কম মাত্রায় ইউক্লিডিয়ান-স্কোয়ার সর্বাধিক কাটা

যাক সমতল পয়েন্ট হতে । বিন্দু হিসাবে এবং এর প্রান্তের ওজন সহ একটি সম্পূর্ণ গ্রাফটি বিবেচনা করুন । আপনি সবসময় ওজন যে অন্তত একটি কাটা খুঁজে পাওয়া যাচ্ছে না $x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ মোট ওজনের ? যদি না হয় তবে কোন ধ্রুবকটিপ্রতিস্থাপন করবে $\frac 2 3$ ? $\frac 2 3$

আমি সবচেয়ে খারাপ উদাহরণটি খুঁজে পেতে সক্ষম হলাম একটি সমবাহু ত্রিভুজের 3 পয়েন্ট, যা অর্জন করে । নোট করুন যে একটি এলোমেলো বিভক্তিউত্পাদন করে $\frac 2 3$ , তবে এটি স্বজ্ঞাতভাবে সুস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে যে স্বল্প মাত্রায় কোনও ব্যক্তি এলোমেলোভাবে ভাল ক্লাস্টার করতে পারে। $\frac 1 2$

কে> 2 এর জন্য সর্বাধিক-কে-কাট কি হবে? কিভাবে একটি মাত্রা d> 2? এই জাতীয় প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য কি কাঠামো আছে? আমি চেজারের অসমতার কথা জানি, তবে সেগুলি স্পার্সেস্ট কাট (সর্বোচ্চ-কাট নয়) প্রয়োগ হয় এবং কেবল নিয়মিত গ্রাফের জন্য কাজ করে।

(বৈকল্পিকতা হ্রাস করতে কম্পিউটার গ্রাফিক্সে আলোর উত্সকে ক্লাস্টারিংয়ের সমস্যা দ্বারা প্রশ্নটি অনুপ্রাণিত হয়)।

— মিলোস হাসান
সূত্র

ম্যাক্স কে-কাটের জন্য একটি সাধারণ 1-2 / কে আনুমানিকতা রয়েছে, এবং কে> 2 এর জন্য আপনি একটি ভাল বড় কাট দেখতে পারেন তবে কে = 2 এর জন্য আপনি www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut দেখতে পারেন -jacm.pdf এবং সম্পর্কিত বিষয়গুলি, আমি মনে করি যদি আপনি হাই সম্ভাব্যতার সাথে ভাল কাট পান তবে আপনি বলতে পারেন যে 2/3 এর সাথে একটি কাটা রয়েছে বা না, কমপক্ষে সম্ভাবনার পরিধি সীমাবদ্ধ থাকবে।

— Saeed

তবে এখানে লক্ষ করুন যে ওজনের ফাংশনটি স্কয়ারড ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব, যা কোনও মেট্রিক নয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি অনুমান করব যে সর্বাধিক কাটাতে একটি পিটিএস রয়েছে, বা এই উদাহরণগুলির জন্য একটি পলটাইম অ্যালগরিদমও রয়েছে তবে নির্দিষ্ট প্রশ্নটি খুব আকর্ষণীয় interesting শীর্ষস্থানগুলি যখন একটি চক্রের সাথে সমানভাবে দূরত্বে থাকে তখন কী সর্বোচ্চ কাটা হয় তা কী পরিষ্কার হয় এবং এই বর্গের উদাহরণ যা সর্বোচ্চ কাটকে ন্যূনতম করে দেয় তিনটি সমান ব্যবধানের শীর্ষে রয়েছে? কারণ সেখানে একটা যুক্তি হল যে অনুষ্ঠান পয়েন্ট প্রতিটি কনফিগারেশন মোট ওজন সর্বোচ্চ কাটা অনুপাত বৃদ্ধি ছাড়া একটি `প্রতিসম 'কনফিগারেশনে পরিবর্তিত করা যায় হতে পারে, এবং তাই এটি শুধুমাত্র অত্যন্ত প্রতিসম কনফিগারেশনের বুঝতে যথেষ্ট হতে পারে

— লুকা Trevisan

এছাড়াও, এক মাত্রায় কী ঘটে? একটি কনফিগারেশন সন্ধান করা সম্ভব যার জন্য সর্বোচ্চ কাটা মোট ওজনের প্রায় 2/3 হয় (একটি পয়েন্ট -1, একটি পয়েন্ট +1, 4 পয়েন্ট শূন্যের খুব কাছাকাছি; মোট ওজন 12 এবং সর্বোত্তম) 8)। 2 -3 কি 1 টি মাত্রায় মোট ওজনের সর্বোচ্চ কাটনের ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য অনুপাত?

— লুকা ট্রেভিসান

@ লুকা: হ্যাঁ, 1 ডিও তুচ্ছ নয়। স্বজ্ঞাতভাবে, মাত্রা বাড়ার সাথে ধ্রুবকটি 1/2 এর কাছাকাছি হওয়া উচিত। 2 ডি কেসের জন্য আমরা ধরে নিতে পারি যে মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রটি (0,0) এ এবং সমস্ত পয়েন্ট ইউনিট বৃত্তের মধ্যে ফিট করে। কিছু "পয়েন্ট রিপ্লেশন" যুক্তি থাকতে পারে যা কাটা ওজন না বাড়ানোর সময় ইউনিট বৃত্তের দিকে পয়েন্টগুলিকে ঠেলে দেয়, যা সাহায্য করবে, তবে আমি এটিকে পিন করতে পারি না।

— মিলোস হাসান

উত্তর:

মাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে ধ্রুবকটি 1/2 থাকে। D মাত্রায়, আপনি একে অপরের থেকে দূরত্বে d + 1 পয়েন্ট রাখতে পারেন, তাই দূরত্ব-বর্গের যোগফল এবং সর্বোচ্চ কাটা সবচেয়ে হয়, যা একটি হল ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ মোট ওজন ভগ্নাংশ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

ঠিক আছে, তবে কেন একে অপরের থেকে 1 দূরত্বে ডি + 1 পয়েন্টের কনফিগারেশনটি সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি গঠন করে? এটি প্রশংসনীয় বলে মনে হয় তবে এটি কি সুস্পষ্ট? (এবং ডি = 1 এর জন্য একে অপরের থেকে 1 দূরত্বে দুটি পয়েন্টগুলি স্পষ্টতই সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি নয়; আপনি উপরে যে 6-দফার কনফিগারেশন দিয়েছেন তা আরও খারাপ। এটিই হতে পারে যে ডি = 1 কেবল প্যাথলজিকাল কেস, এবং এটি কাজ করে ডি> = 2?)

— মিলস হাসান

@ মিলস আমি নিশ্চিত যে আমি বুঝতে পেরেছি না। আমরা জানি যে ০.০ অর্জনযোগ্য, এবং এই উদাহরণটি দেখায় যে আপনি আরও ভাল করতে পারবেন না। যদিও এটি বিমানের জন্য 2/3 অনুমানটি ভাঙ্গেনি।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: আমি আসলে যা ছিলাম তা প্রমাণ করে আপনি স্বল্প মাত্রায় আরও ভাল করতে পারবেন , অর্থাত্ আমি বিশেষ নিম্ন ডি এর জন্য সবচেয়ে খারাপের ধ্রুবকের প্রকৃত মানগুলির ক্রমটিতে আগ্রহী।

— মিলোস হাসান

আমি কম ডি এর জন্য 1/2 এবং 2/3 এর মধ্যে প্রকৃত ফাঁক প্রমাণ করতে চেয়েছিলাম। এর আকর্ষণীয় পরিণতি হবে, অর্থাৎ আপনি যদি মন্টি কার্লো সংক্ষেপণ / একীকরণ (আপনার সমস্যাটিকে এলোমেলোভাবে পরিবর্তে সাব-সমস্যায় বিভক্ত করে) বীট করতে পারেন, যদি আপনার সমস্যাটি আন্তঃগতভাবে নিম্ন-মাত্রিক হয় (যে কোনওটি হ'ল)।

— মিলোস হাসান

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

সমান্তরাল ত্রিভুজের উপর 3 পয়েন্ট A, B, C নিন এবং কেন্দ্রে আরও 3 পয়েন্ট D, E, F যুক্ত করুন। এটি পরিষ্কার যে আপনি কাটার একপাশে দুটি এ, বি, সি চান, সুতরাং আসুন এই তিনটি পয়েন্টের কাটটি হ'ল (এবি; সি)। এখন, ডি, ই, এফ পয়েন্টগুলির প্রতিটিকে কাটার সি পাশের দিকে যেতে হবে, তাই অনুকূল কাটাটি (এবি; সিডিইএফ), এবং অনুপাতটি সহজেই 2/3 হতে যাচাই করা হয়।

এখন, কেন্দ্র থেকে কিছুটা দূরে D, E, F বিন্দুর প্রত্যেককে একটি ছোট সমান্তরাল ত্রিভুজ তৈরি করতে সরান। যতক্ষণ না তারা কেন্দ্রের চারপাশে প্রতিসাম্যিক হয় সেদিকে কোন দিক থেকে কিছু যায় আসে না। আপনি যদি তাদের যথেষ্ট পরিমাণে দূরত্ব সরিয়ে নেন তবে সর্বোত্তম কাটটি এখনও হতে হবে (এবি; সিডিইএফ)। এই কাটা দৈর্ঘ্য বিবেচনা করুন। প্রান্তগুলি (এসি, বিসি) প্রান্তগুলির মোট দৈর্ঘ্যের 2/3 গঠন করে (এবি, বিসি, এসি)। প্রতিসাম্য দ্বারা, প্রান্তগুলির মোট দৈর্ঘ্য (এডি, এই, এএফ, বিডি, বিই, বিএফ) প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্যের 2/3 (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF) হয় )। তবে কোনও প্রান্ত (ডিই, ইএফ, ডিএফ) কাটছে না। সুতরাং এই কাটার অনুপাত 2/3 এর চেয়ে কঠোরভাবে কম।

$(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— পিটার শোর
সূত্র

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

আমার অনুমান যে সঠিক উত্তরটি .64 এর চেয়ে খুব কম কিছু নয়, তবে কীভাবে নিম্ন সীমা দেখানো যায় সে সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই।

— পিটার শোর