চতুর্ভুজ সময়ে ম্যাট্রিক্সের গুণটি করা যায় এমন প্রমাণ?

Question

এটি বহুলভাবে অনুমান করা হয় যে ম্যাট্রিক্স গুণণের সর্বোত্তম ঘনিষ্ঠ আসলে 2 এর সমান My আমার প্রশ্নটি সহজ:$\omega$

বিশ্বাস করার জন্য আমাদের কী কারণ রয়েছে ?$\omega = 2$

আমি কপারস্মিথ-উইনোগ্র্যাডের মতো দ্রুত অ্যালগরিদম সম্পর্কে সচেতন, তবে কেন জানি এগুলি these প্রমাণ হিসাবে বিবেচিত হবে ।$\omega = 2$

নিঃসন্দেহে, এটি আমার কাছে ক্লাসিক উদাহরণের মতো মনে হয়েছে যেখানে কোনও সম্প্রদায় কেবল আশা করে যে কোনও ফলাফল নান্দনিক কারণে নিখুঁতভাবে সত্য হয়। আমি জানতে চাই যে এটি এখানে মূলত কেস হয়।

Comments

আমি সন্দেহ করি যে উত্তরটি মূলত নান্দনিকতা, এবং এটি 2 এর চেয়ে বড় হওয়ার কোনও ভাল কারণের অভাব রয়েছে। সেখানে FOCS '05-তে একটি কাগজ ছিল যা ম্যাট্রিক্স মাল্টের জন্য কিছু গোষ্ঠী তাত্ত্বিক নির্মাণ দিয়েছে যা বর্তমান পরিচিত প্রকাশকদের সাথে মিলেছে এবং 2ও দিয়েছে গ্রুপ তত্ত্বীয় অনুমান যা পরোক্ষভাবে । পিডিএফ$\omega=2$

— মার্ক রিটব্ল্যাট

কয়েক বছর আগে স্ট্রাসেনের সাথে আমার একটি কথোপকথন হয়েছিল যেখানে তিনি বলেছিলেন যে তিনি বিশ্বাস করেন । যদিও তার কারণগুলি ছিল তা আমি নিশ্চিত নই। $\omega > 2$

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ান, আসুন আশা করি স্ট্র্যাসেন cstheory.stackexchange পড়েন। :)

— স্টিভ ফ্লেমিয়া

রন রাজের কারণে একটি নীচে আবদ্ধ (কিছু বিধিনিষেধের অধীনে) রয়েছে, সুতরাং আরও ভাল অনুমান হবে যে অর্জন করা হয়নি (তবে প্রকৃতপক্ষে প্রকৃতপক্ষে )। $\Omega(n\log n)$$\omega = 2$$2$

— ইয়ুভাল ফিল্মাস

@ ইউভাল, @ স্টিভ: ১) ome সাধারণত সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়। 2) আমরা ইতিমধ্যে জানি যে যাই হোক না কেন এটি অর্জন হয় না (এটি একটি ইনফ এবং এক মিনিট নয়)। এই কপারসমিথ -উইনোগ্রাড কাগজটি দেখুন: dx.doi.org/10.1137/0211038 । বিমূর্ততা থেকে: "ম্যাট্রিক্সের গুণনের ব্যয়কারী একটি সীমা বিন্দু, অর্থাৎ এটি কোনও একক অ্যালগরিদম দ্বারা উপলব্ধি করা যায় না।" (তাদের ফলাফলের বিবরণ দেওয়া, আমি মনে করি এই বিবৃতিটি খুব সহজেই মুখের মূল্যে নেওয়া যাবে না, তবে এটি বেশিরভাগ প্রযুক্তি is)$\omega$$\omega$

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 1

আমি মার্ক রেইটব্ল্যাটের মন্তব্য এবং আমির শপিলকার জবাব যোগ করতে চাই। প্রথমত, কোহন, ক্লেইনবার্গ, সিজেগেডি এবং উমানস যে অনুমান করেছিলেন তার মধ্যে একটি গ্রুপ-তাত্ত্বিক নয় তবে খাঁটি সংমিশ্রণমূলক ( তাদের FOCS '05 কাগজে কনজ। 3.4 )। এই অনুমানটি বলে যে "শক্তিশালী ইউএসপি ক্ষমতা হ'ল rac "। কপারস্মিথ এবং উইনোগ্র্যাড, ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য তাদের বর্তমানে সেরা অ্যালগরিদম প্রদর্শনের মাধ্যমে দেখিয়েছেন যে ইউএসপি ক্ষমতাটি একই সংখ্যা (যদিও তারা এটিকে একেবারেই এভাবে করেনি)। যদিও শক্তিশালী ইউএসপি এবং ইউএসপিগুলির মধ্যে পার্থক্য রয়েছে, এটি এমন কিছু প্রমাণ যা তাদের অনুমান কমপক্ষে প্রশংসনীয়।$\frac{3}{2^{2/3}}$$\frac{3}{2^{2/3}}$

(তাদের অন্যান্য অনুমান ৪.7, যা গোষ্ঠী-তাত্ত্বিক, আমি কেবল স্বজ্ঞাততা ছাড়াই প্লাজিবলির অনুরূপ কোনও প্রমাণ জানি না।)

দ্বিতীয়ত, আমি আমির শপিলকার সাথে একমত যে অতীত অ্যালগরিদমের স্ট্রিংটিতে কিছুটা অ্যাড-হক অনুভূতি রয়েছে। তবে, গ্রুপ-তাত্ত্বিক পদ্ধতির সম্পর্কে একটি দুর্দান্ত বিষয় হ'ল পূর্ববর্তী অ্যালগরিদমের প্রায় সমস্ত (বেশিরভাগ নয়) এই পদ্ধতির মধ্যে বিভক্ত করা যেতে পারে। যদিও [সিকেএসইউ] বিভিন্ন গ্রুপ-তাত্ত্বিক নির্মাণগুলি বাইরের দিকে কিছুটা অ্যাড-হক মনে হতে পারে, গ্রুপ-তাত্ত্বিক কাঠামোর প্রেক্ষাপটে এগুলি বেশিরভাগের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি প্রাকৃতিক এবং কম অ্যাড-হক (কমপক্ষে আমার কাছে) প্রদর্শিত হবে পূর্ববর্তী অ্যালগরিদম

Comments

আমি যখন ক্যাপাসিটি সম্পর্কে চিন্তা করি আমি স্বাধীন সেট এবং চক্রগুলি সম্পর্কে চিন্তা করি। ইউএসপি এবং অন্তর্নিহিত গ্রাফের সুস্পষ্ট নির্মাণের মধ্যে অভিধান কী এবং এই গ্রাফগুলির কোনও কাঠামো আছে?

— টি ....

Answer 2

আমি অন্যদের সম্পর্কে জানি না কিন্তু আমি তোমাদের বলছি কেন আমি বিশ্বাস করতে চাই যে ঝোঁক করতে । আপনি যখন দ্রুত ম্যাট্রিক্সের গুণ ও অ্যালগরিদমগুলির ইতিহাস এবং বিকাশের মাধ্যমে পড়েন, তখন আমি মনে করি যে অনুভূতি অর্জন করা আমাদের পক্ষে কঠিন যে আমাদের যা প্রয়োজন তা কেবলমাত্র একটি সামান্য উন্নত বেসিক অ্যালগরিদম যা থেকে এমনকি জ্ঞাত কৌশলগুলি ব্যবহার করেও অনুসরণ করবে । মূলত, সমস্ত অ্যালগরিদম আজ (গ্রুপ তাত্ত্বিকগুলি সহ) কিছু "সাধারণ" নির্মাণের সাথে শুরু হয় যা তখন প্রশস্ত করা হয়। এই নির্মাণগুলি চতুর কিন্তু তারা পাঠককে কিছুটা "অ্যাড-হক" অনুভূতি দেয়। আমি বিশ্বাস করার কোনও কারণ দেখতে পাচ্ছি না যে আমরা আরও ভাল সাধারণ নির্মাণের সাথে আসতে পারি না।$\omega=2$$\omega=2$

Answer 3

আমার কাছে এর অনুমানকে ন্যায়সঙ্গত করতে আমি একটি উপমা ব্যবহার করি। আমি বুঝতে পেরেছি এটি বেশ উত্তরাধিকারসূতী, তবে তবুও এটি আমাকে ভালভাবে কাজ করেছে, উদাহরণস্বরূপ, কোহান এট আল এর পিছনে কিছু অন্তর্দৃষ্টি বোঝার ক্ষেত্রে। কাগজ।$\omega = 2$

কনভলিউশন এবং ম্যাট্রিক্সের গুণটি একই রকম। যদি এবং করছে বাই ম্যাট্রিক্স এবং , তারপর । যদি এবং হয় -length জীবানুবাহক এবং , তারপর । উভয় ক্ষেত্রেই, চূড়ান্ত ফলাফল হ'ল ভেক্টরগুলির যোগানগুলিতে গঠিত, তবে ইনপুট ডেটার মধ্যে সম্পর্কিত কাঠামোটি আলাদা। সংশ্লেষণের জন্য, আমরা তুচ্ছ পরিবর্তে সময়ে উত্তরটি গণনা করতে এফএফটি ব্যবহার করতে পারি । আনুষাঙ্গিকভাবে, কেউ একটি আশা করতে পারে$A$$B$$n$$n$$C = AB$$C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) B(k,j)$$A$$B$$n$$C = A*B$$C(i) = \sum_{k=1}^n A(k)B(i-k)$$\tilde{O}(n)$$O(n^2)$$\tilde{O}(n^2)$ ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য সময় অ্যালগরিদম। প্রশ্নটি হল: ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের অ্যানালগটি কী যা ম্যাট্রিক্সের গুণকে সাহায্য করতে পারে?

Answer 4

সম্ভবত এটি । রয়ে ধ্রুবক ফ্যাক্টর বই পালন যেমন কল্পনাপ্রসূত দেখে মনে হচ্ছে এটা স্কেল পারে মনে হচ্ছে না।$O(n^{2} log(n^2))$$\omega = 2$

Comments

আপনি সংজ্ঞাটি ভুল বুঝেছেন : এটি মেট্রিক্সের গুণকে সময়ে সমাধান করা যায় এমন সমস্ত এর সর্বাধিকতম । যদি কোনও ম্যাট্রিক্সের গুণিত অ্যালগরিদম থাকে তবে এই অনন্যটি এখনও । বিটিডাব্লুতে সীমানা সহগের সাথে গাণিতিক সার্কিটের মডেলটিতে একটি আবদ্ধ রয়েছে। $\omega$$c$$O(n^c)$$O(n^2 \log^{10} n)$$2$$\Omega(n^2\log n)$

— সাশো নিকোলভ

@ সাশোনিকোলভ তা উল্লেখ করার জন্য ধন্যবাদ। কেউ কি বুলিয়ান ম্যাটমুল এ * বি = সি এর জন্য নিউরাল নেট প্রশিক্ষণের চেষ্টা করেছে? [একটি এন্ট্রি, বি এন্ট্রি, সি এন্ট্রি] -> বুল (সঠিক বা ভুল গুণ)। উত্সাহী কী সার্কিটগুলি গ্রেডিয়েন্ট শালীন / ড্রপআউটস নিয়ে আসে; যদি প্রশিক্ষিত সার্কিটগুলির প্রধান পঁচনের কাছাকাছি আকর্ষণকারী থাকে। 3x3, 4x4, 5x5, 6x6 এ মনে হচ্ছে জিপিইউয়ের এক ঘন্টা কিছু আকর্ষণীয় ফলাফল দেবে।

— চাদ ব্রিউবেকার