জ্যামিতিক সমস্যাগুলি যেগুলি এনপি-সম্পূর্ণ তবে ট্র্যাকটেবল হতে পারে ?

Question

বিবেচনা করার সময় বেশ কয়েকটি জ্যামিতিক সমস্যাগুলি সহজ , তবে জন্য এনপি-সম্পূর্ণ (আমার প্রিয় সমস্যাগুলির মধ্যে একটি, ইউনিট ডিস্ক কভার সহ) including$R^1$$R^d$$d\geq2$

এবং জন্য পলটাইম দ্রবণযোগ্য তবে জন্য এনপি-সম্পূর্ণ রয়েছে এমন কোনও সমস্যা কি কেউ জানেন ? $R^1$$R^2$$R^d,d\geq3$

আরও সাধারণভাবে, আরকি- জন্য এনপি-সম্পূর্ণ তবে , যেখানে , এমন কি ?$R^k$$R^{k-1}$$k\geq3$

Comments

কি 3-মাত্রিক ম্যাচিং জ্যামিতিক?

— Jukka Suomela

আসলে তা না. "ত্রি-মাত্রিক" কার্টেসিয়ানে রয়েছে, ইউক্লিডিয়ান অর্থে নয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

অর্ধেক স্পেস দ্বারা কভার সেট করুন।

বিমানের পয়েন্টগুলির একটি সেট দেওয়া, এবং পয়েন্ট সেটগুলি অন্তর্ভুক্ত ন্যূনতম সংখ্যক হাফ প্লেনের গণনা করা হাফ প্লেনের একটি সেট বিমানের বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে। তবে সমস্যাটি 3 ডি তে এনপি হার্ড (এটি 2 ডি পয়েন্টের ডিস্কের সাবসেট দ্বারা একটি মিনিট কভার সন্ধান করার চেয়ে শক্ত)। 3 ডি-তে আপনাকে হাফ স্পেস এবং পয়েন্টের একটি উপসেট দেওয়া হবে এবং আপনি পয়েন্টগুলি coveringেকে ন্যূনতম সংখ্যার অর্ধস্পেসীর সন্ধান করছেন।

2 ডি তে পলটাইম অ্যালগরিদম এখানে বর্ণিত হয়েছে: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

Comments

আমি কিছুটা বিব্রত বোধ করছি যে আমি এই ফলাফলটি জানতাম না, আমি যে সমস্যাগুলি নিয়ে কাজ করি তার কাছে এটি কতটা কাছাকাছি :-): এটিও ঠিক আমি যে উত্তরটির প্রত্যাশায় ছিলাম ঠিক তা is আপনি যখন বলেন যে এটি 2 ডি-তে থাকা ডিস্ক কভারের চেয়েও শক্ত, তখন আমি অনুমান করি যে আপনি এটিএম-হার্ড?

— বব ফ্রেজার

2 ডি সমস্যাটি বহুপদী। অন্যটি হলেন এনপি-হার্ড। তবে আমি ভাবি না যে 3 ডি সমস্যাটি এপিএক্স কঠিন। স্থানীয় অনুসন্ধানের মাধ্যমে কোনও পিটিএএস সম্ভাব্য হতে পারে এমন বিশ্বাস করার যথেষ্ট কারণ রয়েছে ...

— সারিল হ্যার-প্লেড

... এবং আরও শক্ত করে আমি বোঝাতে চাইছিলাম যে 3 ডি-তে অর্ধস্পেসার সমস্যাটিতে ডিস্কের সমস্যাটি উত্তোলন করা যাবে (অর্থাত্ হ্রাস করা)।

— সারিল হার-পিল্ড

Answer 2

এটি আপনি যা চান তা পুরোপুরি নয়, কারণ 3 ডি সংস্করণ এনপি-সম্পূর্ণের চেয়েও শক্ত, তবে: বিমানের বহুভুজের অন্তরায়গুলির মধ্যে দুটি পয়েন্টের মধ্যে একটি সংক্ষিপ্ত পথ সন্ধান করা বহু-কালীন (সবচেয়ে সহজভাবে, দুটি টার্মিনালের দৃশ্যমান গ্রাফটি তৈরি করুন) এবং বহুভুজটি ছেদ করে এবং ডিজজস্ট্রা প্রয়োগ করে; হার্শবার্গার ও সিউরির কারণে আরও জটিল ও (এন লগ এন) অ্যালগরিদম রয়েছে, সিয়াম জে.কম্পুট। ১৯৯৯) তবে 3 ডি-তে পলিহেড্রাল বাধার মধ্যে একটি সংক্ষিপ্ত পথ খুঁজে পাওয়া হচ্ছে পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ (ক্যানি) এবং রিফ, FOCS 1987)।

Comments

প্ল্যানার কেস সম্পর্কে আপনি কি নিশ্চিত? মৌলিকভাবে আপনি যে অ্যালগরিদমগুলি উদ্ধৃত করেছেন তার জন্য সঠিক আসল গাণিতিক প্রয়োজন! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…

— জেফি

Er। ভাল যুক্তি. এবং ভাসমান পয়েন্ট এবং আনুমানিক ব্যবহার করার কথা বলে আমি এ থেকে বেরিয়ে আসতে পারি না, কারণ 3 ডি সমস্যাটি ভালভাবে অনুমান করা যায়। উফ। আমি অনুমান করি যে একটি "সঠিক বাস্তব পাটিগণিত" জ্ঞান রয়েছে যার মধ্যে একটি বহুপদী এবং অন্যটি শক্ত, তবে তবুও আপনি ঠিক বলেছেন, এটি অন্য উপায় যা প্রশ্নের উত্তর দেয় না।

— ডেভিড এপস্টিন

এটি সত্যিই আকর্ষণীয়। বর্গমূলের সমস্যার সমষ্টিটি সিজি-তে বেশ কয়েকটি সমস্যার মধ্যে উঠে আসে যেখানে এই বিশদটি বাদে সমস্যাটি সহজ হবে। এটি একটি উপায়ে দুর্দান্ত, কারণ এই সমস্যাগুলির মধ্যে একটি এটি আপনার পক্ষে মানুষকে বোঝানো দরকার যে এটি কঠিন। পয়েন্টার জন্য ধন্যবাদ।

— বব ফ্রেজার

Answer 3

বিমানের কোনও নন-উত্তল বহুভুজকে স্টেইনার পয়েন্ট ছাড়াই ও (এন) সময়ে ত্রিভুজ করা যেতে পারে; অর্থাত, ত্রিভুজনের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু বহুভুজের একটি শীর্ষবিন্দু। তদুপরি, প্রতিটি ত্রিভুজুলেশনের ঠিক এন -২ ত্রিভুজ থাকে।

তবে স্টেইনার পয়েন্ট ছাড়া আর ^ 3 এ নন-উত্তল পলিহেড্রন ত্রিভুজ হতে পারে কিনা তা নির্ধারণ এনপি-সম্পূর্ণ। এনপি-কঠোরতার ফলাফলটি যদি আপনার কোনও স্টাইনার পয়েন্টের সাথে ত্রিভুজান দেওয়া হয় তবে এটি ন্যূনতম স্টেইনার পয়েন্টগুলির সংখ্যারও নিকটবর্তী হওয়া এনপি-হার্ড। [জিম রুপার্ট এবং রায়মুন্ড সিডেল। ত্রি-ত্রি-মাত্রিক ননকনভেক্স পলিহেদ্রার অসুবিধা সম্পর্কে। স্বতন্ত্র কম্পিউটার Geom। 1992]

প্রদত্ত পলিহেড্রন যদি উত্তল হয় তবে ত্রিভুজুলেশন সন্ধান করা সহজ তবে ন্যূনতম সংখ্যায় তেত্রহেদ্রের সাথে ত্রিভুজটি সন্ধান করা এনপি-হার্ড। [আলেকজান্ডার নীচে, জেসেস ডি লোয়েরা এবং জর্জেন রিখর-জবার্ট। উত্তল 3-পলিটোপগুলির ছোট ত্রিভুজগুলি খুঁজে বের করার জটিলতা । জে। অ্যালগরিদম 2004.]

Comments

পয়েন্টার, জেফ ধন্যবাদ। বিশেষত, আমি মনে করি যে আপনি যে শেষ ফলাফলটি উল্লেখ করেছেন তা আকর্ষণীয়। এটি সামান্য অবাক হওয়ার বিষয় যে বিমানটিতে থাকাকালীন বহুভুজ রচনা করে এমন সরল সংখ্যাগুলি একটি ধ্রুবক, তবে এটি আর উচ্চতর মাত্রায় ধরে রাখে না এবং বাস্তবে এটি অপ্টিমাইজ করা শক্ত। আমি ঠিক যে উত্তরটির প্রত্যাশা করছিলাম এটি এটি।

— বব ফ্রেজার

Answer 4

ডাইমেনশনাল পলিটোপগুলির জন্য বাস্তবতা সমস্যা হবেন একজন প্রার্থী। যখন , , এটি বহু-কালীন সময়ে দ্রবণযোগ্য ( স্টেনিটজ উপপাদ্য দ্বারা ), কিন্তু যখন ,, এটি এনপি-হার্ড। আরও তথ্যের জন্য, দয়া করে চেহারা " 4-polytopes আদায় স্পেস সার্বজনীন " রিখটার-Gebert এবং Ziegler দ্বারা (আছে একটি arXiv সংস্করণ , এবং বুক "পাশাপাশি) Polytopes উপর লেকচার " (2nd প্রিন্টিং) Ziegler দ্বারা।$d$$d \le 3$$d \ge 4$

Comments

এটি এনপি-হার্ড বলা , এটি বাস্তব সংখ্যার অস্তিত্ববাদী তত্ত্ব for এর জন্য সম্পূর্ণ । $\exists\mathbb{R}$

— ডেভিড এপস্টিন

আমি এই সমস্যাটি আগে দেখিনি, ধন্যবাদ।

— বব ফ্রেজার

আবার ডেভিড এপস্টিনের উত্তরটির মতো এনপি-কমপ্লিটের চেয়ে শক্ত (সম্ভবত)।

— পিটার শোর 19

Answer 5

কোনও মেট্রিক স্পেসটি আইওসেট্রিকভাবে আর ^ 2 এ এম্বেডযোগ্যযোগ্য কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ। তবে আর ^ 3 এম্বেডিবিলিটির জন্য সিদ্ধান্ত নেওয়া এনপি-হার্ড।

মধ্যে এম্বেডিং , সহজ মধ্যে এম্বেডিং দ্বারা NP-সম্পূর্ণ। জেফ এডমন্ডস সোডা 2007$\ell_\infty^2$$\ell_\infty^3$

কাগজ

Comments

এটিও একটি ভাল উদাহরণ।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 6

এই উত্তরটি আপনার প্রশ্নের সঠিক উত্তর দেয় না, তবে এর কিছু ছোট সম্পর্ক রয়েছে। এবং উত্তর দেওয়ার পরিবর্তে , আমি আপনাকে দেখাব যে এটি এবং ।$R^2$$R^3$$Z^2$$Z^3$

2-স্যাট সমস্যা (বুলিয়ান সন্তুষ্টিযোগ্যতা) বহুবর্ষের সময়ে সমাধানযোগ্য। এটি অগত্যা "জ্যামিতিক" না হলেও এটি একটি মিল হিসাবে পরিচিত যা একই সাথে আরও জ্যামিতিক, এবং সরাসরি 2-স্যাট সমস্যা সহ মানচিত্র হিসাবে পরিচিত is নামের মিলটি কে-ডাইমেনশনাল মিলের আরও সাধারণ সংস্করণ , যেখানে । আপনার প্রশ্নের জবাব দিতে, 3-স্যাট সমস্যাটি হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ, যা ত্রি-মাত্রিক মিলের সমস্যার জন্য সরাসরি ম্যাপ করে, এটি এনপি-সম্পূর্ণও। সুতরাং, K-স্যাট সমস্যা (এবং এইভাবে K-মাত্রিক ম্যাচিং) অন্য সমস্যা যে নম্র হয় এবং দ্বারা NP-সম্পূর্ণ নয় যেখানে ।$k = 2$$Z^2$$Z^k$$k > 2$

Comments

2SAT "আর ^ 2 এ" বলতে কী বোঝায়?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ 2-সন্তুষ্টিযোগ্যতা (2-স্যাট বা কেবল 2SAT হিসাবে সংক্ষেপিত) হ'ল দ্বি-মূল্যবান (বুলিয়ান বা বাইনারি) ভেরিয়েবলের সংকলনযুক্ত ভেরিয়েবলগুলির সংকলন সমস্ত সীমাবদ্ধতাকে সন্তুষ্ট করে মান নির্ধারণ করা যায় কিনা তা নির্ধারণের সমস্যা। (এটি উইকিপিডিয়া থেকে) এটি যেহেতু এটি 2-মূল্যবান ভেরিয়েবলগুলির সেটগুলির জন্য একটি সমস্যার সমাধান, তাই ভেরিয়েবলগুলি " । " শুরু হিসাবে ভাবা যেতে পারে । $R^2$

— কৌশিক শঙ্কর

-1: আর ^ 2 এ 2SAT কেমন তা আমি দেখতে পাচ্ছি না। 2SAT "জ্যামিতিক সমস্যা" কীভাবে তা আমি দেখছি না।

— রবিন কোঠারি

আমি জ্যামিতিক সমস্যা না উপস্থাপনের জন্য ক্ষমা চাইছি, তবে শিরোনাম জ্যামিতিক সমস্যা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করলেও, মন্তব্যের মধ্যে দুটি প্রশ্নই জ্যামিতিক বলে উল্লেখ করে না। তদুপরি, 2-সন্তোষজনকতার একটি গ্রাফ উপস্থাপনা থাকে যা 2-মাত্রিক মিল হিসাবে পরিচিত হয়, এটি পি হয়, যেখানে 3-সন্তুষ্টিযোগ্যতা ত্রি-মাত্রিক মিলের সাথে মিলে যায়, যা এনপি।

— কৌশিক শঙ্কর

@ রবিন আমি এগিয়ে গিয়েছিলাম এবং আমার মূল মন্তব্যে স্পষ্ট করেছিলাম।

— কৌশিক শঙ্কর