গ্রাফ থেকে হাইপারগ্রাফে যাওয়ার মূল অসুবিধাগুলি কী?

Question

সংযুক্তিবিদ্যা এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের অনেকগুলি উদাহরণ রয়েছে যেখানে আমরা গ্রাফ-তাত্ত্বিক সমস্যাটি বিশ্লেষণ করতে পারি তবে সমস্যার হাইপারগ্রাফিক অ্যানালগের জন্য, আমাদের সরঞ্জামগুলির অভাব রয়েছে। আপনি কেন ভাবেন যে প্রায়শই 2-ইউনিফর্মের গ্রাফের তুলনায় 3-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফের তুলনায় সমস্যাগুলি আরও শক্ত হয়ে যায়? মূল অসুবিধাগুলি কী?

একটি বিষয় হ'ল আমাদের কাছে বর্ণালী হাইপারগ্রাফিক তত্ত্বের সন্তোষজনক বোঝার দরকার নেই। এই বিষয়ে আরও আলোকপাত করতে নির্দ্বিধায় দয়া করে। তবে আমি অন্যান্য কারণগুলিও খুঁজছি যা হাইপারগ্রাফগুলিকে আরও কঠিন বস্তু করে তোলে।

Comments

আমি ভাবি যে 2D থেকে 3 ডি ( cstheory.stackexchange.com/questions/5251/… ) এ জ্যামিতিক সমস্যার জটিলতার পরিবর্তন সম্পর্কে সাম্প্রতিক আলোচনার সাথে এটি কতটা পরিমাণের সাথে সম্পর্কিত ? আমি এটি বলার কারণটি হ'ল আপনি 2-ইউনিফর্মের গ্রাফে 2D ল্যাটিসের অবস্থানগুলির সাথে প্রান্তগুলি যুক্ত করতে পারেন, যখন একটি 3-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফের পরে 3 ডি ল্যাটিসের অবস্থানগুলির সাথে সম্পর্কিত হাইপারপ্রেস থাকে।

— জো ফিৎসসিমন

@ জো ফিটজসিমনস: ভাল কথা। কিন্তু (হাইপার) গ্রাফ সেটিং-তে যেমন সাবগ্রাফ, কালারিংস, পার্টিশন ইত্যাদির মধ্যে প্রাকৃতিক ধারণা এবং কৌশলগুলি জ্যামিতিক সেটিং-এ প্রাকৃতিক নাও হতে পারে। এছাড়াও, আমি আপনার সাথে একমত হয়েছি যে অনেক ক্ষেত্রেই "দুই থেকে তিন" রূপান্তর রয়েছে।

— অর্ণব

আপনার প্রশ্নটি শক্ত কারণ একটি সন্তোষজনক উত্তর পি বনাম এনপি সমস্যার সমাধান করবে। নোট করুন যে নিখুঁত মিলটি 2-ইউনিফর্মের গ্রাফের পক্ষে সহজ তবে 3-ইউনিফর্মের হাইপারগ্রাফের জন্য এটি শক্ত।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

হাইপারগ্রাফ একটি ভাল সংজ্ঞায়িত ধারণা? (একটি জিনিসের জন্য এই সাইটটির বানান-পরীক্ষাকারী এটি সম্পর্কে জানে না :-) এটি কি স্থির বা পরিবর্তনশীল আধ্যাত্মিকতার সম্পর্ক?

— তেগিরি নেনাশি

ঠিক আছে, উইকিপিডিয়া দেখার পরে আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি আসলে কোনও সম্পর্ক নয়, তবে সেটগুলির পরিবার। মূলধারার গণিত কি এই "হাইপারগ্রাফ" ধারণাটিকে গুরুত্বের সাথে গ্রহণ করে?

— তেগিরি নেনাশি

Answer 1

এই প্রশ্নের মধ্যে আমি বুঝতে পারি "অসুবিধা" "গণনা করা কঠিন" নয়, "পড়াশোনা করা কঠিন" বোঝায়।

গ্রাফের সমস্যাগুলি পড়াশোনা করা সহজ (কমপক্ষে আমার জন্য) যেহেতু কিছু ধারণা সমতুল্য হয়ে থাকে। অন্য কথায়, যদি আপনি হাইপারগ্রাফের জন্য গ্রাফগুলির জন্য প্রশ্নগুলি সাধারণকরণ করতে চান তবে আপনার "ডান" সাধারণীকরণের দিকে মনোযোগ দেওয়া দরকার যাতে পছন্দসই ফলাফলটি পাওয়া যায়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি গাছ বিবেচনা করুন। গ্রাফগুলির জন্য, গ্রাফটি একটি গাছ হয় যদি এটি সংযুক্ত থাকে এবং এতে কোনও চক্র থাকে না। এটি সংযুক্ত হওয়া এবং এন -1 প্রান্ত (যেখানে এনটি সংখ্যাগুলির সংখ্যা) এর সমতুল্য, এবং কোনও চক্র না থাকা এবং এন -1 প্রান্ত থাকার সমতুল্য। যাইহোক, 3-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফের জন্য, ধরা যাক 3 ইউনিফর্মের হাইপারগ্রাফ একটি গাছ যা এটি সংযুক্ত থাকে এবং এতে কোনও চক্র থাকে না। তবে, এটি সংযুক্ত হওয়া এবং এন -1 হাইপারজেড থাকার সমতুল্য নয়, বা কোনও চক্র থাকা এবং এন -1 হাইপারডিজ থাকার সমতুল্য নয়।

অভিন্ন হাইপারগ্রাফের জন্য নিয়মিততা লেমাকে প্রমাণ করার জন্য আমি একটি প্রধান সমস্যা শুনেছি নিয়মিততা এবং সম্পর্কিত ধারণাগুলির সঠিক সংজ্ঞা নিয়ে আসা come

আপনি যখন "বর্ণালী হাইপারগ্রাফিক তত্ত্বকে" বিবেচনা করতে চান, আপনি টেনারগুলি বা হোমোলজিতে সন্ধান করার চেষ্টা করতে পারেন যদি আপনি কোনও (কে-1)-মাত্রিক সরল জটিল হিসাবে কোনও কে-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফ দেখেন, যা থেকে লিনিয়ার বীজগণিত স্বাভাবিকভাবেই উত্থিত হয়। আমি জানি না যে আপনার উদ্দেশ্যটির জন্য "সঠিক" সাধারণীকরণ কোনটি, বা এটিও সম্ভব যে উভয়ই সঠিক নয়।

Answer 2

আমি মনে করি লোলারের "টোভনেসের রহস্যময় শক্তি" (অনেকগুলি প্যারামিটারাইজড সমস্যাগুলি প্যারাম = 2 এর জন্য পি এবং প্যারাম -3 এর জন্য এনপি-সম্পূর্ণ) এই পর্যবেক্ষণের কারণে এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে রয়েছে। একটি গ্রাফ এমন একটি জিনিস যা 2-টিউপলকে উল্লম্ব সংযোগ করে এবং একটি হাইপারগ্রাফ এমন একটি জিনিস যা k≥3 এর জন্য শীর্ষ-কে-টিপলসকে সংযুক্ত করে।

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 2-স্যাট পি-তে রয়েছে এবং এটি মূলত একটি গ্রাফ সমস্যা, যেখানে 3-স্যাট 3-ইউনিফর্মের হাইপারগ্রাফগুলিতে সমস্যা এবং এনপি-সম্পূর্ণ।

Comments

আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমি জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছিলাম যে গ্রাফ-তাত্ত্বিক কৌশলগুলি কেন ভেঙে যায় তার জন্য কেউ যদি কিছু মৌলিক কারণগুলি সনাক্ত করতে পারে কিনা ask উদাহরণস্বরূপ, হাইপারগ্রাফগুলির জন্য আমাদের কাছে লিনিয়ার-বীজগণিত পদ্ধতি নেই কারণ টেনসর র‌্যাঙ্কটি ভালভাবে বোঝা যায় না (যেমন, এটি গণনা করা এনপি-হার্ড)।

— অর্ণব

আমার উত্তরের অভিপ্রায়টি এতটা ছিল না "কম্পিউটারগুলির পক্ষে এই সমস্যাগুলি সমাধান করা কঠিন" বরং এটি ছিল যে পি / এনপিসি এবং একটি ভাল গাণিতিক বৈশিষ্ট্য থাকা / না থাকার মধ্যে একটি দৃ corre় সম্পর্ক রয়েছে। সুতরাং সমস্যাগুলি তাদের এনপিসি হওয়ার সাথে তাল মিলিয়ে পড়াশোনা করা আরও শক্ত হয়ে যায়।

— ডেভিড এপস্টিন

এই প্রসঙ্গে, সম্প্রতি পোস্ট করা প্রশ্ন cstheory.stackexchange.com/questions/14950/… বেশ আকর্ষণীয়: 2-হাইপারগ্রাফের লাইন গ্রাফগুলি, অর্থাৎ (মাল্টি) গ্রাফের লাইন গ্রাফগুলি সনাক্ত করা, যেখানে লাইন গ্রাফগুলি স্বীকৃত 3-হাইপারগ্রাফগুলি একটি উন্মুক্ত সমস্যা বলে মনে হচ্ছে। আরও মনে রাখবেন যে 3-হাইপারগ্রাফের জন্য (নিষিদ্ধ প্ররোচিত সাবগ্রাফ দ্বারা) চরিত্রায়ন সমস্যাটি এখনও খোলা রয়েছে, যখন (বহু) গ্রাফের লাইন গ্রাফগুলি এই জাতীয় বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য স্বীকার করে।

— ভিবি লে

Answer 3

আর একটি কারণ হ'ল আমাদের কাছে 2 এর চেয়ে বড় এন-অ্যারি সম্পর্কের চেয়ে বাইনারি সম্পর্কগুলিতে অনেক বেশি জ্ঞান রয়েছে ।

স্বাভাবিকভাবেই আমরা বস্তুর মধ্যে বাইনারি সম্পর্কগুলি বিবেচনা করি, যেমন সংলগ্নতা, নমনীয় ছেদ, সমতা ইত্যাদি So সুতরাং আমরা বাইনারি সম্পর্কের ক্ষেত্রে গ্রাফগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি এবং অন্য গ্রাফের কিছু বাইনারি সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে গ্রাফও সংজ্ঞায়িত করতে পারি। (উদাহরণস্বরূপ, লাইন গ্রাফ, চক্র গাছ, গাছ পচে যাওয়া ...)

তবে অন্যান্য এন-অ্যারি সম্পর্কের বিষয়ে আমাদের খুব বেশি বোঝার দরকার নেই। উদাহরণস্বরূপ, একটি আকর্ষণীয় তিনটি সম্পর্ক নিয়ে আসতে কিছুটা সময় লাগে; (ঠিক আছে, আমার অজ্ঞতার কারণে আংশিকভাবে) বৈশিষ্টগুলি দুর্বল এবং ত্রৈমাসিক সম্পর্কের গবেষণায় সরঞ্জামগুলি কম কম। (আমরা কীভাবে প্রতিসম বা ট্রানজিটিভ ত্রৈমাসিক সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করব ? উভয়ই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কের মধ্যে পড়াশোনা করতে পারে are)

তবে তবুও আমি জানি না কেন বাইনারি এবং টেরিনারি সম্পর্কের মধ্যে এটি ঘটে। তুরস্কিস্তানি যেমন বলেছিলেন এই প্রশ্নটি শক্ত এবং এটি পি / এনপি সমস্যার বোঝার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে।

Comments

[সিলিন্ড্রিক এবং পলিয়েডিক বীজগণিত সত্ত্বেও] এন-অ্যারি সম্পর্কের জন্য কোন বাধ্যতামূলক বীজগণিত নেই। বিতর্কটি এমন পর্যায়েও নামানো যেতে পারে যখন একের অবস্থানগত বনাম সম্পর্কিত সম্পর্কের বৈশিষ্ট্যের বিষয়ে দৃষ্টিভঙ্গি যুক্তি দেওয়া হয়।

— তেগিরি নেনাশি

Answer 4

আমি প্রথমে ভুল প্রশ্নের উত্তর দিতে যাচ্ছিলাম: "সমস্যাগুলির উদাহরণ গ্রাফের তুলনায় হাইপারগ্রাফগুলিতে আরও শক্ত"। আমি গ্রাফগুলিতে সর্বাধিক মিলের সমস্যাটি মোকাবিলার পার্থক্যটি এবং বিশেষত হাইপারগ্রাফগুলির সাথে একইভাবে অভিভূত হয়েছি (জোড় বিচ্ছিন্ন প্রান্তগুলির একটি সেট), যা খুব সহজেই রঙিন মডেল, সর্বোচ্চ স্বাধীন সেট, সর্বোচ্চ চক্র ...

তখন আমি লক্ষ্য করেছি যে এটি আপনার প্রশ্ন নয়: "দুজনের মধ্যে মূল সমস্যাগুলি কী?"

ঠিক আছে, আমি তার উত্তর দিয়েছি এখন পর্যন্ত গ্রাফ এবং হাইপারগ্রাফের মধ্যে খুব সাধারণ পয়েন্ট আমি দেখিনি। নাম বাদে নিজেই। এবং এই সত্য যে প্রচুর লোক প্রথম থেকে অন্যটিতে ফলাফল "প্রসারিত" করার চেষ্টা করছে।

বার্গের "হাইপারগ্রাফস" এবং বল্লোবাসের "সেট সিস্টেমগুলি" এর পৃষ্ঠাগুলি ফ্লিপ করার জন্য আমি এই উপলক্ষটি পেয়েছিলাম: সেগুলিতে অনেক সুস্বাদু ফলাফল রয়েছে এবং আমি যে বিষয়গুলিকে সবচেয়ে আকর্ষণীয় বলেছি তা গ্রাফ সম্পর্কে খুব কমই বলেছিল। উদাহরণস্বরূপ বারানাইয়ের উপপাদ্য (জুকনার বইতে একটি চমৎকার প্রমাণ রয়েছে)।

আমি তাদের অনেক কিছুই জানি না তবে আমি এখনই একটি হাইপারগ্রাফ সমস্যা নিয়ে ভাবছি এবং আমি এ সম্পর্কে যা বলতে পারি তা হ'ল আমি কোথাও কোথাও কোনও গ্রাফ লুকানো অনুভব করি না। সম্ভবত আমরা এগুলিকে "কঠিন" মনে করি কারণ আমরা কেবল সেগুলি ভুল সরঞ্জাম দিয়ে অধ্যয়ন করার চেষ্টা করছি। আমি সংখ্যার তত্ত্বটি ব্যবহার করে অবিলম্বে বিলুপ্ত হয়ে যাওয়ার জন্য যে গ্রাফের সমস্যার জন্য কাজ করছি তা আশা করি না (যদিও এটি কখনও কখনও ঘটে থাকে)।

ওহ, এবং অন্য কিছু। তারা সম্ভবত পড়াশোনা করা শক্ত কারণ তারা সংমিশ্রিতভাবে অনেক বেশি .... আরও ?!

"এগুলি সব চেষ্টা করুন এবং দেখুন এটি কখন কাজ করে" গ্রাফগুলির জন্য মাঝে মাঝে ভাল ধারণা, তবে হাইপারগ্রাফের সাহায্যে এটি সংখ্যা দ্বারা দ্রুত হ্রাস পায়। :-)