হয় -complete সমস্যার চেয়ে মজ্জাগতভাবে কম নম্র -complete সমস্যা?

Question

বর্তমানে, কোনও কমপ্লিট সমস্যা বা কমপ্লিট সমস্যা সমাধান করা বড় ইনপুটগুলির জন্য সাধারণ ক্ষেত্রে অপরিহার্য । যাইহোক, উভয়ই সূচকীয় সময় এবং বহুপদী স্থানগুলিতে দ্রবণীয়।পি এস পি এ সি $NP$$PSPACE$

যেহেতু আমরা অবিজ্ঞানী বা 'ভাগ্যবান' কম্পিউটার তৈরি করতে অক্ষম, তাই কোনও সমস্যা কমপ্লিট বা কমপ্লিট হলে কী আমাদের পক্ষে কোনও পার্থক্য আনবে?পি এস পি এ সি $NP$$PSPACE$

Answer 1

এটি একটি খুব সুন্দর প্রশ্ন যা আমি অনেক কিছু নিয়ে ভেবেছিলাম: সমস্যাটি কী কমপ্লিট বা -সম্পূর্ণরূপে আসলেই সমস্যার সবচেয়ে খারাপ সময়ের সময় জটিলতাকে প্রভাবিত করে? পি এস পি এ সি $NP$$PSPACE$আরও আশ্চর্যের বিষয়, এই ধরনের পার্থক্য কি বাস্তবে সমস্যার "জটিল ক্ষেত্রে" জটিলতায় প্রভাব ফেলে?

অন্তর্দৃষ্টি বলে যে আপনি কী জটিলতা পরিমাপ করেন তা নির্বিশেষে কমপ্লিট সমস্যা কমপ্লিট সমস্যাটির চেয়ে শক্ত is তবে পরিস্থিতিটি সূক্ষ্ম। উদাহরণস্বরূপ, এটি হতে পারে যে (কোয়ান্টিফাইড বুলিয়ান ফর্মুলা , ক্যানোনিকাল কমপ্লিট সমস্যা) যদি কেবলমাত্র (সন্তুষ্টিযোগ্যতা, ক্যানোনিকাল কমপ্লিট সমস্যা) সুপ এক্সপোনশিয়াল সময়ে হয়। (একটি দিক সুস্পষ্ট; অন্য দিকটি একটি বড় ফলাফল হতে পারে!) যদি এটি সত্য হয়, তবে সম্ভবত "আমি এই সমস্যাটি সমাধান করতে চাই" দৃষ্টিকোণ থেকে, সমস্যাটি অসম্পূর্ণ কিনা তা বড় কথা নয় not বাএন পি প্রশ্ন বি এফ পি এস পি একটি সি ই এস একজন টি এন পি পি এস পি একটি সি ই এন $PSPACE$$NP$$QBF$$PSPACE$$SAT$$NP$$PSPACE$$NP$-সমম্পূর্ণ: যে কোনও উপায়ে, একটির জন্য একটি সুপ এক্সপেনসিয়াল অ্যালগরিদম অন্যটির জন্য একটি সুব্যাক্স্ফেনসিয়াল অ্যালগরিদমকে বোঝায়।

আমাকে শয়তানের উকিল হতে দাও এবং আপনাকে একটি উদাহরণ দিই যেখানে একটি সমস্যা অন্যটির চেয়ে "শক্ত" হয়ে ওঠে তবে এটি অন্যটির চেয়ে "আরও ট্র্যাকটেবল" হিসাবে পরিণত হয়।

যাক একটি বুলিয়ান সূত্র হতে ভেরিয়েবল, যেখানে এমনকি হল। ধরুন আপনি সিদ্ধান্ত নিতে চান এমন দুটি সূত্রের মধ্যে আপনার একটি পছন্দ রয়েছে:এন $F(x_1,\ldots,x_{n})$$n$$n$

$\Phi_1 = (\exists x_1)(\exists x_2)\cdots (\exists x_{n-1})(\exists x_{n})F(x_1,\ldots,x_{n})$ ।

$\Phi_2 = (\exists x_1)(\forall x_2)\cdots (\exists x_{n-1}(\forall x_{n})F(x_1,\ldots,x_{n})$

(এটি, , বিকল্প পরিমাণে কোয়ান্টিফায়ার।$\Phi_2$

আপনি কোনটিকে সমাধান করা সহজ বলে মনে করেন? টাইপের সূত্রগুলি, বা টাইপের সূত্রগুলি ?$\Phi_1$$\Phi_2$

কেউ ভাবেন যে সুস্পষ্ট পছন্দটি হ'ল , কারণ এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া কেবল নয়, যেখানে। একটি সমস্যা। তবে বাস্তবে, আমাদের সেরা পরিচিত অ্যালগরিদম অনুসারে, একটি সহজ সমস্যা। than পদক্ষেপের চেয়ে কম পদক্ষেপে সাধারণ জন্য কীভাবে সমাধান করবেন আমাদের কোনও ধারণা নেই(আমরা যদি এটি করতে পারতাম তবে আমাদের নতুন সূত্রের আকারটি নিম্ন সীমানা ছিল!) তবে এলোমেলোভাবে সময়ের যেকোন জন্য সহজেই সমাধান করা যেতে পারে , এলোমেলোভাবে গেম ট্রি অনুসন্ধান ব্যবহার করে! একটি রেফারেন্সের জন্য, মোতওয়ানি এবং রাঘাওয়ানে অধ্যায় 2, বিভাগ 2.1 দেখুন। এন পি Φ 2 পি এস পি এ সি ই Φ 2 Φ 1 এফ 2 এন Φ 2 এফ ও ( 2 .793 এন$\Phi_1$$NP$$\Phi_2$$PSPACE$$\Phi_2$$\Phi_1$$F$$2^n$$\Phi_2$$F$$O(2^{.793 n})$

অন্তর্নিহিততা হ'ল সার্বজনীন কোয়ান্টিফায়ার যুক্ত করার ফলে সমস্যাটি বরং জটিলতার চেয়ে সমাধান করা সহজতর করে তোলে actually গেম ট্রি ট্রি অনুসন্ধান অ্যালগরিদম বিকল্প কোয়ানটিফায়ার্সের উপর প্রচুর নির্ভর করে এবং যথেচ্ছ পরিমাণকে পরিচালনা করতে পারে না। তবুও, বক্তব্যটি রয়ে গেছে যে সমস্যাগুলি কখনও কখনও একটি জটিলতার পরিমাপের অধীনে "সহজ" পেতে পারে, যদিও তারা অন্য ব্যবস্থার অধীনে "শক্ত" দেখতে পারে।

Comments

দুর্দান্ত উত্তর, এবং একটি আকর্ষণীয় গ্রহণ।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমার কাছে এটি ঘটে যে উপরেরগুলি "ফাইন-গ্রানড জটিলতা" (সিমোনস ইনস্টিটিউটে একটি পতন 2015 প্রোগ্রাম) দ্বারা আমরা কী বোঝাতে চাইছি তার একটি দুর্দান্ত উদাহরণ। মূল ধারণাগুলির মধ্যে একটি হ'ল জটিলতা তত্ত্বটি একেবারে অন্যরকম দেখাতে পারে যখন প্রতিটি সমস্যার জন্য একটি (সম্ভাব্য উদ্ভট) কম্পিউটেশনাল মডেল অনুসন্ধান করার পরিবর্তে সেই সমস্যাটি "সম্পূর্ণ", একজন কেবল সহজতম রানটাইমটি কী তা বোঝার দিকে মনোনিবেশ করেন সমস্যার জন্য সূচক

— রায়ান উইলিয়ামস

Answer 2

এটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ আমরা সমাধান খুঁজে পেতে পারি কি না তার চেয়ে আরও বেশি ঝুঁকি রয়েছে। আগ্রহের বিষয়টি হ'ল আমরা সমাধানগুলি যাচাই করতে পারি কিনা । সমস্যাগুলির অসুবিধার মধ্যে অন্যান্য গুণগত পার্থক্য তৈরি করা যেতে পারে, তবে এনপি বনাম বৃহত্তর জটিলতা ক্লাসগুলির ক্ষেত্রে, এটিই আমি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে চিহ্নিত করব।

সিদ্ধান্তগত সমস্যাগুলির জন্য - যে সকল সমস্যার জন্য প্রতিটি ক্ষেত্রে একটি ' হ্যাঁ ' বা ' না ' উত্তর রয়েছে - এনপি হ'ল সমস্যাগুলির শ্রেণিবদ্ধভাবে যার জন্য আমরা দক্ষতার সাথে একটি প্রত্যাশিত প্রমাণ যাচাই করতে পারি যে প্রদত্ত উদাহরণটি ' ইয়েস ' উদাহরণ, নির্বিচারে, আমরা এক সঙ্গে উপস্থাপন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 3-স্যাট উদাহরণের জন্য আপনার যদি ভেরিয়েবলগুলির একটি সন্তোষজনক নিয়োগ থাকে তবে সেই অ্যাসাইনমেন্টটি আপনাকে দক্ষতার সাথে প্রমাণ করতে দেয় যে দৃষ্টান্তটি সন্তুষ্ট। এইরকম সন্তোষজনক কার্যভার খুঁজে পাওয়া শক্ত হতে পারে তবে একবার আপনার কাছে এলে আপনি সহজেই অন্যদের কাছে প্রমাণ করতে পারেন যে, আপনি যে সমাধানটি পেয়েছেন তা যাচাই করে কেবল উদাহরণটি সন্তুষ্টযোগ্য।

একইভাবে, সিএনপি-র জন্য, ' না ' উদাহরণগুলির জন্য দক্ষতার সাথে চেকযোগ্য প্রমাণ রয়েছে ; এবং NP  ∩  coNP এর সমস্যার জন্য , আপনি উভয়ই করতে পারেন। তবে পিএসপিএসি- অসম্পূর্ণ সমস্যার জন্য, এই জাতীয় কোনও প্রক্রিয়া বিদ্যমান নেই - যদি না আপনি জটিলতার ক্লাসগুলির বেশ কয়েকটি দর্শনীয় সাম্য প্রমাণ করতে পারেন।

Comments

আমি মনে করি যে প্রশ্নটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ সমস্যার "অপ্টিমাইজেশন" সংস্করণ সম্পর্কে। উদাহরণস্বরূপ, স্যাট এবং কিউবিএফ এর সমাধানের সন্ধানের মধ্যে কোনও জটিলতা (জটিলতার নিরিখে) কি আছে? এবং আরও সাধারণভাবে, কোন সিদ্ধান্ত সংস্করণটি এনপি-সম্পূর্ণ বা পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণরূপে অপ্টিমাইজেশান সমস্যার বৈশিষ্ট্য রয়েছে?

— লামাইন

@ ল্যামাইন: আপনি যে প্রশ্নটি তৈরি করছেন তা আমি সনাক্ত করতে পারি না (অন্ততপক্ষে নিছক সিদ্ধান্ত এবং সম্পূর্ণ অপ্টিমাইজেশনের মধ্যে)। সম্ভবত আপনি বোঝাতে চেয়েছেন যে প্রশ্নকারী কেবল উত্তরটি খুঁজে পেতে প্রয়োজনীয় সংস্থানগুলির প্রশ্নে আগ্রহী এবং সমস্যাটির অন্যান্য ব্যবস্থাগুলিতে আগ্রহী না, এই ক্ষেত্রে আমি সম্মত হই যে আমার প্রতিক্রিয়া এর উত্তর দেয় না। যাই হোক না কেন, উপরে প্রশ্নের উত্তর যেমন রয়েছে তা দাঁড়িয়ে আছে।

— নিল দে বৌদ্রাপ

খুব সুন্দর উত্তর।

— ডেভ ক্লার্ক

দক্ষতার সাথে যাচাই করার ক্ষমতা কোনও সমাধানের গণনা করতে সহায়তা করে না (পি = এনপি বাদে)। এনপি এবং সহ-এনপি অনুমান-ও-যাচাইয়ের মাধ্যমে সমস্যাটিকে আক্রমণ করার অনুমতি দেয়। এই পদ্ধতির প্রয়োগ করা সহজ, এবং এমনকি আরও দক্ষ হতে পারে, তবে এটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সহায়তা করে না।

— অ্যান্ড্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেস: সত্য - এইভাবে আমার জোর দিয়েছি যে সমাধানগুলি সন্ধান করা আমার উত্তরের প্রবন্ধের একমাত্র গুরুত্বপূর্ণ জিনিস নয়।

— নিল ডি বৌদ্রাপ

Answer 3

আমরা কীভাবে (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে) এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে গড়-মামলার হার্ড সমস্যা তৈরি করতে পারি তা আমরা জানি না তবে আমরা পিএসপিএসিই ( কাবলার অ্যান্ড শুলার (1998) দেখুন ) এমনকি ইউনিফর্ম বিতরণেও সমস্যা তৈরি করতে এটি করতে পারি সমস্ত PSPACE গণনা করা সহজ না হলে বেশিরভাগ ইনপুটগুলিতে সমাধান।

Answer 4

ব্যবহারিক দিক থেকে, এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে অনুশীলনে অনেক সমস্যার জন্য এনপি-কমপ্লিটনেস বাধা নয়। স্যাট সলভার এবং সিপিএলএক্সের দুটি যুগল (পূর্ণসংখ্যার লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য) যথেষ্ট শক্তিশালী এবং ভাল ইঞ্জিনিয়ারিং যে এটি যথাযথ আইএলপি হিসাবে সমাধানের মাধ্যমে বা এসএটি হ্রাস দ্বারা সমস্যাটি প্রায়শই এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সমাধান করা সম্ভব।

আমি পিএসপিএসিই সমস্যা হিসাবে একইভাবে ভাল ইঞ্জিনিয়ারড solvers সম্পর্কে অবগত নই।

Comments

কিউবিএফ সমাধানকারীদের উন্নত করার জন্য ডিজাইন করা একটি বার্ষিক প্রতিযোগিতা রয়েছে । আমি তাদের বেশি ব্যবহার করিনি।

— রাদু গ্রেগোর

Answer 5

আপনি এটি এইভাবে ভাবতে পারেন: কোনও গণিতের সমস্যার কি এমন প্রমাণ রয়েছে যা মানব-পঠনযোগ্য, বা এটি সহজাতভাবে একটি "কম্পিউটার প্রমাণ" প্রয়োজন require উদাহরণ: চেকারদের শুরুর অবস্থানটি কি একটি অঙ্কন? (উত্তর: হ্যাঁ।) দাবারের শুরুর অবস্থানটি কি সাদা? (উত্তর: অজানা, তবে বেশিরভাগ গ্রেডমাস্টাররা মনে করেন এটি একটি ড্র))

চেকারদের প্রারম্ভিক অবস্থানটি একটি অঙ্কনের প্রমাণটি শেষ পর্যন্ত একজনকে মেনে নেওয়া দরকার যে কম্পিউটারটি বিশেষভাবে অনেকগুলি বিশেষ ক্ষেত্রে যথাযথভাবে যাচাই করেছে। দাবা সম্পর্কে যদি কোনও প্রমাণ উপস্থিত থাকে তবে সম্ভবত এটি সম্ভবত মানব পাঠকদের মেনে নিতে হবে যে কোনও কম্পিউটার সঠিকভাবে আরও বেশি বিশেষ ক্ষেত্রে যাচাই করেছে। এবং এটি ভাল হতে পারে যে এই বিবৃতিগুলির প্রমাণ দেওয়ার জন্য কোনও ছোট্ট পদ্ধতি নেই । এগুলি PSPACE এ সমস্যা। যদি এনপিতে কোনও সমস্যা "ন্যায়সঙ্গত" হয়, তবে (স্বজ্ঞাত) কোনও মানুষ পুরো প্রমাণটি তার মাথায় রাখতে পারে। মানুষের অবশ্যই খুব বিশেষজ্ঞের গণিতবিদ হতে হবে।

খুব কঠোরভাবে ধাক্কা দিলে এই রূপকটি ভেঙে যাবে - size আকারের একটি এনপি-প্রুফ সম্ভবত কখনও কারও মাথার সাথে খাপ খায় না । তবে "সাক্ষী ছোট" এই প্রাথমিক ধারণাটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলির এত বেশি শিল্প তাত্পর্যপূর্ণ হওয়ার একটি অংশ।$n^{1000000}$

Comments

কেউ কি যুক্তি দিতে পারে যে সিএনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলির মধ্যে (কখনও কখনও) "কম্পিউটার প্রুফ" প্রয়োজন?

— ফিলিপ হোয়াইট

@ ফিলিপ হোয়াইট: আমি মনে করি এটি এক রকম নয়। বলুন "দাবা একটি ড্র" কোএনপিতে রয়েছে। না বলার জন্য, আমাকে যা করতে হবে তা হ'ল একটি যাচাই করা রেখাটি যা সহজেই যাচাইযোগ্য তা প্রদর্শিত হয়। তবে, আমরা প্রত্যাশা করি, এমনকি যদি এ জাতীয় লাইন বিদ্যমান থাকে তবে এটি সম্ভবত "জোর করে" প্রমাণ করা খুব কঠিন হবে। সুতরাং সমস্যাটি যদি কোনও নির্দিষ্ট দিকে দ্রবণীয় হয় তবে সরলতার কোনও গ্যারান্টি দেয় না। "দাবা একটি অঙ্কন" সম্ভবত সহজাতভাবে প্রমাণ করার জন্য একটি কম্পিউটারের প্রয়োজন, এটি সত্য বা মিথ্যা কিনা।

— অ্যারন স্টার্লিং

Answer 6

সুরেশের মন্তব্য ছাড়াও, অনুশীলনে একটি বড় পার্থক্য রয়েছে বলে মনে হয়। এমন হিউরিস্টিক্স রয়েছে যা ব্যবহারিক স্যাট উদাহরণগুলির কাঠামোটি ব্যবহার করে এবং দুর্দান্ত পারফরম্যান্স অর্জন করতে পরিচালিত করে (আমি এখানে বিরোধবিরোধী ক্লজ লার্নিং সলভারদের উল্লেখ করি)। একই হিউরিস্টিকস কিউবিএফ সলভারগুলিতে অনুরূপ কর্মক্ষমতা উন্নতি করে না।

প্রমাণ এবং যাচাইয়ের মধ্যে পার্থক্যও দেখা যায়। কিছু SAT solvers (যেমন MiniSAT 1.14 এবং অন্যদের হোস্ট) প্রমাণ তৈরি করে। বর্তমান কিউবিএফ সলভারগুলিতে প্রমাণ উত্পাদন করা তুচ্ছ নয়। (পরবর্তী বিবৃতিটি শ্রবণশক্তি থেকে) কিউবিএফ প্রতিযোগিতায় এমন অনেকগুলি বড় উদাহরণ রয়েছে যার ভিত্তিতে সমাধানকারীরা স্পষ্টতই বিভিন্ন ফলাফল দেয়। প্রুফ-উত্পাদক সমাধানকারীদের অভাবে, আমরা জানি না যে কোন ফলাফলটি সঠিক।

Answer 7

আপনি যদি স্যাট এবং দাবা সম্পর্কে ব্যবহারিক পারফরম্যান্সের দিকে তাকান তবে তার মধ্যে একটি পার্থক্য রয়েছে - এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ সমস্যার চেয়ে বেশি ট্র্যাকটেবল। স্যাট সলভার আজকে হাজারেরও বেশি ভেরিয়েবলগুলি পরিচালনা করতে পারে তবে একই সময়ের মধ্যে সেরা দাবা ইঞ্জিন কেবলমাত্র 20 টি পদক্ষেপের নীচে গণনা করতে পারে।

আমার ধারণা এটি সমস্যার কারণেই। হ্যাঁ, আপনি যদি কেবল সমাধানগুলি গণনা করেন তবে স্যাট সমাধানটি অত্যন্ত ধীর। তবে এতে কোয়ান্টিফায়ার বিকল্প নেই, লোকেরা সূত্রে কাঠামোগুলি আবিষ্কার করে এবং এর ফলে অনেকগুলি গণনা এড়ানো যায়। আমি মনে করি রায়ান উইলিয়ামস এই বিষয়টিকে উপেক্ষা করেছেন।

কোয়ান্টিফায়ার অল্টারনেশন সহ, হ্যাঁ ছাঁটাই করার স্মার্ট পদ্ধতি রয়েছে তবে এখনও কাঠামোটি সিএনএফ সূত্রের মতো সমৃদ্ধ নয়।

আমাকে ভবিষ্যতের পূর্বাভাস দিন স্যাট সমাধানটি সূত্রটি পরীক্ষা করে এবং মূলত অনুসন্ধান এড়ানোর মাধ্যমে পি-তে পরিণত করবে, অন্যদিকে দাবা খেলা গাছের সন্ধানকে মূলধন করে এটি পিতে পরিণত করবে।