নম্বর বিভাজনের বিশেষ ক্ষেত্রে এনপি-কঠোরতা

Question

নিম্নলিখিত সমস্যা বিবেচনা করুন,

• একটি সেট দেওয়া ধনাত্মক সংখ্যার আগে { একটি 1 , ... , একটি এন } যা ট ≥ 3 একটি ধ্রুবক, আমরা মধ্যে সেট পার্টিশন করতে চান মি আকারের সাব-সেট নির্বাচন ট যাতে প্রতিটি উপসেট এর সমষ্টি গুণফল সর্বাধিক হয়।$n = k m$$\{ a_1, \dots, a_n \}$$k \ge 3$$m$$k$

আমাদের প্রতিটি পার্টিশনে সংখ্যার সংখ্যার সীমা ছাড়াই সমস্যাটি সুপরিচিত ওয়ে নম্বর পার্টিশনটির মতোই একই রকম । জন্য ট = 2 নিম্নলিখিত সহজ বহুপদী অ্যালগরিদম প্রস্তাব করা যেতে পারে,$m$$k = 2$

• অনুমান সংখ্যা সাজানো হয়, অর্থাত্ । তারপর, জন্য আমি ≤ মি বরাদ্দ একটি আমি উপসেট থেকে আমি , জন্য আমি > মি , এটা উপসেট নির্ধারিত এন - আমি + + 1 ।$a_1<a_2<...<a_n$$i≤m$$a_i$$i$$i>m$$n−i+1$

অ্যালগরিদম কেন কাজ করে তা দেখা মুশকিল নয়। সবেমাত্র দুটি স্বেচ্ছাচারিতা বিন বেছে নিন। সংখ্যায় কোনও অদলবদু পণ্যের পরিমাণ বাড়বে না।

তবে বৃহত্তর জন্য , আমি ভাবছি যে সমস্যাটি বহুবর্ষের সময়ে সমাধান করা যায় কিনা? যদি কেউ এটিকে এনপি-কঠোরতা দেখাতে পারে তবে আমি কৃতজ্ঞ হব।$k$

দ্রষ্টব্য: আমি ওয়্যারলেস নেটওয়ার্কগুলিতে একটি সময় নির্ধারণ সমস্যা নিয়ে কাজ করার সময় আমি সমস্যার মুখোমুখি হয়েছি। সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমি একটি ভাল হিউরিস্টিক অ্যালগরিদম পেয়েছি। তবে কিছুক্ষণ পরে আমি ভাবলাম সমস্যাটি তাত্ত্বিকভাবে আকর্ষণীয় হতে পারে।

Comments

$k=2$

@ মোহন, ধন্যবাদ। আমি আপনাকে পরামর্শ দেব যে প্রেরণা, পটভূমি এবং প্রশ্নের মধ্যে আপনি কে = 2 কেস সম্পর্কে কী জানেন সে সম্পর্কে এই মন্তব্যগুলি অন্তর্ভুক্ত করুন। এটি সম্ভবত এটি অন্যদের জন্য আরও আকর্ষণীয় করে তুলবে।

— কাভেহ

আমার স্বজ্ঞাততা হ'ল প্রতিটি উপসেটের যোগফলের পরিমাণ সর্বাধিক হয় যখন পরিমাণগুলি সমান হয় বা সর্বাধিক জোড়াওয়ালা পার্থক্য সর্বনিম্ন হয়। এই অনুমানের অধীনে, আমরা 3-পার্টিশন থেকে সহজে হ্রাস পাই যা এনপি-সম্পূর্ণ (কে = 3 এর জন্য)।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

(আমি আরও কয়েক ঘন্টা আগে তাদের দুটি আরও সঠিকভাবে পুনরায় লেখার জন্য পোস্ট করা দুটি মন্তব্য সরিয়ে দিয়েছি।) যেমনটি তুরস্কিস্তানি পরামর্শ দিয়েছেন, কে-পার্টিশনের সমস্যাটি এই সমস্যার পক্ষে হ্রাসযোগ্য, এবং তাই এই সমস্যাটি প্রতিটি ধ্রুবক কে -3 এর জন্য এনপি-হার্ড। একমাত্র প্রাসঙ্গিক সম্পত্তি হ'ল যে পরিমাণগুলি হবে তার পরিমাণের সর্বাধিক পরিমাণ কমপক্ষে (_a_i / k) and m হয় এবং কেবল যদি সংখ্যাগুলিকে মিটার আকারে বিভক্ত করা যেতে পারে যার আকারগুলি সমান হয়। বিভাজন দ্বারা পণ্যটি সর্বদা সর্বাধিক হয় না যা সর্বাধিক জোড়াযুক্ত পার্থক্যকে হ্রাস করে, তবে যতক্ষণ আমরা সঠিক সমস্যাটি বিবেচনা করি ততক্ষণ এটি অপ্রাসঙ্গিক। (আরও)

— স্যুওশি ইতো

(cont'd) আপনি ইনপুট প্রয়োজন হলে একটি হতে সেট একটি পরিবর্তে multiset , এই হ্রাস এখনও কাজ করে কারণ K-পার্টিশন সমস্যা এমনকি একটি সেট দিয়ে থাকে এন পি-সম্পূর্ণ, কিন্তু সতর্কতা অবলম্বন করা আবশ্যক কারণ দ্বারা NP-সম্পূর্ণতার আদর্শ প্রমাণ 3-পার্টিশনের সমস্যার কেবল তখনই কাজ করে যখন ইনপুটটিকে একই সংখ্যার একাধিকবার থাকতে দেওয়া হয়। স্বতন্ত্র সংখ্যা (সতর্কতা: স্ব-প্রচার) দিয়ে 3-পার্টিশনের সমস্যার গণ্য জটিলতা দেখুন ।

— সসুওশি ইতো

Answer 1

(এটি প্রশ্নে আমার মন্তব্যের একটি আরও বিশদ সংস্করণ))

তুর্কিস্তানি এই প্রশ্নের মন্তব্যে যেমন পরামর্শ দিয়েছেন , কে- পার্টিশন সমস্যা থেকে হ্রাস করে প্রতিটি ধ্রুবক কে -৩ এর জন্য এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড । হ্রাস মোটেও দৃষ্টান্ত পরিবর্তন করে না: কেবলমাত্র লক্ষ করুন যে পরিমাণগুলি যোগফলের সর্বাধিক উত্পাদনের পরিমাণটি কমপক্ষে ( _i a / k ) ^{মিটার} হয় এবং কেবল যদি সংখ্যাগুলি এম কে বিভক্ত করা যায় তবে প্রতিটি সাইজের আকারের সাথে সেট করে যার পরিমাণগুলি হবে সব সমান

নোট করুন যে কে- পার্টিশন সমস্যার ক্ষেত্রে ইনপুটটি সাধারণত কিমি সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা সমস্ত স্বতন্ত্র নাও হতে পারে , এবং এটি এর এনপি-সম্পূর্ণতার স্ট্যান্ডার্ড প্রমাণে প্রয়োজনীয় (যেমন গ্যারে এবং জনসনের মধ্যে একটি )। সুতরাং, উপরোক্ত হ্রাস কেবলমাত্র বর্তমান সমস্যার সামান্য সাধারণীকরণের এনপি-কঠোরতা প্রমাণ করে যেখানে কোনও সেটের পরিবর্তে ইনপুটটিকে মাল্টিসেট হওয়ার অনুমতি দেওয়া হয়। যাইহোক, এই ফাঁকটি পূরণ করা যেতে পারে কারণ ইনপুটটিতে নম্বরগুলি সমস্ত স্বতন্ত্র হওয়া প্রয়োজন হলেও কে পার্টিশনের সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ থেকে যায়; কে = 3 এর ক্ষেত্রে [এইচডাব্লুডব্লিউ 08] দেখুন ( সার্জ গ্যাসপার্সের উত্তরও দেখুন)অন্য প্রশ্নে), যা কে এর বৃহত্তর মানগুলির জন্য সহজেই সংশোধন করা যায় ।

এছাড়াও, এখানে বর্ণিত সমস্ত কিছুই এনপি-সম্পূর্ণ / এনপি-হার্ড থাকে এমনকি ইনপুটটিতে নম্বরগুলি অবিচ্ছিন্নভাবে দেওয়া হলেও।

[এইচডাব্লুডব্লিউ 08] হিদার হুলেট, টড জি। উইল, গারহার্ড জে ওয়েইঞ্জার। ডিগ্রি সিকোয়েন্সগুলির মাল্টিগ্রাফ উপলব্ধি: সর্বাধিককরণ সহজ, ক্ষুদ্রকরণ শক্ত। অপারেশনস রিসার্চ লেটারস , ৩ ((৫): 594–596, সেপ্টেম্বর ২০০৮। http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004