সার্নাকের মোবিয়াস অনুমানের প্রতি-উদাহরণ হিসাবে দক্ষতার সাথে গুনে ফাংশন

সম্প্রতি গিল কালাই এবং ডিক লিপটন দুজনেই একটি সংখ্যাসংখ্যা তত্ত্ব এবং রিমন হাইপোথেসিস বিশেষজ্ঞ পিটার সার্নাক প্রস্তাবিত একটি আকর্ষণীয় অনুমানের উপর একটি দুর্দান্ত নিবন্ধ লিখেছিলেন।

অনুমান। আসুন এমবিয়াস ফাংশন হতে দিন । ধরুন একটি হল ইনপুট সঙ্গে ফাংশন বাইনারি উপস্থাপনা আকারে , তারপর $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

নোট করুন যে যদি তবে আমাদের কাছে মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্যের সমতুল্য রূপ রয়েছে । $f(k) = 1$

আপডেট : ম্যাথওভারফ্লোতে বেন গ্রিন একটি সংক্ষিপ্ত কাগজ সরবরাহ করে যা অনুমানটি প্রমাণ করার দাবি করে। কাগজটি একবার দেখুন ।

অন্যদিকে, আমরা জানি যে (কিছুটা সংশোধন করে তাই পরিসীমাটি ) তে রয়েছে, ফলাফলের যোগফলটি অনুমান has একটি উপরের সীমা রয়েছে যে গণিত তে , সুতরাং উপর প্রস্তাবিত বাধা অনুমানের ক্ষেত্রে কোনও ফাংশনে শিথিল করা যায় না । আমার প্রশ্নটি হ'ল: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

নিম্নতম জটিলতা শ্রেণিটি কী is বর্তমানে আমরা জানি, যেমন in এ একটি ফাংশন অনুমানটি পূরণ করে বিশেষ করে, তাত্ত্বিক কিছু যেহেতু বিশ্বাস করতেন যে কম্পিউটিং নেই , আমরা অন্য প্রদান করতে পারেন ফাংশন যোগফলের একটি লিনিয়ার বৃদ্ধি বোঝায় যা? আরও ভাল সীমানা প্রাপ্ত করা যেতে পারে? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— হিসিয়েন-চিহ চাং 張顯之
সূত্র

পি {{বিকিউএনসি like এর মতো কিছু কোয়ান্টাম ক্লাসেও কাজ করা উচিত, যেহেতু class শ্রেণিতে ফ্যাক্টরিং রয়েছে।

— রবিন কোঠারি 21

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

এমেনুয়েল, ভাল প্রশ্ন কে এর বাইনারি উপস্থাপনায় আই-থ্রি বিটের সূচক ফাংশনটি একটি রৈখিক "ব্র্যাকেট পলিনোমিয়াল", তবে এটির উচ্চতর সহগ রয়েছে, সুতরাং এটি আবদ্ধের সাথে মবিয়াস ফাংশনের সম্পর্কের উপর গ্রীন-টাও উপপাদ্য থেকে অনুসরণ না করতে পারে might - পদক্ষেপ nilsequences। বাউন্ডেড-স্টেপ নীলসেক্সেন্সগুলিকে বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি বন্ধনী বহুপদী রয়েছে, তবে তাদের ফলাফল সহগের বিশালতার উপর কিছুটা বিধিনিষেধ তৈরি করতে পারে

— লুকা ট্র্যাভিসান

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$