভুজ শৃঙ্খল, সীমানা-ডিগ্রী বীজগণিত বক্ররের তুলনায় গ্রাফ অঙ্কন সাহিত্যের তুলনায় অনেকগুলি সাধারণ) ক্রসিং সংখ্যার সাথে আঁকা যায় can প্রতি প্রান্তে এটি প্রান্তে ক্রসিংয়ের সীমিত সংখ্যক সংখ্যা থাকলে আরও সাধারণভাবে সত্য। এটি দেখতে, গ্রাফটি কেবল পরিকল্পনাকারী করুন (প্রতিটি ক্রসিংকে একটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন) এবং তারপরে F applyry প্রয়োগ করুন।

এখন, আপনার আসল প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য এটি ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে যা করতে হবে তা হল একটি বীজগণিত বক্ররেখা যা সুনির্দিষ্টভাবে প্রদত্ত পললাইনটির নিকটে, পললাইন বেন্ডের সংখ্যার ফাংশন দ্বারা আবদ্ধ ডিগ্রি সহ সন্ধান করা। এটিও করা যেতে পারে, মোটামুটি সহজেই। উদাহরণস্বরূপ: প্রতিটি বিভাগের জন্য$s_i$ পললাইন এর, যাক $e_i$ খুব কাছাকাছি উচ্চ উত্কৃষ্টতা সঙ্গে একটি উপবৃত্ত হতে হবে $s_i$, এবং যাক $p_i$ চতুষ্কোণ বহুপদী হতে পারে যা বাইরে ইতিবাচক $e_i$ এবং ভিতরে নেতিবাচক $e_i$। আপনার সামগ্রিক বহুপদী রূপ নিতে দিন$p=\epsilon-\prod_i p_i$ কোথায় $\epsilon$একটি ছোট ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। তারপরে বক্ররেখার একটি উপাদান$p=0$উপবৃত্তের মিলনের বাইরে কিছুটা শুয়ে থাকবে এবং পলিલાઇનটির বিকল্প হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে; এর ডিগ্রি উপবৃত্তের সংখ্যার দ্বিগুণ হবে, যা প্রান্তে ক্রসিংয়ের সংখ্যায় লিনিয়ার।

Comments

ধন্যবাদ। এমন কোনও উদাহরণ রয়েছে যা দেখায় যে সাধারণভাবে, সরলরেখার প্রান্ত প্রান্তগুলি ব্যবহার করে ন্যূনতম সংখ্যার ক্রসিং সহ অঙ্কন করা যায় না?

— অর্ণব

@arnab: Hsien-Chh এর উত্তর দেখুন।

— ডেভিড এপস্টিন

Answer 2

এটি সংশোধনকারী ক্রসিং নম্বর হিসাবে পরিচিত $\overline{\mathsf{cr}}(G)$যা গ্রাফের সমস্ত সম্ভাব্য সরল-রেখার অঙ্কনের মধ্যে ন্যূনতম সংখ্যা $G$। সাধারণ ক্রসিং সংখ্যার সাথে তুলনা করুন$\mathsf{cr}(G)$, যে এটি দেখতে পারেন $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$। এবং আপনার প্রশ্নটি মূলত জিজ্ঞাসা করার মতোই$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$ যদি $\mathsf{cr}(G) \leq k$ কিছু ধ্রুবক জন্য $k$।

আবৃত্তিকারী ক্রসিং সংখ্যার জন্য কাগজ সীমাগুলিতে , বিয়ানস্টক এবং ডিন তা প্রমাণ করেছে

উপপাদ্য। যদি$k \leq 3$, আমাদের আছে $\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$। এবং জন্য$k \geq 4$, গ্রাফ আছে $G_n$ সঙ্গে $\mathsf{cr}(G) = 4$ এবং $\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$।

তথ্যসূত্রের জন্য রিখটার এবং সালাজার দ্বারা ক্রসিং নম্বরগুলি সম্পর্কে একটি সমীক্ষা দেখুন । সুতরাং সীমানা পারাপার সংখ্যার সাথে গ্রাফগুলিতে যদি ফ্যারি উপপাদনের কোনও বৈকল্পিক থাকে তবে এটি সীমাবদ্ধ করা উচিত$\mathsf{cr}(G) \leq 3$।

সঙ্গে একটি ছোট উদাহরণ জন্য $\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$8 টি শীর্ষে পুরো গ্রাফটি বিবেচনা করুন। ইহা ছিল$\mathsf{cr}(K_8) = 18$ এবং $\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$।

Comments

ধন্যবাদ! এটি তখন দায়ূদের উত্তরে আমার মন্তব্যে প্রশ্নের উত্তর দেয়। আমার মূল প্রশ্নটি অধ্যয়ন করা হয়েছে কিনা তা জানতে এখনও আমি আগ্রহী।

— অর্ণব