কিউবিডের ইউনিয়নে থাকা একটি বৃহত্তম কিউব সন্ধান করুন

আমার 3 ডি স্পেসে প্রচুর কিউবিড রয়েছে, প্রত্যেকের শুরুর পয়েন্ট থাকে (x, y, z) এবং এর আকার (Lx, Ly, Lz) থাকে। আমি আশ্চর্য হয়েছি কীভাবে কিউবিডের ইউনিয়নে থাকা এই 3 ডি স্পেসে একটি বৃহত্তম কিউব খুঁজে পাবেন। এর জন্য কি কোনও কার্যকর অ্যালগরিদম আছে?

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমার কাছে নিম্নলিখিত কিউবিড থাকে:

আকার (10,10,10) দিয়ে (0,0,0) এ শুরু হওয়া কিউবয়েড,
আকারের (12,13,15) সহ (10,0,0) এ কিউবয়েড,
আকার (10,10,10) সহ (0,10,0) এ কিউবয়েড,
আকার (10,10,10) সহ একটি কিউবয়েড (0,0,10), এবং
আকার (9,9,9) সহ একটি কিউবয়েড (10,10,10)।

তারপরে, এই কিউবিডগুলির সংঘের মধ্যে থাকা বৃহত্তম কিউবটি আকার (19,19,19) (0,0,0) থেকে শুরু হওয়া ঘনক্ষেত্র হবে।

এই প্রশ্নের আরও সাধারণ সংস্করণ:

বাক্সের সংকলন দেওয়া , বাক্সগুলির ইউনিয়নের মধ্যে থাকা বৃহত্তম হাইপারকিউবটি সন্ধান করুন। $n$ $\mathbb{R}^d$

ds.algorithms cg.comp-geom

— pantoffski
সূত্র

আমার মনে হয় এর চেয়ে আরও ভাল প্রশ্ন লুকানো আছে: যথা,

বাক্সগুলির ইউনিয়ন দেওয়া, ইউনিয়নের মধ্যে থাকা বৃহত্তম হাইপারকিউবটি গণনা করুন।

R^{d}

$R^d$

— সুরেশ ভেঙ্কট

এই কিউবাইডগুলি কি ওভারল্যাপ করতে পারে?

— পিটার বুথে

@ সুরেশ, প্রশ্নটি স্পষ্ট করার এবং জেনারালাইজ করার জন্য ধন্যবাদ :) @ পিটার, আমার ক্ষেত্রে ... এটি ওভারল্যাপ করবে না :)

— প্যান্টফসকি

আপনি যেভাবে এটিকে থামিয়েছেন, মনে হচ্ছে কিউবগুলির পাশগুলি x, y এবং z অক্ষের সাথে একত্রিত হয়েছে। এটি কি এই ঘটনা, বা কিউবগুলিতে স্বেচ্ছাসেবী প্রবণতা থাকতে পারে? এটি অবশ্যই অ্যালগরিদমের দক্ষতায় একটি উল্লেখযোগ্য পার্থক্য তৈরি করে difference

— জো ফিটজসিমন্স

আমার ক্ষেত্রে, প্রতিটি কিউবয়েডের মুখটি কেবল অক্ষগুলির জন্য অরথগোনাল।

— প্যান্টফস্কি

উত্তর:

ঠিক আছে, এখানে প্রথমে নির্বোধ উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন ... আয়তক্ষেত্রাকার বাক্সগুলির প্রতিটি মুখের মাধ্যমে বিমানটি নিয়ে যান। এই ফর্মটি আকারের একটি গ্রিড । ইউনিয়নের অভ্যন্তরে বা বাইরের বাইরে এটি প্রতিটি গ্রিড সেলের জন্য গণনা করা কঠিন নয়। এখন, প্রতিটি গ্রিড ভার্টেক্স থেকে, একটি ঘনক্ষেত্র তৈরি করুন (এটি একটি শীর্ষবিন্দু হিসাবে এই শীর্ষটি রয়েছে) এটি যথাসম্ভব বড় করার চেষ্টা করছে। সর্বাধিক নিষ্পাপ উপায়ে এটি করতে,ভার্টেক্স প্রতি সময়লাগে, তবে সম্ভবত অরথোগোনাল রেঞ্জ অনুসন্ধানের যাদু ব্যবহার করে, এটিপ্রতিটি ভার্টেক্সে এ করতে সক্ষম হওয়া উচিত। সুতরাং $O(n^3)$ $O(n^3 \log n)$ $\log^{O(1)} n$ হওয়া উচিত ... $O(n^3 \log^{O(1)} n )$

দ্বিতীয় চেষ্টা: ইউনিয়ন গণনা করুন। এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, এই মধ্যে সম্পন্ন করা যাবে সময়ে (প্লেনগুলি স্যুইপ করে) করা যেতে পারে। এখন, মান্য যে আপনি শুধু গনা প্রয়োজন ইউনিয়নের সীমানা voronoi ডায়াগ্রাম। ফলাফলটি ব্যবহার করে:http://vw.stanford.edu/~vladlen/publications/vor-polyhedral.pdf, এটিএকটি স্বতন্ত্র ছোট ধ্রুবক জন্য সময়েকরা যেতে পারে। $O( n \log n)$ $L_\infty$ $O(n^{2+\varepsilon})$ $\varepsilon > 0$

এখানে আবদ্ধ চলমান সময় ভঙ্গ করা আকর্ষণীয় হবে, আইএমএইচও। $O(n^2)$

— সারিল হার-প্লেড
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ স্যার, আমি এও মনে করি যে L this এই সমস্যার জন্য এখন পর্যন্ত একটি সেরা সমাধান। যেহেতু আমি আগে 2 ডি মামলার জন্য এলও করেছি (এই পেপারে প্রদত্ত পদ্ধতিগুলি দ্বারা প্রয়োগ করা হয়েছে inf.usi.ch/factory/papadopoulou/publications/ijcga01.pdf )। কেবলমাত্র বাক্সগুলির সাথে 3 ডি কেসটি খুব বেশি কঠিন হওয়া উচিত নয়।

— প্যান্টসফস্কি

সম্পর্কে সাধারণ প্রশ্নের উত্তর মনে হবে এটি এনপি-হার্ড। প্রমাণ মোটামুটি সহজ। আমরা কেবল ভেরিয়েবলগুলির জন্য একটি 3SAT উদাহরণ গ্রহণ করি এবং প্রতিটি ভেরিয়েবলকে একটি মাত্রার সাথে যুক্ত করি। ভেরিয়েবল সম্ভব বরাদ্দকরণ এর একটি স্থান হিসাবে স্থান দেখুন তোঃ আসলে আমরা শুধুমাত্র মধ্যে -1 এবং +1 প্রতিটি dimesnion পয়েন্ট বিবেচনা, এবং সহযোগী অবস্থানে যে পরিবর্তনশীল জন্য 0 একটি কাজ এবং $R^d$ $d$ $<0$ 1. প্রত্যেকে নিয়োগ দিয়ে ধারা দ্বারা প্রদত্ত অঞ্চল বাদ দেয় $>0$ $1 \times 1 \times 1 \times n \times n \times n ... \times n$ hypercuboid।

এই cuboids ইউনিয়ন স্থান fills (ও তাই একটি থেকে থাকে তবে ঘনক্ষেত্র), তারপর সেখানে 3SAT উদাহরণস্বরূপ ভেরিয়েবল কোন পরিতৃপ্ত নিয়োগ করা হয়। তাহলে কিন্তু বৃহত্তম ঘনক্ষেত্র অন্তর্ভুক্ত করা হয় বা 0 (কোনও শর্ত ছাড়াই), কেবলমাত্র অন্যান্য সম্ভাবনা, তারপরে ভেরিয়েবলের একটি সন্তোষজনক নিয়োগ রয়েছে। $2 \times 2 \times ... \times 2$ $1 \times 1 \times ... \times 1$

— জো ফিৎসিমনস
সূত্র

আমি কল্পনা করি আপনি এফএনপিতে (অন্তত অক্ষের সাথে সংযুক্ত কিউবিডের ক্ষেত্রে) এটি প্রমাণ করতে পারবেন, উপরোক্ত যুক্তিটি বিপরীতে চালিয়ে এবং দেখিয়েছেন যে কোনও কিউবাইড একটি সীমাবদ্ধতা গঠন করে যা বহুপক্ষীয় সময়ে পরীক্ষা করা যায়।

— জো ফিটৎসিমন