উপরের এবং নিম্ন সীমাগুলির "ডান" সংজ্ঞাটি কী?

Question

মাপের এন এর ইনপুট নিয়ে সমস্যা চলাকালীন সময়ে $f(n)$ সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি হয়ে উঠুক । আমাদের সমস্যা একটু ফিক্সিং দ্বারা অদ্ভুত করা যাক চ ( এন ) = ঢ 2 জন্য এন = 2 ট কিন্তু চ ( এন ) = ঢ জন্য এন = 2 ট + + 1 ।$n$$f(n) = n^2$$n=2k$$f(n) = n$$n=2k+1$

1. সুতরাং, সমস্যার নিম্ন সীমানা কি? পথ আমি বুঝতে এটি শুধু বাউন্ড কম $f(n)$ । তবে আমরা জানি যে $f(n) = \Omega(n^2)$ বোঝা যাচ্ছে যে সব ধরণের n > n 0 , f ( n ) > k n 2 এর জন্য ধ্রুবক $k$ , রয়েছে which যা সত্য নয়। সুতরাং মনে হচ্ছে আমরা কেবল f ( n ) = Ω ( n $n_0$$n > n_0$$f(n) > kn^2$$f(n) = \Omega(n)$। কিন্তু সাধারণত, আমরা ডাকব সমস্যা বাউন্ড কম $\Omega(n^2)$ ঠিক আছে,?

2. ধরে নিচ্ছেন যে $g(n) = \Omega(n^2)$ , যার অর্থ ধ্রুবক $k$ , $n_0$ যেমন বিদ্যমান রয়েছে সমস্ত $n > n_0$ , $g(n) > kn^2$ । আসুন ধরে নেওয়া যাক কোনও সমস্যা চলমান সময় $g(n)$ । আমরা সবাই মৌলিক জন্য এই সমস্যা কমাতে পারেন, তাহলে $n$ (একই ইনপুট আকার সঙ্গে) অন্য সমস্যা, আমরা বলতে পারি অন্যান্য সমস্যা চলমান সময় একটি নিম্ন বাউন্ড হয়েছে $\Omega(n^2)$ ?

Comments

এই কারণেই গণিতবিদরা লিম সাপ এবং লিম ইনফ ব্যবহার করেন।

— পিটার শোর

সুতরাং আমি মনে করি আমি পার্থক্যটি বুঝতে পারি। আমার ধারণা পোস্টের লোকেরা কেবল ওমেগাকে অসীম হিসাবে প্রায়শই বুঝতে পারবে। তবে আমি যদি একটি স্পষ্ট পার্থক্য করতে চাই তবে এর প্রসারণ ছাড়াও আমি কী ব্যবহার করতে পারি?

— ওয়েই ইউ

kg(n)≥kn2lim infg(n $$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$$ $k$$g(n) \geq k n^2$g(n)≥kn2 $$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$$ $g(n) \geq k n^2$$n$ $$\ $$

@ ওয়েই: বেশিরভাগ জটিল তাত্ত্বিকদের কাছে (নীচে ল্যান্স দেখুন), আপনার ফাংশনটি θ (n ^ 2); বেশিরভাগ অ্যালগরিদবিদদের কাছে (নুথ বা সিএলআরএস দেখুন), আপনার ফাংশনটি Ο (n ^ 2) এবং Ω (n)। উভয় স্বরলিপিগুলি তাদের উপ-সম্প্রদায়ের মধ্যে প্রায়, তবে পুরোপুরি মানসম্পন্ন নয়; বিষয়টিকে আরও খারাপ করে তোলার জন্য, এই দুটি উপশক্তিগুলি ওভারল্যাপ করে! সুতরাং আপনি যদি কোন স্বরলিপি ব্যবহার করেন তা যদি তা বিবেচনা করে তবে আপনি অবশ্যই কোন স্বরলিপি ব্যবহার করছেন তা অবশ্যই স্পষ্ট করে বলতে হবে । (ভাগ্যক্রমে, এটি খুব কমই গুরুত্বপূর্ণ))

— জেফি

@ জেফি আমি বিশ্বাস করি আপনার উত্তরটি হিসাবে আপনার মন্তব্য পোস্ট করা উচিত।

— চিজিসপ

Answer 1

এর সঠিক সংজ্ঞাটি এমন যে এখানে কিছু বিদ্যমান রয়েছে যা অসীম অনেকের জন্য , । নিম্ন সীমার জন্য অনন্ত-সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞাটি আপনার সমস্যাগুলি পরিচালনা করে এবং আমরা বাস্তবে এটি কীভাবে ব্যবহার করি।k > 0 n f ( n ) ≥ k n $f(n)=\Omega(n^2)$$k>0$$n$$f(n)\geq kn^2$

আমি 2005 সালে এই পিছনে একটি পোস্ট করেছি ।

কিছু পাঠ্যপুস্তক এই সংজ্ঞাটি সঠিকভাবে পায়, কিছু দেয় না।

Comments

নথ আপনার সাথে একমত নয়: portal.acm.org/citation.cfm?id=1008329

— জেফি

সিএলআরএস এবং উইকিপিডিয়াও আপনার সাথে একমত নন। অসীম-প্রায়শই সংজ্ঞা একটি লক্ষণীয় বিকল্প, তবে মনে হয় এটি কম ব্যবহৃত হয়।

— বেনামে

আমি মনে করি এই সংজ্ঞা সব একমত যখন ব্যতিক্রম সেট পরিমাপ 0.

— কার্টার Tazio Schonwald

"অসীম প্রায়ই" সংজ্ঞাগুলির সাথে সমস্যাটি হ'ল তারা সাধারণত "অসীম প্রায়শই না" বাদ দেয় না। সুতরাং আমরা ভয়ঙ্কর পরিণতি হবে এই যে এই সংজ্ঞা সঙ্গে আছে কিন্তু এছাড়াও , যেখানে এবং কিছু কঠোর আদেশ হতে বোঝানো হয় ইন্দ্রিয়. আমি সত্যিই এটি অপছন্দ করি। কমপক্ষে @ কার্টারের 0 টি ব্যতিক্রম পরিমাপের পরামর্শটি কিছুটা কম ভয়ঙ্কর, তবুও সাধারণের চেয়ে সূক্ষ্ম অর্ডারের অনুমতি দিচ্ছে। f ( n ) = o ( n + 1 ) Ω $f(n)=\Omega(n^2)$ $f(n)=o(n+1)$$\Omega$$o$

— আন্দ্রেস সালামন

@ জুক্কা: না, আমি এখানে অপব্যবহার করছি । আপনি ইঙ্গিত আমি ব্যবহার আমার যুক্তি সংশোধন করার আছে পরিবর্তে । অতএব আমাকে বা ব্যবহার না করে আসল আপত্তিটি পুনরায় সেট করতে দিন । "অনন্তকাল প্রায়শই" দিয়ে, কারওর সাথে অসাধারণতা থাকে যে , , তবুও । সুতরাং একটি প্রিআর্ডারও তৈরি করে না। হে হে হে হে এন = Ω ( চ ( এন ) ) চ ( এন ) = Ω ( ঢ 2 ) এন ≠ Ω ( ঢ 2 ) $o$$O$$o$$o$$O$$n = \Omega(f(n))$$f(n) = \Omega(n^2)$$n \ne \Omega(n^2)$$\Omega$

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 2

সঙ্গে Knuth এর সংজ্ঞা আপনি শুধুমাত্র জাহির করতে । আপনি পর্যবেক্ষণ হিসাবে, এটি স্বজ্ঞাত নয় এবং ভিটিনি এবং মের্টেনস "বন্য" কল করে functions তারা সংজ্ঞায়িত করার প্রস্তাব দেয়$f(n)\in\Omega(n)$

$$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$$

(এটি ল্যান্সের সংজ্ঞা হিসাবে একই।) এই সংজ্ঞাটির সাথে ।$f(n)\in\Omega(n^2)$

Answer 3

আমি সর্বাধিক ব্যবহৃত সম্পর্কে সম্পর্কে জানি না, তবে আমি বিশ্বাস করি যে আমি প্রাচীনতম ব্যবহার সম্পর্কে জানি (যাইহোক কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য)।

হার্টমানিস অ্যান্ড স্টার্নসের 1965-এর গবেষণাপত্রে "অ্যালগরিদমের গণনীয় জটিলতার উপর", করোলারি ২.১ হ'ল:

যদি এবং টাইম-ফাংশনগুলি থাকে যেমন তবে$U$$T$$\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$$S_{U} \subseteq S_{T}$

যেখানে হ'ল গণনাযোগ্য সমস্ত সমস্যার জটিলতা বর্গ । টি (এন) অবশ্যই কিছু সংখ্যক এবং সমস্ত এবং জন্য অবশ্যই মেনে চলতে হবে , তবে এটি সময়-গঠনমূলক হতে হবে না।$S_{K}$$O( K(n) )$$T(n) \geq n/k$$k$$n$$T(n) \leq T(n+1)$

আপনার ফাংশনটি জন্য প্রথম বিধি মেনে চলে তবে দ্বিতীয় বিধিটি মানতে ব্যর্থ হয়।$k = 1$

করোলারি ২.২ হ'ল উপরের পারস্পরিক এবং এটি সীমাবদ্ধ সুপ্রেম ব্যবহার করে, তবে এখনও এই প্রয়োজনীয়তাগুলি রয়েছে। আমি অনুমান করি যেহেতু বছরগুলিতে অ্যালগরিদম আরও জটিল হয়ে উঠেছে, সম্ভবত প্রয়োজনীয়তাগুলি শিথিল করা হয়েছে।

Answer 4

আমি মনে করি আমাদের দুটি জিনিসের মধ্যে পার্থক্য করা উচিত:

• একটি ফাংশনের জন্য একটি নিম্নতর
• একটি সমস্যার জন্য নিম্নতর (অ্যালগরিদম)

ফাংশনগুলির জন্য, যখন আমরা একটি অর্ডার স্থির করি তখন নীচের দিকে / উপরের দিকের সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে। যদি আদেশের সম্পর্কটি অ্যাসিম্পটোটিক মেজায়াইজেশন হয় (ধ্রুবক কারণগুলি উপেক্ষা করে)

$$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$$

তারপর সংজ্ঞা স্বাভাবিক সংজ্ঞা নেই এবং । উভয়ই কম্বিনেট্রিক্সের মতো অন্যান্য ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।$O$$\Omega$

তবে আমরা যখন কোনও সমস্যার জন্য নিম্নগতির (আলগোরিদম) কথা বলি আমরা আসলে কী বলতে চাই তা হ'ল সমস্যাটির জন্য নির্দিষ্ট পরিমাণের সংস্থান প্রয়োজন (সমস্যাটি সমাধানের জন্য অ্যালগোরিদম চালানোর জন্য)। প্রায়শই জটিলতা ক্লাসগুলি মতো ফাংশন দ্বারা প্যারামিটারাইজড হয় এবং আমরা সহজভাবে বলি যে সমস্যাটি কোনও ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ, তবে এটি কেবল দুর্দান্ত ফাংশনগুলির জন্যই কাজ করে (যেমন অ্যালগোরিদমের চলমান সময়) মনোটোন ইত্যাদি)। আমরা কি এই ক্ষেত্রে বলতে চাই আমরা প্রয়োজন যে সময় চলমান সমস্যা, অর্থাত সমাধানের জন্য কম চলমান সময় যথেষ্ট, যা আনুষ্ঠানিকভাবে ল্যান্স সংজ্ঞা হয়ে নয় যে অ্যালগরিদম চলমান সময় নেই।এন 2 এন 2 ও ( টি ( এন ) $\mathbf{Time}(t(n))$$n^2$$n^2$$o(t(n))$