মার্লিন আর্থারকে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ সম্পর্কে বোঝাতে পারেন?

মার্লিন, যিনি অসীম গণনীয় সম্পদ আছে, আর্থার যে সন্তুষ্ট করতে চায়

m | \sum_{p \leq N, p prime} p^{k}

$m|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k$ জন্য

(N, m, k)

$(N,m,k)$ সঙ্গে

k = O (\log N)

$k=O(\log N)$ এবং

m = O (N) .

$m=O(N).$ এই যোগফলকে সরল উপায়ে গণনা করতে (মডুলার এক্সপেনসেন্টেশন এবং সংযোজন) সময় লাগে

N (\log \log N)^{2 + o (1)}

$N(\log\log N)^{2+o(1)}$ FFT ভিত্তিক গুণ সঙ্গে। * কিন্তু আর্থার শুধুমাত্র সম্পাদন করতে পারবেন

O (N)

$O(N)$ অপারেশন করতে পারে।

(স্বরলিপি, এই প্রশ্নের আগের সংস্করণের সাথে সামঞ্জস্যের জন্য: SUM সমান যাক $m\alpha$ তখন প্রশ্ন কিনা তা ব্যবহারকারীকে $\alpha$ একটি পূর্ণসংখ্যা।)

মের্লিন আর্থারকে দৈর্ঘ্যের দিয়ে বোঝাতে পারবেন $O(N)$ ? যদি তা না হয় তবে তিনি আর্থারকে একটি ইন্টারেক্টিভ প্রুফ দিয়ে বোঝাতে পারবেন (মোট যোগাযোগ অবশ্যই, $O(N)$ ) হওয়া উচিত ? যদি তা হয় তবে মার্লিন কি দৈর্ঘ্যের একটি স্ট্রিং ব্যবহার করতে পারবেন $o(N)$ ? আর্থার $o(N)$ সময় ব্যবহার করতে পারে ?

আর্থার ননডেটারিনিজম বা অন্যান্য বিশেষ সরঞ্জাম (কোয়ান্টাম পদ্ধতি, মেরলিন ব্যতীত ওরাকলস ইত্যাদি পারে না তবে প্রয়োজনে $O(N)$ স্থান রয়েছে has অবশ্যই আর্থারের যোগফলটি সরাসরি গণনা করার দরকার নেই, তাকে কেবল এই বিষয়টি নিশ্চিত করতে হবে যে প্রদত্ত ট্রিপল (এন, এম, কে) এই সমীকরণটিকে সত্য বা মিথ্যা করে।

নোট যে সঙ্গে এটা সময় সমষ্টি গনা সম্ভব ব্যবহার Lagarias-Odlyzko পদ্ধতি। জন্য $k=0$ $O(N^{1/2+\varepsilon})$ সমষ্টি superlinear এবং তাই সরাসরি (ছাড়া, যেমন, মডুলার কমানো) সঞ্চয় করা যাবে না কিন্তু এটি একটি ফাস্ট অ্যালগরিদম বিদ্যমান কিনা স্পষ্ট নয়। $k>0$

প্রত্যক্ষ শক্তি প্রয়োগ এবং সংযোজন ব্যতীত অন্য যোগফল (মডুলার বা অন্যথায়) গণনা করতে আমি যে কোনও অ্যালগরিদমে আগ্রহী।

* সংখ্যা গণনা করতে, সময় $N/\log N$ $\lg k\log N(\log\log N)^{1+o(1)}=\log N(\log\log N)^{2+o(1)}$ প্রতিটি গণনার জন্য।

— চার্লস
সূত্র

Math.SE উপর সম্পর্কিত পোস্টে ।

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之

হ্যাঁ, সম্পর্কিত মূল পার্থক্যটি হ'ল গণিত.এসই প্রশ্নটি ধরে নিয়েছে যে মার্লিনের শূন্য গণনা মূলক সম্পদ রয়েছে এবং এটি একটি ধরে নেয় যে তার সীমাহীন সংস্থান রয়েছে।

— চার্লস

প্রাথমিকতা পরীক্ষার জন্য প্রয়োজনীয় সময়ের কী হবে?

— পিটার শোর

@ চার্লস: আমি এটি দেখতে পাচ্ছি না

প্রাইম গণনা করার জন্য

স্কেলিং। আপনি এটি ব্যয় করতে পারেন? আমি ভাবতাম এটির জন্য সুপারলাইনার স্কেলিং দরকার। সিরাভ অফ ইরোটোথিনিস একটি

অ্যালগরিদম দেয়।

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$

O (N^{2})

$O(N^2)$

— জো ফিৎসসিমন

অ্যালগরিদম লাগারিয়াস এবং ওডলিজকোর কারণে। এটি বর্ণিত হয়েছে, যেমন, dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/analytic.pi.of.x.pdf (এবং এটি

তবে

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt N)$

)

\tilde{O} (\sqrt{N}) .

$\tilde{O}(\sqrt N).$

— চার্লস

উত্তর:

আমি এটি আমার পূর্ববর্তী বিশেষ ঘটনাটি থেকে আলাদাভাবে পোস্ট করছি, কারণ আমি বিশ্বাস করি যে এটি সমস্যার একটি ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গি, এবং আমার অন্যান্য উত্তরের সাথে সামান্য সম্পর্ক রয়েছে। আপনি যা খুঁজছেন ঠিক এটি নাও হতে পারে, তবে এটি সহজ এবং ঘনিষ্ঠ হয়ে যায়।

এখানে প্রমাণ রয়েছে যা আর্থার সর্বদা গ্রহণ করবে এবং প্রমাণটি সঠিক থাকলেও সম্ভাব্যতা দিয়ে প্রত্যাখ্যান করবে । মার্লিন পাঠায় আর্থার যুগল: এখানে কিভাবে এটি কাজ করেপ্রতিটি মৌলিক জন্য। আর্থার যোগফলের (সময় নেওয়ার সময়যাচাই করে $\frac{1}{(\log \log N)^{2+o(1)}}$ $(p_i,c_i = p_i^k\mbox{ mod }m)$ $p\leq N$ $O(N/\log(N)) \times O(\log(N)) = O(N)$ )। আর্থার চেক করে যে প্রাইমের সঠিক সংখ্যা সরবরাহ করা হয়েছিল ( গণনা করে ) যা সাবলাইনার । সবশেষে, এলোমেলো জোড়ার জন্য, তিনি নিশ্চিত করেছেন যে প্রাইম এবং সেই । এটি সময় নেয় । টেকিং $\pi(N)$ $N$ $S N$ $p$ $p_i^k \equiv c_i \mbox{ mod }m$ $SN~O((\log \log N)^{2+o(1)})$ , আমরা একটি রৈখিক সময় স্কেলিং প্রাপ্ত। সুতরাং, একটি ভগ্নাংশ $S = (\log \log N)^{-(2+o(1))}$ $S$ সমস্ত জোড়া যাচাই করা হয়। এর মধ্যে কোনওটি যদি ব্যর্থ হয় তবে আর্থার অবশ্যই প্রত্যাখ্যান করবে। আর্থার একটি ভুল প্রমাণ গ্রহণ করতে, সেখানে অন্তত এক জোড়া যা এই দুটি পরীক্ষার এক ব্যর্থ (অথবা জোড়া সংখ্যার চেয়ে কম হতে হবে হতে হবে যা আগে চেক করা হয়)। সুতরাং সমস্ত জোড়ের একটি ভগ্নাংশ হিসাবে পরীক্ষা করা হয়, পরীক্ষা কমপক্ষে সম্ভাব্যতা সহ একটি ভুল প্রমাণের জন্য ব্যর্থ হবে । $\pi(N)$ $S$ $S$

নোট করুন যে বড় জন্য এটি এলোমেলো অনুমানের চেয়ে অনেক বেশি ভাল, যা সম্ভাব্যতা সহ সফল হয় $N$ । $\frac{1}{m} = \frac{1}{O(N)}$

— জো ফিৎসিমনস
সূত্র

যদি দুটি উত্তর পোস্ট করা খারাপ অনুশীলন হয় তবে আমাকে জানান এবং আমি সেগুলি একীভূত করব। আমি পরে তাদের কাছে এসেছি কারণ প্রথমটি আমার কাছে এসেছিল এবং প্রথম উত্তরের তুলনায় এটি সম্পূর্ণ আলাদা।

— জো ফিটজসিমোনস

আমার সাথে ভাল. বিশেষত সিডব্লিউ প্রশ্নে একাধিক উত্তর পাওয়া সাধারণ common

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: হ্যাঁ, আমি জানি, কিন্তু এটি সিডব্লিউ নয়, এবং আমি কোনও বেশ্যা হিসাবে আসতে চাই না।

— জো ফিটজসিমোনস

খুব সুন্দর উত্তর। এটি উভয় সংস্থানকে বাড়িয়ে তোলে - মার্লিনের স্ট্রিংটি

এবং আর্থার

সময় ব্যবহার করে। নিতপিক: পৃথকভাবে প্রাইমগুলি যাচাই করা আপনার আবদ্ধ হতে খুব বেশি সময় লাগবে, তবে অবশ্যই আর্থার এগুলি সমস্ত তৈরি করতে এবং তাদের মার্লিনের তালিকার সাথে তুলনা করতে পারে (এটি যাতে ক্রমযুক্ত হওয়া প্রয়োজন)।

Θ (N)

$\Theta(N)$

Θ (N)

$\Theta(N)$

— চার্লস

@ জোফিজসিমসনস: ঠিক আছে :) যদি উভয় উত্তরই ডাবল পয়েন্ট পেয়ে থাকে তবে আপনি ডাবল পয়েন্ট পেয়ে যাবেন :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

এটি সমস্যার সম্পূর্ণ উত্তর যা মার্লিন মোটেও ব্যবহার করে না।

Deléglise-Dusart-Roblot [1] একটি আলগোরিদিম যা পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা নির্ধারণ করে দিতে যে সর্বসম মডিউল সময় Lagarias-Odlyzko [2] এর আলগোরিদিম একটি পরিবর্তন একই সময় নির্ণিত হতে দেয় $x$ $l$ $k,$ $O(x^{2/3}/\log^2x).$ $O(x^{1/2+o(1)}).$

উভয়ই অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, সমস্ত অবশিষ্টাংশ ক্লাসে প্রাইমগুলির সংখ্যা সন্ধান করুন যতক্ষণ না তাদের পণ্য চেয়ে বেশি হয় প্রতিটি মৌলিক প্রতিটি অবশিষ্টাংশ শ্রেণীর সময়কালের মোট সংখ্যার প্রাইমগুলি থেমে পাওয়ার অবশেষে বর্গের শ্রেণীর বার নিন ; এটি এর মান দেয় $m.$ $q,$ $k$

\sum_{\overset{p \leq N}{p prime}} p^{k} (\mod q) .

$\sum_{\stackrel{p\le N}{p\text{ prime}}}p^k\pmod q.$

যোগফল মান নির্ধারণ করতে চাইনিজ রিমাইন্ডার উপপাদ্যটি ব্যবহার করুন $2\cdot3\cdots\log m.$

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য দ্বারা বৃহত্তম মৌলিক প্রয়োজন হয় তাই এই সময়ের মধ্যে সমষ্টি দেয় $(1+o(1))\log m,$ $O(N^{1/2+o(1)}).$

তথ্যসূত্র

[1] মার্ক Deléglise, পিয়ের Dusart এবং জেভিয়ার-ফ্রাসোয়া Roblot, অবশিষ্টাংশ ক্লাসের কাউন্টিং মৌলিক , গণনা গণিত 73 । 247 (2004), পৃ 1565-1575। doi 10.1.1.100.779

[2] জেসি লাগারিয়াস এবং এএম ওডেলিজকো, কম্পিউটিং : একটি বিশ্লেষণ পদ্ধতি $\pi(x)$ , অ্যালগরিদমের জার্নাল 8 (1987), পৃষ্ঠা 173-191।

[3] চার্লস, ম্যাথওভারফ্লোতে উত্তর দিন । (হ্যাঁ, এটি একই ব্যক্তি different অন্যান্য পদ্ধতির জন্য অন্য উত্তরগুলি দেখুন))

— চার্লস
সূত্র

এটি সম্পূর্ণ উত্তর নয়, বরং একটি বিশেষ কেস ( আপনার বিবেচনার চেয়ে বৃহত মানের জন্য ), যা আমি মূলত একটি মন্তব্য হিসাবে পোস্ট করেছি। ক্ষেত্রে (কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য $k$ $k=x \phi(m)$ $x$ ) সেখানে একটি সহজ প্রমাণ নেই এবং মার্লিন এর স্ট্রিং শূন্য দৈর্ঘ্যের হতে পারে।

$\phi(m)$ $m$ $N$ $p^{x \phi(m)} \equiv 0 \mbox{ mod } m$ $p|m$ $p^{x \phi(m)} \equiv 1 \mbox{ mod } m$ $k=x \phi(m)$ $\sum_{p \leq N, p~prime} p^{k} \equiv \pi(N) - y \mbox{ mod } m$ $y$ $m$ $\pi(N)$ $N$ , তাই এই সমষ্টি সরাসরি আর্থার নির্ণিত করা যেতে পারে।

$1<N<m$ $m\alpha$ যেমন $1<\pi(N)<m$ ।

— জো ফিৎসিমনস
সূত্র