সর্বনিম্ন ফ্লিপ কানেকটিভিটি সমস্যা

Question

আমি আমার জিপিএস নিয়ে খেলতে আজ নীচের সমস্যাটি তৈরি করেছি। এটা এখানে :

যাক হতে একটি নির্দেশ গ্রাফ যেমন যে যদি তারপর , অর্থাত্,$G(V,E)$( v , u ) ∉ E $e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$ অন্তর্নিহিত undirected গ্রাফ একজন স্থিতিবিন্যাস হয়। নিম্নলিখিত অপারেশনগুলি বিবেচনা করুন:

• : একটি প্রান্ত ( ইউ , ভি ) একটি প্রান্ত ( v , u ) দিয়েপ্রতিস্থাপন করুন$Flip(u,v)$$(u,v)$$(v,u)$
• : প্রান্তটি ( ইউ , ভি ) অনিরীক্ষিত করুন$undirect(u,v)$$(u,v)$

চলুন দুটি বিশেষ উল্লম্ব হতে হবে। নিম্নলিখিত অপটিমাইজেশন সমস্যাগুলি বিবেচনা করুন:$s,t \in V$

• ন্যূনতম-ফ্লিপ St-সংযোগ: প্রদত্ত এবং দুই ছেদচিহ্ন গুলি , T প্রান্ত থেকে একটি নির্দেশ পাথ করতে ফ্লিপ করা প্রয়োজন ন্যূনতম সংখ্যা খুঁজে বের গুলি করার টি ।$G$$s,t$$s$$t$
• ন্যূনতম-ফ্লিপ দৃ strong়-সংযোগশীলতা: দৃ G ়ভাবে সংযুক্ত হওয়ার জন্য ন্যূনতম সংখ্যার ঝাঁকুনি দেওয়া উচিত যা প্রদত্ত জি । প্রান্তগুলি উল্টিয়ে যদি জি দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত করা সম্ভব না হয় তবে আউটপুট কোনও নয়।$G$$G$$G$
• ন্যূনতম-undirect শক্তিশালী-সংযোগ: প্রদত্ত প্রান্ত করতে undirected করা প্রয়োজন ন্যূনতম সংখ্যা খুঁজে বের জি দৃঢ়ভাবে সংযুক্ত।$G$$G$

মনে রাখবেন যে আপনাকে "নতুন" প্রান্ত যুক্ত করার অনুমতি নেই। আপনি কেবলমাত্র উপরের ক্রিয়াকলাপগুলি ব্যবহার করে বিদ্যমান প্রান্তগুলি পরিবর্তন করছেন। এই সমস্যাটি কি সাহিত্যে জানা যায়? তা হলে জানা ফলাফল কী?

Comments

আপনি ন্যূনতম সংখ্যার প্রান্ত বলতে চান যা ডানদিকে উল্টাতে হবে ?

— গৌরব কানাদে

@ গৌরব: হ্যাঁ আমি এটা সংশোধন করেছি।

— শিব কিন্তালি

তৃতীয় সমস্যার জন্য, আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে কোনও দিকনির্দেশিত প্রান্তটি উভয় দিকেই চিহ্নিত করা যায়?

— ইয়োশিও ওকামোতো

@ যোশিও: হ্যাঁ দু'টি দিকনির্দেশিত প্রান্তগুলি পাথ নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

— শিব কিন্তালি

সম্পর্কিত: tcs.uni-luebeck.de/downloads/papers/2011/orient-ilp.pdf

Answer 1

সংক্ষিপ্তসার: সর্বনিম্ন সময়ে সমস্যাগুলি ন্যূনতম-ব্যয়যুক্ত দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত ওরিয়েন্টেশন সন্ধান করার মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে।

আরও বিশদ: রব্বিন্সের একটি উপপাদ্যটি বলেছে যে একটি পুনর্নির্দেশিত গ্রাফের প্রান্তগুলি ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে যাতে ফলাফল নির্দেশিত গ্রাফটি দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত থাকে যদি এবং কেবল যদি অনির্দেশিত গ্রাফটি 2-এজ-সংযুক্ত থাকে। বেশ কয়েকটি এক্সটেনশান রয়েছে এবং তাদের মধ্যে একটি বহু-কালীন সাবমডুলার ফ্লো অ্যালগরিদম ব্যবহার করে বলেছে, বহুবর্ষের সময় আমরা নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করতে পারি: প্রান্ত ব্যয় (উভয় দিকনির্দেশের জন্য) একটি অনির্দেশিত গ্রাফ দেওয়া হয়েছে, যা একটি ন্যূনতম-ব্যয়ের অভিযোজন খুঁজে বের করে গ্রাফ দৃ strongly়ভাবে সংযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, ফ্র্যাঙ্ক এর কাগজ দেখুন । আরও সাম্প্রতিক একটি অ্যালগরিদম ইওয়াটা এবং কোবায়াশি সরবরাহ করেছেন ।

এই ফলাফল ভঙ্গিত সমস্যা সমাধানের জন্য কার্যকর হওয়া উচিত। টমেক প্রস্তাবিত পদ্ধতি দ্বারা প্রথম সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে । সুতরাং আমরা অন্যান্য সমস্যাগুলিতে মনোনিবেশ করব।

দ্বিতীয় সমস্যাটির জন্য, আমরা টোমেকের মতো প্রান্ত-ভারিত গ্রাফের একই নির্মাণ ব্যবহার করি এবং বহুবর্ষীয় সময়ে ন্যূনতম ব্যয়ের সাথে দৃ connected়ভাবে সংযুক্ত ওরিয়েন্টেশন পাই।

তৃতীয় সমস্যার জন্য, প্রতিটি প্রান্তের জন্য উভয় দিকনির্দেশের অনুমতি দেওয়ার জন্য, আমরা প্রতিটি প্রান্তটি নকল করি এবং তারপরে একই নির্মাণ এবং একই অ্যালগরিদম প্রয়োগ করি। এটি বৈধ হ্রাস কারণ নকল প্রান্তগুলির জন্য একই দিক ব্যবহার করা শক্তিশালী সংযোগকে প্রভাবিত করে না।

Answer 2

এটি প্রথম সমস্যার উত্তর:
একটি নতুন ওজনযুক্ত গ্রাফ , যেখানে E ′ = { ( u , v , 0 ) | ( ইউ , $G'=(V,E')$ ( জি তে থাকা সমস্ত প্রান্তের ওজন$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$0 হয় এবং 'বিপরীত' প্রান্তের ওজন 1)। এখন আপনাকে থেকে টি পর্যন্ত সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততম পথটি সন্ধান করতে হবে ।$s$$t$

Answer 3

ন্যূনপ্লিপ ফ্ল্যাট সেন্ট সংযোগটি এনএল-সম্পূর্ণ হয় যদি আপনি সিদ্ধান্তটির সমস্যাটিকে "এই জাতীয় পথের জন্য সর্বাধিক প্রান্তে উল্টানো দরকার ?" হিসাবে অভিহিত করেন। এটি এনএল-হার্ড কারণ এটির জন্য একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে সেন্ট সংযোগ রয়েছে$k$এবং এটি এনএল-এ রয়েছে কারণ আপনি এস থেকে টি-তে একটি পথ অনুমান করতে পারেনযা কিছু উল্টানো প্রান্ত ব্যবহার করে এবং একবারে এটির পাল্লা রেখে, এটির এক প্রান্তটি অতিক্রম করতে পারে to নিশ্চিত করুন যে কে প্রান্তেরচেয়ে বেশি আরপিছনে বিচ্যুত হয় না।$k=0$$s$$t$$k$

Answer 4

আমার সাম্প্রতিক বইটিতে, সংযোগগুলি সম্মিলিত অপটিমাইজেশন (অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, ২০১১) উপরের আলোচিত প্রকরণগুলি সহ একটি কেন্দ্রীয় থিম গ্রাফ ওরিয়েন্টেশন সমস্যা। এটি পরিচিত যে 2 কে-প্রান্ত-সংযুক্ত গ্রাফের কে-এজ-কানেক্টেড ওরিয়েন্টেশন রয়েছে (এটি ন্যাশ-উইলিয়ামসের একটি উপপাদ্য)। যদি গ্রাফটি 2 কে-এজ-সংযুক্ত না থাকে তবে প্রান্তগুলির প্রদত্ত উপসেটটি ভাল হয় কিনা তা বিবেচনা করতে আগ্রহী হতে পারে (এই বিবেচনায় যে ফলকের মিশ্রিত গ্রাফটি কে-এজ-সংযুক্ত রয়েছে) F বইটিতে আমি বর্ণনা করেছি যে কীভাবে বহুবর্ষে এই সমস্যাটি সমাধান করা যায়। তবে আমি জানি না কীভাবে ন্যূনতম কার্ডিনালিটির ভাল সেটটি পাওয়া যায়।

আন্দ্রেস ফ্র্যাঙ্ক

Answer 5

ন্যূনতম-ফ্লিপ সেন্ট-কানেক্টিভিটি বেস: s (টি) থেকে পৌঁছতে পারে এমন সমস্ত শীর্ষ কোণ গণনা করুন। যদি টি টি স্টপে থাকে। প্ররোচক: টিতে নয় এমন সমস্ত উল্লম্বটি বিবেচনা করুন যা টি এক সাথে একটি ফ্লিপ দিয়ে টি সংলগ্ন এবং এই ইউটিকে কল করুন U U টির কাছ থেকে পৌঁছনীয় শিখরগুলি গণনা করুন এই কলটি। যদি টি ভি স্টপ হয়, অন্যথায় V তে টি যোগ করুন এবং চালিয়ে যান।

ন্যূনতম-ফ্লিপ শক্তিশালী সংযোগের অর্থ আপনার অবশ্যই অপ্রত্যক্ষ বলতে হবে কারণ আপনার সাথে এ সমস্যা হবে: এ -> বি